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Klein Nishina Wirkungsquerschnitt Der ist der Wirkungsquerschnitt der die Winkelverteilung von Photonen angibt die an ru

Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt

Der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt ist der Wirkungsquerschnitt, der die Winkelverteilung von Photonen angibt, die an ruhenden, punktförmigen, geladenen Teilchen gestreut werden (Compton-Streuung). Er wurde 1929 von Oskar Klein und Yoshio Nishina für das Elektron berechnet und war eines der ersten Ergebnisse der Quantenelektrodynamik. Er stimmt mit den experimentellen Ergebnissen überein. In diesem Artikel wird die Rechnung für das Elektron nachvollzogen; für andere punktförmige Teilchen sind die Elementarladung und die Elektronenmasse durch entsprechende Parameter abzuändern.

Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt für den Streuwinkel bei verschiedenen Energien
(Einspeisung von links, d. h. bei 180°)

Die nun folgenden Formeln sind nicht im SI-System, sondern in einem für die Teilchenphysik angepassten natürlichen Einheitensystem angeschrieben, in dem gilt:

Definition Bearbeiten

Bei der Photon-Teilchen-Streuung legen in einer halbklassischen Rechnung Energie- und Impulserhaltung fest, wie die Energie des gestreuten Photons vom Streuwinkel und der ursprünglichen Photonenenergie abhängt (siehe Compton-Effekt):

Aus den Erhaltungssätzen folgt aber nicht, wie häufig dieser oder jener Streuwinkel auftritt. Diese Häufigkeit wird durch den differentiellen Wirkungsquerschnitt angegeben. Er lautet im Laborsystem für unpolarisierte Photonen:

mit

Eine Integration über den differentiellen Wirkungsquerschnitt liefert den totalen Wirkungsquerschnitt:

mit der Abkürzung .

Grenzfälle Bearbeiten

Niederenergetischer Grenzfall Bearbeiten

Für Photonenergien, die klein gegen die Ruheenergie des Elektrons sind, gilt aufgrund der Masselosigkeit des Photons und somit

dann geht der Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt gegen den Thomson-Wirkungsquerschnitt, den Joseph Thomson für die Streuung einer elektromagnetischen Welle an einer Punktladung berechnet hatte:

mit dem Polarisationsfaktor .

Für kleine Energien ist Rückwärtsstreuung des Photons also genauso wahrscheinlich wie Vorwärtsstreuung (vgl. Abbildung); erst bei höheren Energien wird Vorwärtsstreuung wahrscheinlicher (s. u.).

Für niederenergetische Photonen ist der totale Wirkungsquerschnitt nach einer Integration über den Raumwinkel bis auf einen Faktor 8/3 die Fläche einer Kreisscheibe, deren Radius der klassische Elektronenradius ist:

mit der Elektronenmasse .

Hochenergetischer Grenzfall Bearbeiten

Der totale Wirkungsquerschnitt im hochenergetischen Grenzfall ergibt sich aus einer Entwicklung im Parameter zu

Er fällt demnach bei hohen Photonenenergien mit der Energie ab.

Herleitung Bearbeiten

Der fundamentale Prozess, der zum Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt führt, ist die Compton-Streuung . Bezeichnet den Impuls des einlaufenden Elektrons und den des ein(aus)laufenden Photons (der Impuls des auslaufenden Elektrons ist durch den Energie-Impuls-Erhaltungssatz bestimmt und keine unabhängige Größe), so lautet das Spin-gemittelte quadrierte Matrixelement der Streumatrix:

Für die Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts aus dem lorentzinvarianten Matrixelement muss ein Bezugssystem gewählt werden, im Fall des Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitts das Ruhesystem des Elektrons. Weiterhin können die Koordinaten so gewählt werden, dass das einfallende Photon in -Richtung propagiert. Dann gilt mit und sowie für das Matrixelement

Den Quotienten der Energien von gestreutem und einfallenden Photon erhält man über den Energie-Impuls-Erhaltungssatz mittels

wie bereits obig postuliert, zu

Der differentielle Wirkungsquerschnitt ergibt sich nun quantenfeldtheoretisch nach

mit den Energien der Streupartner, der Geschwindigkeitsdifferenz sowie dem Phasenraum-Integral

wobei für die Viererimpulse der eingehenden (ausgehenden) Teilchen stehen und die Delta-Distribution die Energie-Impuls-Erhaltung sichert.

Im Fall der Compton-Streuung ergibt sich das Phasenraumintegral schließlich zu

sowie aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit trivialerweise .

Alles zusammengefügt und mithilfe des Energie-Impuls-Erhaltungssatzes teilweise vereinfacht, ergibt dies schließlich den Klein-Nishina-Wirkungsquerschnitt

Literatur Bearbeiten

  • Otto Nachtmann: Phänomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik. Vieweg Braunschweig, 1986, ISBN 3-528-08926-1.
  • O. Klein und Y. Nishina: Über die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantenmechanik nach Dirac. In: Zeitschrift für Physik. 52, 1929, S. 853–868, doi:10.1007/BF01366453.
  • Michael D. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory, Perseus Books Publishing 1995, ISBN 0-201-50397-2
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Veröffentlichungsdatum:
Der Klein Nishina Wirkungsquerschnitt ist der Wirkungsquerschnitt der die Winkelverteilung von Photonen angibt die an ruhenden punktformigen geladenen Teilchen gestreut werden Compton Streuung Er wurde 1929 von Oskar Klein und Yoshio Nishina fur das Elektron berechnet und war eines der ersten Ergebnisse der Quantenelektrodynamik Er stimmt mit den experimentellen Ergebnissen uberein In diesem Artikel wird die Rechnung fur das Elektron nachvollzogen fur andere punktformige Teilchen sind die Elementarladung e displaystyle e und die Elektronenmasse m displaystyle m durch entsprechende Parameter abzuandern Klein Nishina Wirkungsquerschnitt fur den Streuwinkel bei verschiedenen Energien Einspeisung von links d h bei 180 Die nun folgenden Formeln sind nicht im SI System sondern in einem fur die Teilchenphysik angepassten naturlichen Einheitensystem angeschrieben in dem gilt e 0 ℏ c 1 displaystyle varepsilon 0 hbar c 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Grenzfalle 2 1 Niederenergetischer Grenzfall 2 2 Hochenergetischer Grenzfall 3 Herleitung 4 LiteraturDefinition BearbeitenBei der Photon Teilchen Streuung legen in einer halbklassischen Rechnung Energie und Impulserhaltung fest wie die Energie E displaystyle E nbsp des gestreuten Photons vom Streuwinkel 8 displaystyle theta nbsp und der ursprunglichen Photonenenergie E displaystyle E nbsp abhangt siehe Compton Effekt E E 1 1 E m 1 cos 8 displaystyle frac E E frac 1 1 frac E m 1 cos theta nbsp Aus den Erhaltungssatzen folgt aber nicht wie haufig dieser oder jener Streuwinkel auftritt Diese Haufigkeit wird durch den differentiellen Wirkungsquerschnitt d s d W displaystyle mathrm d sigma mathrm d Omega nbsp angegeben Er lautet im Laborsystem fur unpolarisierte Photonen d s d W Klein Nishina 1 2 a 2 m 2 E E 2 E E E E sin 2 8 displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega text Klein Nishina frac 1 2 frac alpha 2 m 2 left frac E E right 2 left frac E E frac E E sin 2 theta right nbsp mit dem Raumwinkelelement d W d cos 8 d ϕ displaystyle mathrm d Omega mathrm d cos theta mathrm d phi nbsp der Feinstrukturkonstante a e 2 4 p 1 137 displaystyle alpha frac e 2 4 pi approx frac 1 137 nbsp naturliches Einheitensystem angewendet s o der Elementarladung e displaystyle e nbsp Eine Integration uber den differentiellen Wirkungsquerschnitt liefert den totalen Wirkungsquerschnitt s d s d W d W p a 2 m 2 1 x 3 2 x 2 x 1 x 8 x 1 2 x 2 x 2 x 2 log 1 2 x displaystyle sigma int frac mathrm d sigma mathrm d Omega mathrm d Omega frac pi alpha 2 m 2 frac 1 x 3 left frac 2x 2 x 1 x 8 x 1 2x 2 x 2 x 2 log 1 2x right nbsp mit der Abkurzung x E m displaystyle x E m nbsp Grenzfalle BearbeitenNiederenergetischer Grenzfall Bearbeiten Fur Photonenergien die klein gegen die Ruheenergie des Elektrons sind gilt aufgrund der Masselosigkeit des Photons E 0 displaystyle E to 0 nbsp und somit lim E 0 E E 1 displaystyle lim E to 0 frac E E 1 nbsp dann geht der Klein Nishina Wirkungsquerschnitt gegen den Thomson Wirkungsquerschnitt den Joseph Thomson fur die Streuung einer elektromagnetischen Welle an einer Punktladung berechnet hatte d s d W Thomson 1 2 a 2 m 2 1 cos 2 8 displaystyle frac mathrm d sigma mathrm d Omega text Thomson frac 1 2 frac alpha 2 m 2 left 1 cos 2 theta right nbsp mit dem Polarisationsfaktor 1 cos 2 8 2 displaystyle frac 1 cos 2 theta 2 nbsp Fur kleine Energien ist Ruckwartsstreuung des Photons also genauso wahrscheinlich wie Vorwartsstreuung vgl Abbildung erst bei hoheren Energien wird Vorwartsstreuung wahrscheinlicher s u Fur niederenergetische Photonen ist der totale Wirkungsquerschnitt nach einer Integration uber den Raumwinkel d W displaystyle d Omega nbsp bis auf einen Faktor 8 3 die Flache einer Kreisscheibe deren Radius der klassische Elektronenradius r e a ℏ c m e displaystyle r text e alpha hbar cm text e nbsp ist s Thomson 8 p 3 r e 2 displaystyle sigma text Thomson frac 8 pi 3 r text e 2 nbsp mit der Elektronenmasse m e displaystyle m text e nbsp Hochenergetischer Grenzfall Bearbeiten Der totale Wirkungsquerschnitt im hochenergetischen Grenzfall E displaystyle E to infty nbsp ergibt sich aus einer Entwicklung im Parameter x displaystyle x nbsp zu s p a 2 E m 1 2 ln 2 E m displaystyle sigma frac pi alpha 2 Em left frac 1 2 ln frac 2E m right nbsp Er fallt demnach bei hohen Photonenenergien mit der Energie ab Herleitung BearbeitenDer fundamentale Prozess der zum Klein Nishina Wirkungsquerschnitt fuhrt ist die Compton Streuung g e g e displaystyle gamma e rightarrow gamma e nbsp Bezeichnet p displaystyle p nbsp den Impuls des einlaufenden Elektrons und k k displaystyle k k nbsp den des ein aus laufenden Photons der Impuls des auslaufenden Elektrons p displaystyle p nbsp ist durch den Energie Impuls Erhaltungssatz bestimmt und keine unabhangige Grosse so lautet das Spin gemittelte quadrierte Matrixelement der Streumatrix M 2 2 e 4 p k p k p k p k 2 m 2 1 p k 1 p k m 4 1 p k 1 p k 2 displaystyle overline left mathcal M right 2 2e 4 left frac pk pk frac pk pk 2m 2 left frac 1 pk frac 1 pk right m 4 left frac 1 pk frac 1 pk right 2 right nbsp Fur die Berechnung des differentiellen Wirkungsquerschnitts aus dem lorentzinvarianten Matrixelement muss ein Bezugssystem gewahlt werden im Fall des Klein Nishina Wirkungsquerschnitts das Ruhesystem des Elektrons Weiterhin konnen die Koordinaten so gewahlt werden dass das einfallende Photon in z displaystyle z nbsp Richtung propagiert Dann gilt mit p m 0 0 0 displaystyle p m 0 0 0 nbsp und k E 0 0 E displaystyle k E 0 0 E nbsp sowie k E E sin 8 0 E cos 8 displaystyle k E E sin theta 0 E cos theta nbsp fur das Matrixelement M 2 2 e 4 E E E E 2 m 1 E 1 E m 2 1 E 1 E 2 displaystyle overline left mathcal M right 2 2e 4 left frac E E frac E E 2m left frac 1 E frac 1 E right m 2 left frac 1 E frac 1 E right 2 right nbsp Den Quotienten der Energien von gestreutem und einfallenden Photon erhalt man uber den Energie Impuls Erhaltungssatz mittels m 2 p 2 p k k 2 m 2 2 m E E 2 E E 1 cos 8 displaystyle m 2 p 2 p k k 2 m 2 2m E E 2EE 1 cos theta nbsp wie bereits obig postuliert zu E E 1 1 E m 1 cos 8 displaystyle frac E E frac 1 1 frac E m 1 cos theta nbsp Der differentielle Wirkungsquerschnitt ergibt sich nun quantenfeldtheoretisch nach d s 1 2 E A 2 E B D v d P M 2 displaystyle int mathrm d sigma frac 1 2E A 2E B Delta v int mathrm d Pi overline mathcal M 2 nbsp mit den Energien E A E B displaystyle E A E B nbsp der Streupartner der Geschwindigkeitsdifferenz D v v A v B displaystyle Delta v v A v B nbsp sowie dem Phasenraum Integral d P f d 3 p f 2 p 3 1 2 E f 2 p 4 d 4 p i p f displaystyle int mathrm d Pi left prod f int frac mathrm d 3 p f 2 pi 3 frac 1 2E f right 2 pi 4 delta 4 sum p i sum p f nbsp wobei p i p f displaystyle p i p f nbsp fur die Viererimpulse der eingehenden ausgehenden Teilchen stehen und die Delta Distribution die Energie Impuls Erhaltung sichert Im Fall der Compton Streuung ergibt sich das Phasenraumintegral schliesslich zu d P 1 16 p 2 d W E 2 E m displaystyle int mathrm d Pi frac 1 16 pi 2 int mathrm d Omega frac E 2 Em nbsp sowie aufgrund der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit trivialerweise D v 1 displaystyle Delta v 1 nbsp Alles zusammengefugt und mithilfe des Energie Impuls Erhaltungssatzes teilweise vereinfacht ergibt dies schliesslich den Klein Nishina Wirkungsquerschnitt d s 1 2 a 2 m 2 E E 2 E E E E sin 2 8 d W displaystyle mathrm d sigma frac 1 2 frac alpha 2 m 2 left frac E E right 2 left frac E E frac E E sin 2 theta right mathrm d Omega nbsp Literatur BearbeitenOtto Nachtmann Phanomene und Konzepte der Elementarteilchenphysik Vieweg Braunschweig 1986 ISBN 3 528 08926 1 O Klein und Y Nishina Uber die Streuung von Strahlung durch freie Elektronen nach der neuen relativistischen Quantenmechanik nach Dirac In Zeitschrift fur Physik 52 1929 S 853 868 doi 10 1007 BF01366453 Michael D Peskin und Daniel V Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory Perseus Books Publishing 1995 ISBN 0 201 50397 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Klein Nishina Wirkungsquerschnitt amp oldid 237203192