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Kummer Theorie Im mathematischen Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die bestimmte Körpererweiterungen die man durch

Kummer-Theorie

Im mathematischen Teilgebiet der Körpertheorie beschreibt die Kummer-Theorie bestimmte Körpererweiterungen, die man durch Adjunktion -ter Wurzeln von Elementen des Grundkörpers erhält. Ursprünglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschäftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er-Jahren entwickelt.

Die Hauptaussagen der Theorie hängen nicht vom speziellen Grundkörper ab, nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von sein. Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer-Theorie in der Klassenkörpertheorie, allgemein ist sie zum Verständnis abelscher Erweiterungen wichtig; sie besagt, dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden können, sofern der Grundkörper genügend Einheitswurzeln enthält.

Kummererweiterungen Bearbeiten

Definition Bearbeiten

Sei eine natürliche Zahl. Eine Kummer-Erweiterung ist eine Körpererweiterung , für die gilt:

  • enthält verschiedene -te Einheitswurzeln, also die Nullstellen des Polynoms .
  • hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten . Letzteres bedeutet, dass für alle Elemente der Galoisgruppe gilt und minimal mit dieser Eigenschaft ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Ist , so ist die erste Bedingung immer erfüllt, falls nicht die Charakteristik 2 hat, die beiden Einheitswurzeln sind 1 und −1. Kummer-Erweiterungen sind in diesem Fall zunächst quadratische Erweiterungen , wobei ein nichtquadratisches Element von ist. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen zeigt, dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt. Ebenfalls Kummer-Erweiterungen für sind biquadratische (durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln) und allgemeiner multiquatratische (durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln) Erweiterungen. Hat die Charakteristik 2, gibt es keine Kummer-Erweiterungen, da in Charakteristik 2 die Gleichung gilt, es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt.
  • Für gibt es keine Kummer-Erweiterungen der rationalen Zahlen , da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind. Sei eine beliebige rationale Zahl, die keine dritte Potenz ist, und der Zerfällungskörper von über . Sind und Nullstellen dieses kubischen Polynoms, so gilt . Da das kubische Polynom ferner separabel ist, hat es drei verschiedene Nullstellen. Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln, nämlich und , in , sodass einen Unterkörper besitzt, der die drei Einheitswurzeln enthält. Dann ist eine Kummer-Erweiterungen.
  • Enthält allgemeiner verschiedene -te Einheitswurzeln, woraus bereits folgt, dass die Charakteristik von kein Teiler von ist, so erhält man durch Adjunktion einer -ten Wurzel eines Elements von zum Körper eine Kummer-Erweiterung. Ihr Grad ist dabei ein Teiler von . Als Zerfällungskörper des Polynoms ist die Kummer-Erweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung .

Kummer-Theorie Bearbeiten

Die Kummer-Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung. Ist ein Körper, der verschiedene -te Einheitswurzeln enthält, so besagt sie, dass jede zyklische Erweiterung von vom Grad durch das Ziehen einer -ten Wurzel gewonnen werden kann. Bezeichnet man mit die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Körpers , so stehen die zyklischen Erweiterungen von vom Grad , die in einem fest gewählten algebraischen Abschluss liegen, in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von , also der Faktorgruppe von nach den -ten Potenzen.

Die Bijektion kann explizit angegeben werden: Einer zyklischen Untergruppe wird die Erweiterung zugeordnet, die durch Adjunktion aller -ten Wurzeln von Elementen aus zu entsteht.

Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung die Untergruppe zu.

Ordnet diese Bijektion die Gruppe und die Körpererweiterung einander zu, so gibt es einen Isomorphismus , der gegeben ist durch . Dabei steht für die Gruppe der -ten Einheitswurzeln und für eine beliebige -te Wurzel von .

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Die oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen und abelschen Erweiterungen vom Exponenten . Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben.

In Charakteristik gibt es eine analoge Theorie für zyklische Erweiterungen vom Grad , die Artin-Schreier-Theorie. Eine Verallgemeinerung für abelsche Erweiterungen vom Exponenten stammt ebenfalls von Witt. Sie verwendet die in derselben Arbeit eingeführten Wittvektoren.

Fußnoten Bearbeiten

  1. Peter Roquette: Class Field Theory in Characteristic p, its Origin and Development. In: Class Field Theory, its Centenary and Prospect. Math. Soc. Japan, Tokyo 2001, S. 549–631. Die Originalarbeit von Witt ist: Ernst Witt: Der Existenzsatz für abelsche Funktionenkörper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 173, 1935, S. 34–51.
  2. Ernst Witt: Zyklische Körper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn. Struktur diskret bewerteter perfekter Körper mit vollkommenem Restklassenkörper der Charakteristik p. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 176, 1936, S. 126–140.

Quellen Bearbeiten

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Im mathematischen Teilgebiet der Korpertheorie beschreibt die Kummer Theorie bestimmte Korpererweiterungen die man durch Adjunktion n displaystyle n ter Wurzeln von Elementen des Grundkorpers erhalt Ursprunglich wurde die Theorie von Ernst Eduard Kummer bei seiner Beschaftigung mit der fermatschen Vermutung in den 1840er Jahren entwickelt Die Hauptaussagen der Theorie hangen nicht vom speziellen Grundkorper ab nur darf dessen Charakteristik kein Teiler von n displaystyle n sein Eine grundlegende Rolle spielt die Kummer Theorie in der Klassenkorpertheorie allgemein ist sie zum Verstandnis abelscher Erweiterungen wichtig sie besagt dass zyklische Erweiterungen durch Wurzelziehen gewonnen werden konnen sofern der Grundkorper genugend Einheitswurzeln enthalt Inhaltsverzeichnis 1 Kummererweiterungen 1 1 Definition 1 2 Beispiele 2 Kummer Theorie 3 Verallgemeinerungen 4 Fussnoten 5 QuellenKummererweiterungen BearbeitenDefinition Bearbeiten Sei n gt 1 displaystyle n gt 1 nbsp eine naturliche Zahl Eine Kummer Erweiterung ist eine Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp fur die gilt K displaystyle K nbsp enthalt n displaystyle n nbsp verschiedene n displaystyle n nbsp te Einheitswurzeln also die Nullstellen des Polynoms X n 1 displaystyle X n 1 nbsp L K displaystyle L K nbsp hat eine abelsche Galoisgruppe vom Exponenten n displaystyle n nbsp Letzteres bedeutet dass fur alle Elemente s displaystyle sigma nbsp der Galoisgruppe s n Id displaystyle sigma n operatorname Id nbsp gilt und n displaystyle n nbsp minimal mit dieser Eigenschaft ist Beispiele Bearbeiten Ist n 2 displaystyle n 2 nbsp so ist die erste Bedingung immer erfullt falls K displaystyle K nbsp nicht die Charakteristik 2 hat die beiden Einheitswurzeln sind 1 und 1 Kummer Erweiterungen sind in diesem Fall zunachst quadratische Erweiterungen L K a displaystyle L K sqrt a nbsp wobei a displaystyle a nbsp ein nichtquadratisches Element von K displaystyle K nbsp ist Die Losungsformel fur quadratische Gleichungen zeigt dass jede Erweiterung vom Grad 2 diese Gestalt besitzt Ebenfalls Kummer Erweiterungen fur n 2 displaystyle n 2 nbsp sind biquadratische durch Adjunktion zweier Quadratwurzeln und allgemeiner multiquatratische durch Adjunktion mehrerer Quadratwurzeln Erweiterungen Hat K displaystyle K nbsp die Charakteristik 2 gibt es keine Kummer Erweiterungen da in Charakteristik 2 die Gleichung 1 1 displaystyle 1 1 nbsp gilt es also keine zwei verschiedenen Einheitswurzeln gibt Fur n 3 displaystyle n 3 nbsp gibt es keine Kummer Erweiterungen der rationalen Zahlen Q displaystyle mathbb Q nbsp da nicht alle drei dritten Einheitswurzeln rational sind Sei a displaystyle a nbsp eine beliebige rationale Zahl die keine dritte Potenz ist und L displaystyle L nbsp der Zerfallungskorper von X 3 a displaystyle X 3 a nbsp uber Q displaystyle mathbb Q nbsp Sind a displaystyle alpha nbsp und b displaystyle beta nbsp Nullstellen dieses kubischen Polynoms so gilt a b 3 a 3 b 3 a a 1 displaystyle alpha beta 3 alpha 3 beta 3 a a 1 nbsp Da das kubische Polynom ferner separabel ist hat es drei verschiedene Nullstellen Damit liegen auch die beiden nichttrivialen dritten Einheitswurzeln namlich a b displaystyle alpha beta nbsp und b a displaystyle beta alpha nbsp in L displaystyle L nbsp sodass L displaystyle L nbsp einen Unterkorper K displaystyle K nbsp besitzt der die drei Einheitswurzeln enthalt Dann ist L K displaystyle L K nbsp eine Kummer Erweiterungen Enthalt K displaystyle K nbsp allgemeiner n displaystyle n nbsp verschiedene n displaystyle n nbsp te Einheitswurzeln woraus bereits folgt dass die Charakteristik von K displaystyle K nbsp kein Teiler von n displaystyle n nbsp ist so erhalt man durch Adjunktion einer n displaystyle n nbsp ten Wurzel eines Elements a displaystyle a nbsp von K displaystyle K nbsp zum Korper K displaystyle K nbsp eine Kummer Erweiterung Ihr Grad m displaystyle m nbsp ist dabei ein Teiler von n displaystyle n nbsp Als Zerfallungskorper des Polynoms X n a displaystyle X n a nbsp ist die Kummer Erweiterung automatisch galoissch mit zyklischer Galoisgruppe der Ordnung m displaystyle m nbsp Kummer Theorie BearbeitenDie Kummer Theorie macht Aussagen der umgekehrten Richtung Ist K displaystyle K nbsp ein Korper der n displaystyle n nbsp verschiedene n displaystyle n nbsp te Einheitswurzeln enthalt so besagt sie dass jede zyklische Erweiterung von K displaystyle K nbsp vom Grad n displaystyle n nbsp durch das Ziehen einer n displaystyle n nbsp ten Wurzel gewonnen werden kann Bezeichnet man mit K displaystyle K times nbsp die multiplikative Gruppe der von Null verschiedenen Elemente des Korpers K displaystyle K nbsp so stehen die zyklischen Erweiterungen von K displaystyle K nbsp vom Grad n displaystyle n nbsp die in einem fest gewahlten algebraischen Abschluss liegen in Bijektion mit den zyklischen Untergruppen von K K n displaystyle K times K times n nbsp also der Faktorgruppe von K displaystyle K times nbsp nach den n displaystyle n nbsp ten Potenzen Die Bijektion kann explizit angegeben werden Einer zyklischen Untergruppe D K K n displaystyle Delta subseteq K times K times n nbsp wird die Erweiterung K D 1 n displaystyle K Delta 1 n nbsp zugeordnet die durch Adjunktion aller n displaystyle n nbsp ten Wurzeln von Elementen aus D displaystyle Delta nbsp zu K displaystyle K nbsp entsteht Umgekehrt ordnet man der Kummererweiterung L K displaystyle L K nbsp die Untergruppe D K L n displaystyle Delta K times cap L times n nbsp zu Ordnet diese Bijektion die Gruppe D displaystyle Delta nbsp und die Korpererweiterung L K displaystyle L K nbsp einander zu so gibt es einen Isomorphismus D Hom Gal L K m n displaystyle Delta cong operatorname Hom operatorname Gal L K mu n nbsp der gegeben ist durch a s s a a displaystyle a mapsto sigma mapsto tfrac sigma alpha alpha nbsp Dabei steht m n displaystyle mu n nbsp fur die Gruppe der n displaystyle n nbsp ten Einheitswurzeln und a displaystyle alpha nbsp fur eine beliebige n displaystyle n nbsp te Wurzel von a D displaystyle a in Delta nbsp Verallgemeinerungen BearbeitenDie oben angegebene Korrespondenz setzt sich fort zu einer Bijektion zwischen Untergruppen D K K n displaystyle Delta subseteq K times K times n nbsp und abelschen Erweiterungen vom Exponenten n displaystyle n nbsp Diese allgemeine Fassung wurde erstmals von Ernst Witt angegeben 1 In Charakteristik p gt 0 displaystyle p gt 0 nbsp gibt es eine analoge Theorie fur zyklische Erweiterungen vom Grad p displaystyle p nbsp die Artin Schreier Theorie Eine Verallgemeinerung fur abelsche Erweiterungen vom Exponenten p n displaystyle p n nbsp stammt ebenfalls von Witt 2 Sie verwendet die in derselben Arbeit eingefuhrten Wittvektoren Fussnoten Bearbeiten Peter Roquette Class Field Theory in Characteristic p its Origin and Development In Class Field Theory its Centenary and Prospect Math Soc Japan Tokyo 2001 S 549 631 Die Originalarbeit von Witt ist Ernst Witt Der Existenzsatz fur abelsche Funktionenkorper In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 173 1935 S 34 51 Ernst Witt Zyklische Korper und Algebren der Charakteristik p vom Grad pn Struktur diskret bewerteter perfekter Korper mit vollkommenem Restklassenkorper der Charakteristik p In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Band 176 1936 S 126 140 Quellen BearbeitenJurgen Neukirch Klassenkorpertheorie Bibliographisches Institut Mannheim 1986 L V Kuz min Kummer extension In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kummer Theorie amp oldid 232347614