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Lemma von Margulis In der Differentialgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik beschreibt das oder Margulis Lemma die T

Lemma von Margulis

In der Differentialgeometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, beschreibt das Lemma von Margulis oder Margulis-Lemma die Topologie des „dünnen Teils“ einer negativ gekrümmten riemannschen Mannigfaltigkeit. Es dient vor allem zur Beschreibung der Enden hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens.

Es ist nach Grigori Alexandrowitsch Margulis benannt.

Dünner und dicker Teil einer Mannigfaltigkeit Bearbeiten

Dicker und dünner Teil einer Mannigfaltigkeit endlichen Volumens

Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit und eine Konstante bezeichnet man als -dünnen Teil der Mannigfaltigkeit den Teil

(wobei den Injektivitätsradius im Punkt bezeichnet) und als -dicken Teil das Komplement des -dünnen Teils.

ist also die Menge derjenigen , zu denen es eine geschlossene, nicht nullhomotope Kurve der Länge mit gibt. Häufig spricht man auch nur vom dünnen und dicken Teil einer -dimensionalen Mannigfaltigkeit und meint damit den -dünnen und -dicken Teil für ein , welches kleiner als die unten definierte Margulis-Konstante ist.

Lemma von Margulis (differentialgeometrische Formulierung) Bearbeiten

Das Lemma von Margulis besagt, dass es zu jeder Dimension eine Margulis-Konstante gibt, so dass für alle vollständigen riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension mit Schnittkrümmungen im Intervall und für alle der -dünne Teil eine fast-nilpotente Fundamentalgruppe hat: Es gibt in eine nilpotente Untergruppe vom Index für eine nur von abhängende Konstante .

Lemma von Margulis (gruppentheoretische Formulierung) Bearbeiten

Das Lemma von Margulis besagt, dass es zu jeder Dimension eine Margulis-Konstante gibt, so dass die folgende Aussage für alle einfach zusammenhängenden vollständigen riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension mit Schnittkrümmungen im Intervall und für alle zutrifft:

Es sei eine einfach zusammenhängende riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension mit Schnittkrümmungen im Intervall . Sei eine eigentlich diskontinuierlich wirkende Gruppe von Isometrien von und . Dann ist die von

erzeugte Untergruppe fast-nilpotent.

Der Spezialfall für Matrizengruppen ist auch als Lemma von Zassenhaus bekannt: Es gibt eine Konstante , so dass jede von Matrizen der Norm erzeugte diskrete Untergruppe fast-nilpotent ist. Tatsächlich gilt das folgende auf Hans Zassenhaus zurückgehende elementare Lemma: Wenn zwei Matrizen eine diskrete Gruppe erzeugen und gilt, dann kommutieren A und B.

Die gruppentheoretische und differentialgeometrische Formulierung des Margulis-Lemmas sind äquivalent zueinander. Die Äquivalenz erhält man vermittels der Wirkung von auf der universellen Überlagerung . Für ein Urbild entspricht der Länge des kürzesten repräsentierenden geschlossenen Weges.

Enden hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens Bearbeiten

Es sei eine vollständige hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens. Dann ist der -dicke Teil kompakt (für beliebige ) und für die Gruppe gibt es (für ) die folgenden Möglichkeiten:

Daraus ergeben sich für die Topologie der Zusammenhangskomponenten des -dünnen Teils die folgenden Möglichkeiten:

Im ersten Fall handelt es sich um sogenannte Spitzen (engl.: cusps). Im zweiten Fall handelt es sich um Tubenumgebungen geschlossener Geodäten (oder um geschlossene Geodäten der Länge ).

Margulis-Zahlen Bearbeiten

Für eine riemannsche Mannigfaltigkeit ist die Margulis-Zahl die größte reelle Zahl, so dass die Konklusion des Margulis-Lemmas für alle gilt.

Für hyperbolische 3-Mannigfaltigkeiten ist . Peter Shalen bewies, dass für fast alle hyperbolischen 3-Mannigfaltigkeiten gilt. Aufgrund numerischer Berechnungen wird vermutet, dass immer gilt.

Für hyperbolische Mannigfaltigkeiten der Dimension gilt

mit . Umgekehrt gibt es die auf Kapovich zurückgehende Ungleichung mit einer explizit bestimmbaren Konstante .

Kragen-Lemma Bearbeiten

Aus dem Lemma von Margulis lässt sich herleiten, dass sehr kurze geschlossene Geodäten eine Kragenumgebung großen hyperbolischen Volumens besitzen müssen. Eine quantitative Beschreibung dieses Zusammenhangs für Flächen liefert das Kragen-Lemma (engl.: collar lemma), dessen erste Version 1974 von Linda Keen bewiesen wurde. Die bestmögliche Abschätzung geht auf Randol zurück: In einer hyperbolischen Fläche hat eine geschlossene Geodäte der Länge eine Kragenumgebung der Breite mit . Man beachte, dass ist.

Literatur Bearbeiten

  • Každan, D. A.; Margulis, G. A.: A proof of Selberg's hypothesis. (Russian) Mat. Sb. (N.S.) 75 (117) 1968, 163–168.
  • Raghunathan, M. S.: Discrete subgroups of Lie groups. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 68. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1972.
  • Buser, Peter; Karcher, Hermann: Gromov's almost flat manifolds. Astérisque, 81. Société Mathématique de France, Paris, 1981.
  • Ballmann, Werner; Gromov, Mikhael; Schroeder, Viktor: Manifolds of nonpositive curvature. Progress in Mathematics, 61. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1985. ISBN 0-8176-3181-X
  • Benedetti, Riccardo; Petronio, Carlo: Lectures on hyperbolic geometry. Universitext. Springer-Verlag, Berlin, 1992. ISBN 3-540-55534-X

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Benedetti-Petronio, Theorem D.2.2
  2. Benedetti-Petronio, Theorem D.3.3
  3. Robert Meyerhoff. A lower bound for the volume of hyperbolic 3-manifolds. Canad. J. Math., 39(5):1038–1056, 1987.
  4. Peter Shalen. Topology and geometry in dimension three, 103–109, Contemp. Math., 560, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2011.
  5. Ruth Kellerhals. On the structure of hyperbolic manifolds. Israel J. Math. 143 (2004), 361–379.
  6. Michail Belolipetsky. Hyperbolic orbifolds of small volume. (Erscheint in den Proceedings des ICM 2014) pdf
  7. Linda Keen: Collars on Riemann surfaces. Discontinuous groups and Riemann surfaces (Proc. Conf., Univ. Maryland, College Park, Md., 1973), pp. 263–268. Ann. of Math. Studies, No. 79, Princeton Univ. Press, Princeton, N.J., 1974
  8. Burton Randol: Cylinders in Riemann surfaces. Comment. Math. Helv. 54 (1979), no. 1, 1–5.
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Veröffentlichungsdatum:
In der Differentialgeometrie einem Teilgebiet der Mathematik beschreibt das Lemma von Margulis oder Margulis Lemma die Topologie des dunnen Teils einer negativ gekrummten riemannschen Mannigfaltigkeit Es dient vor allem zur Beschreibung der Enden hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens Es ist nach Grigori Alexandrowitsch Margulis benannt Inhaltsverzeichnis 1 Dunner und dicker Teil einer Mannigfaltigkeit 2 Lemma von Margulis differentialgeometrische Formulierung 3 Lemma von Margulis gruppentheoretische Formulierung 4 Enden hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens 5 Margulis Zahlen 6 Kragen Lemma 7 Literatur 8 Weblinks 9 EinzelnachweiseDunner und dicker Teil einer Mannigfaltigkeit Bearbeiten nbsp Dicker und dunner Teil einer Mannigfaltigkeit endlichen VolumensFur eine riemannsche Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp und eine Konstante ϵ displaystyle epsilon nbsp bezeichnet man als ϵ displaystyle epsilon nbsp dunnen Teil der Mannigfaltigkeit den Teil M lt ϵ x M inj x lt ϵ displaystyle M lt epsilon left x in M colon operatorname inj x lt epsilon right nbsp wobei inj x displaystyle operatorname inj x nbsp den Injektivitatsradius im Punkt x displaystyle x nbsp bezeichnet und als ϵ displaystyle epsilon nbsp dicken Teil M ϵ displaystyle M geq epsilon nbsp das Komplement des ϵ displaystyle epsilon nbsp dunnen Teils M lt ϵ displaystyle M lt epsilon nbsp ist also die Menge derjenigen x M displaystyle x in M nbsp zu denen es eine geschlossene nicht nullhomotope Kurve g 0 1 M displaystyle gamma colon left 0 1 right to M nbsp der Lange l g lt 2 ϵ displaystyle l gamma lt 2 epsilon nbsp mit g 0 g 1 x displaystyle gamma 0 gamma 1 x nbsp gibt Haufig spricht man auch nur vom dunnen und dicken Teil einer n displaystyle n nbsp dimensionalen Mannigfaltigkeit und meint damit den ϵ displaystyle epsilon nbsp dunnen und ϵ displaystyle epsilon nbsp dicken Teil fur ein ϵ displaystyle epsilon nbsp welches kleiner als die unten definierte Margulis Konstante ϵ n displaystyle epsilon n nbsp ist Lemma von Margulis differentialgeometrische Formulierung BearbeitenDas Lemma von Margulis besagt dass es zu jeder Dimension n displaystyle n nbsp eine Margulis Konstante ϵ n displaystyle epsilon n nbsp gibt so dass fur alle vollstandigen riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension n displaystyle n nbsp mit Schnittkrummungen im Intervall 1 0 displaystyle left 1 0 right nbsp und fur alle ϵ lt ϵ n displaystyle epsilon lt epsilon n nbsp der ϵ displaystyle epsilon nbsp dunne Teil M lt ϵ displaystyle M lt epsilon nbsp eine fast nilpotente Fundamentalgruppe hat Es gibt in p 1 M lt ϵ x 0 displaystyle pi 1 M lt epsilon x 0 nbsp eine nilpotente Untergruppe vom Index lt v n displaystyle lt v n nbsp fur eine nur von n displaystyle n nbsp abhangende Konstante v n displaystyle v n nbsp Lemma von Margulis gruppentheoretische Formulierung BearbeitenDas Lemma von Margulis besagt dass es zu jeder Dimension n displaystyle n nbsp eine Margulis Konstante ϵ n displaystyle epsilon n nbsp gibt so dass die folgende Aussage fur alle einfach zusammenhangenden vollstandigen riemannschen Mannigfaltigkeiten der Dimension n displaystyle n nbsp mit Schnittkrummungen im Intervall 1 0 displaystyle left 1 0 right nbsp und fur alle ϵ lt ϵ n displaystyle epsilon lt epsilon n nbsp zutrifft Es sei M displaystyle widetilde M nbsp eine einfach zusammenhangende riemannsche Mannigfaltigkeit der Dimension n displaystyle n nbsp mit Schnittkrummungen im Intervall 1 0 displaystyle left 1 0 right nbsp Sei G displaystyle Gamma nbsp eine eigentlich diskontinuierlich wirkende Gruppe von Isometrien von M displaystyle widetilde M nbsp und x M displaystyle x in widetilde M nbsp Dann ist die von g G d g x x lt ϵ displaystyle left gamma in Gamma colon d gamma x x lt epsilon right nbsp erzeugte Untergruppe G ϵ x Isom M displaystyle Gamma epsilon x subset operatorname Isom widetilde M nbsp fast nilpotent Der Spezialfall fur Matrizengruppen ist auch als Lemma von Zassenhaus bekannt Es gibt eine Konstante m N displaystyle mu N nbsp so dass jede von Matrizen der Norm lt m N displaystyle lt mu N nbsp erzeugte diskrete Untergruppe G G L N C displaystyle Gamma subset GL N mathbb C nbsp fast nilpotent ist Tatsachlich gilt das folgende auf Hans Zassenhaus zuruckgehende elementare Lemma Wenn zwei Matrizen A B O n 1 displaystyle A B subset O n 1 nbsp eine diskrete Gruppe erzeugen und max A I d B I d lt 2 3 displaystyle max left parallel A Id parallel parallel B Id parallel right lt 2 sqrt 3 nbsp gilt dann kommutieren A und B Die gruppentheoretische und differentialgeometrische Formulierung des Margulis Lemmas sind aquivalent zueinander Die Aquivalenz erhalt man vermittels der Wirkung von G p 1 M x 0 displaystyle Gamma pi 1 M x 0 nbsp auf der universellen Uberlagerung p M M displaystyle p colon widetilde M to M nbsp Fur ein Urbild x 0 p 1 x 0 M displaystyle tilde x 0 in p 1 x 0 subset widetilde M nbsp entspricht d x 0 g x 0 displaystyle d tilde x 0 gamma tilde x 0 nbsp der Lange des kurzesten g p 1 M x 0 displaystyle gamma in pi 1 M x 0 nbsp reprasentierenden geschlossenen Weges Enden hyperbolischer Mannigfaltigkeiten endlichen Volumens BearbeitenEs sei M displaystyle M nbsp eine vollstandige hyperbolische Mannigfaltigkeit endlichen Volumens Dann ist der ϵ displaystyle epsilon nbsp dicke Teil M ϵ displaystyle M geq epsilon nbsp kompakt fur beliebige ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp und fur die Gruppe G ϵ displaystyle Gamma epsilon nbsp gibt es fur ϵ lt ϵ n displaystyle epsilon lt epsilon n nbsp die folgenden Moglichkeiten 1 G ϵ displaystyle Gamma epsilon nbsp ist eine Gruppe parabolischer Isometrien mit demselben Fixpunkt im Unendlichen G ϵ Z displaystyle Gamma epsilon mathbb Z nbsp erzeugt von einer hyperbolischen Isometrie G ϵ i d displaystyle Gamma epsilon left id right nbsp Daraus ergeben sich fur die Topologie der Zusammenhangskomponenten des ϵ displaystyle epsilon nbsp dunnen Teils M lt ϵ displaystyle M lt epsilon nbsp die folgenden Moglichkeiten 2 V 0 displaystyle V times left 0 infty right nbsp fur eine geschlossene flache Mannigfaltigkeit V displaystyle V nbsp der Dimension n 1 displaystyle n 1 nbsp B n 1 S 1 displaystyle B n 1 times S 1 nbsp oder S 1 displaystyle S 1 nbsp Im ersten Fall handelt es sich um sogenannte Spitzen engl cusps Im zweiten Fall handelt es sich um Tubenumgebungen geschlossener Geodaten oder um geschlossene Geodaten der Lange ϵ displaystyle epsilon nbsp Margulis Zahlen BearbeitenFur eine riemannsche Mannigfaltigkeit M displaystyle M nbsp ist die Margulis Zahl m M displaystyle mu M nbsp die grosste reelle Zahl so dass die Konklusion des Margulis Lemmas fur alle ϵ lt m M displaystyle epsilon lt mu M nbsp gilt Fur hyperbolische 3 Mannigfaltigkeiten ist m M 0 104 displaystyle mu M geq 0 104 nbsp 3 Peter Shalen bewies dass fur fast alle hyperbolischen 3 Mannigfaltigkeiten m M 0 29 displaystyle mu M leq 0 29 nbsp gilt Aufgrund numerischer Berechnungen wird vermutet dass immer m M 0 616 displaystyle mu M leq 0 616 nbsp gilt 4 Fur hyperbolische Mannigfaltigkeiten der Dimension n displaystyle n nbsp gilt m M 2 n 1 3 n 1 p n G n 2 2 2 G n 2 displaystyle mu M geq frac 2 nu 1 3 nu 1 pi nu frac Gamma frac nu 2 2 2 Gamma nu 2 nbsp mit n n 1 2 displaystyle nu left frac n 1 2 right nbsp 5 Umgekehrt gibt es die auf Kapovich zuruckgehende Ungleichung ϵ n C n n displaystyle epsilon n leq frac C n sqrt n nbsp mit einer explizit bestimmbaren Konstante C n displaystyle C n nbsp 6 Kragen Lemma BearbeitenAus dem Lemma von Margulis lasst sich herleiten dass sehr kurze geschlossene Geodaten eine Kragenumgebung grossen hyperbolischen Volumens besitzen mussen Eine quantitative Beschreibung dieses Zusammenhangs fur Flachen liefert das Kragen Lemma engl collar lemma dessen erste Version 1974 von Linda Keen bewiesen wurde 7 Die bestmogliche Abschatzung geht auf Randol zuruck In einer hyperbolischen Flache hat eine geschlossene Geodate der Lange l displaystyle l nbsp eine Kragenumgebung der Breite w displaystyle w nbsp mit cosh w 2 coth l 2 displaystyle cosh left tfrac w 2 right coth left tfrac l 2 right nbsp 8 Man beachte dass lim l 0 coth l 2 displaystyle lim l to 0 coth left tfrac l 2 right infty nbsp ist Literatur BearbeitenKazdan D A Margulis G A A proof of Selberg s hypothesis Russian Mat Sb N S 75 117 1968 163 168 Raghunathan M S Discrete subgroups of Lie groups Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 68 Springer Verlag New York Heidelberg 1972 Buser Peter Karcher Hermann Gromov s almost flat manifolds Asterisque 81 Societe Mathematique de France Paris 1981 Ballmann Werner Gromov Mikhael Schroeder Viktor Manifolds of nonpositive curvature Progress in Mathematics 61 Birkhauser Boston Inc Boston MA 1985 ISBN 0 8176 3181 X Benedetti Riccardo Petronio Carlo Lectures on hyperbolic geometry Universitext Springer Verlag Berlin 1992 ISBN 3 540 55534 XWeblinks BearbeitenBromberg The Thick Thin Decomposition Gallot Margulis Lemmas without curvature Shalen Margulis Numbers of Hyperbolic 3 Manifolds Bergeron Guilloux Geometrie hyperbolique et representations de groupes de surface Chapitre III Theoreme de Bieberbach et lemme de Margulis Martelli Geometric Topology Chapter 4 Thin thick decomposition Einzelnachweise Bearbeiten Benedetti Petronio Theorem D 2 2 Benedetti Petronio Theorem D 3 3 Robert Meyerhoff A lower bound for the volume of hyperbolic 3 manifolds Canad J Math 39 5 1038 1056 1987 Peter Shalen Topology and geometry in dimension three 103 109 Contemp Math 560 Amer Math Soc Providence RI 2011 Ruth Kellerhals On the structure of hyperbolic manifolds Israel J Math 143 2004 361 379 Michail Belolipetsky Hyperbolic orbifolds of small volume Erscheint in den Proceedings des ICM 2014 pdf Linda Keen Collars on Riemann surfaces Discontinuous groups and Riemann surfaces Proc Conf Univ Maryland College Park Md 1973 pp 263 268 Ann of Math Studies No 79 Princeton Univ Press Princeton N J 1974 Burton Randol Cylinders in Riemann surfaces Comment Math Helv 54 1979 no 1 1 5 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Margulis amp oldid 227943440