Die Kerr Newman Metrik nach Roy Kerr und Ezra Ted Newman ist eine exakte asymptotisch flache stationare und axialsymmetrische Losung der Einstein Gleichungen Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld von elektrisch geladenen rotierenden Schwarzen Lochern Wird die komplexe Transformation r r i a cos 8 displaystyle r to r i a cos theta die von der Schwarzschild Metrik zur Kerr Losung fuhrt auf die Reissner Nordstrom Metrik angewendet fuhrt dies zur Kerr Newman Losung 1 2 Metriken fur Schwarze Locher statisch J 0 displaystyle J 0 rotierend J 0 displaystyle J neq 0 ungeladen Q 0 displaystyle Q 0 Schwarzschild Metrik Kerr Metrikgeladen Q 0 displaystyle Q neq 0 Reissner Nordstrom Metrik Kerr Newman MetrikQ displaystyle Q Elektrische Ladung J displaystyle J Drehimpuls Inhaltsverzeichnis 1 Linienelement 2 Ergosphare und Ereignishorizont 3 Bewegungsgleichungen 4 EinzelnachweiseLinienelement BearbeitenDas Linienelement hat in Boyer Lindquist Koordinaten die Form 3 4 d t 2 r s r Q 2 S 1 d t 2 displaystyle mathrm d tau 2 left frac r rm s r Q 2 Sigma 1 right mathrm d t 2 nbsp S D d r 2 S d 8 2 x S sin 2 8 d ϕ 2 2 a Q 2 r s r sin 2 8 S d t d ϕ displaystyle frac Sigma Delta mathrm d r 2 Sigma mathrm d theta 2 frac chi Sigma sin 2 theta mathrm d phi 2 frac 2a Q 2 r rm s r sin 2 theta Sigma mathrm d t mathrm d phi nbsp Wobei hier die Raum Zeit Signatur displaystyle left right nbsp und folgende Abkurzungen benutzt wurden D r 2 r s r a 2 Q 2 S r 2 a 2 cos 2 8 x a 2 r 2 2 a 2 sin 2 8 D a J M displaystyle begin aligned Delta amp r 2 r rm s r a 2 Q 2 Sigma amp r 2 a 2 cos 2 theta chi amp left a 2 r 2 right 2 a 2 sin 2 theta Delta a amp J M end aligned nbsp dabei bezeichnen M displaystyle M nbsp das Massenaquivalent inklusive Ladungs und Rotationsenergie des zentralen Korpers Q displaystyle Q nbsp die elektrische Ladung und J displaystyle J nbsp den Drehimpuls des Schwarzen Loches Durch Wahl in der Relativitatstheorie ublicher naturlicher Einheiten mit G c K 1 displaystyle G c K 1 nbsp Gravitationskonstante Lichtgeschwindigkeit und Coulomb Konstante haben Masse M displaystyle M nbsp elektrische Ladung Q displaystyle Q nbsp und Drehimpulsparameter a displaystyle a nbsp die gleiche Dimension wie eine Lange 5 r s 2 M displaystyle r s 2M nbsp ist der Schwarzschild Radius Die irreduzible Masse M i r r displaystyle M rm irr nbsp steht mit dem totalen auch als die gravitierende Masse bezeichneten Massenaquivalent M displaystyle M nbsp im Verhaltnis 6 M i r r 1 2 2 M 2 Q 2 2 M M 2 Q 2 a 2 M 16 M i r r 4 8 M i r r 2 Q 2 Q 4 16 M i r r 2 4 a 2 displaystyle M rm irr frac 1 2 sqrt 2M 2 Q 2 2M sqrt M 2 Q 2 a 2 to M sqrt frac 16M rm irr 4 8M rm irr 2 Q 2 Q 4 16M rm irr 2 4a 2 nbsp Da einem statischen und neutralen Objekt das in Rotation versetzt oder elektrisch aufgeladen werden soll Energie hinzugefugt werden muss und diese Energie aufgrund der Aquivalenz von Masse und Energie selbst zu einer Masse aquivalent ist ist das Massenaquivalent eines rotierenden und oder geladenen Korpers dementsprechend hoher als wenn dieser sich neutral in Ruhe befindet Einem schwarzen Loch kann mithilfe des Penrose Prozesses 3 7 zwar Energie und damit auch Massenaquivalent entzogen werden jedoch nicht so viel dass am Ende weniger als die irreduzible Masse die eines entsprechenden Schwarzschild Lochs ubrigbleiben wurde Die ko und kontravarianten metrischen Koeffizienten lauten damit g t t r r s Q 2 S 1 g t t x D S displaystyle g tt frac r r rm s Q 2 Sigma 1 to g tt frac chi Delta Sigma nbsp g r r S D g r r D S g 8 8 S g 8 8 1 S displaystyle g rr frac Sigma Delta to g rr frac Delta Sigma g theta theta Sigma to g theta theta frac 1 Sigma nbsp g ϕ ϕ x sin 2 8 S g ϕ ϕ S csc 4 8 Q 2 r r s S a 2 Q 2 r r s 2 x csc 2 8 Q 2 r r s S displaystyle g phi phi frac chi sin 2 theta Sigma to g phi phi frac Sigma csc 4 theta left Q 2 r r rm s Sigma right a 2 left Q 2 r r rm s right 2 chi csc 2 theta left Q 2 r r rm s Sigma right nbsp g t ϕ a sin 2 8 Q 2 r r s S g t ϕ a S Q 2 r r s a 2 sin 2 8 Q 2 r r s 2 x Q 2 r r s S displaystyle g t phi frac a sin 2 theta Q 2 r r rm s Sigma to g t phi frac a Sigma Q 2 r r rm s a 2 sin 2 theta left Q 2 r r rm s right 2 chi left Q 2 r r rm s Sigma right nbsp Im Fall eines elektrisch neutralen Schwarzen Loches Q 0 displaystyle Q 0 nbsp vereinfacht sich die Kerr Newman Metrik zur Kerr Metrik Im Fall eines nicht rotierenden Schwarzen Loches J 0 displaystyle J 0 nbsp ergibt sich die Reissner Nordstrom Metrik und fur ein neutrales und nicht rotierendes Objekt Q J 0 displaystyle Q J 0 nbsp die Schwarzschild Metrik Ergosphare und Ereignishorizont Bearbeiten nbsp Ereignishorizonte und Ergospharen a Q lauft in pseudospharischen r 8 f Koordinaten von 0 bis 1 und in kartesischen x y z Koordinaten von 1 bis 0 Fur den ausseren Ereignishorizont bei r H displaystyle r H nbsp und den inneren auch Cauchy Horizont genannt bei r H displaystyle r H nbsp ergibt sich indem D 0 displaystyle Delta 0 nbsp gesetzt und nach r displaystyle r nbsp aufgelost wird ein Boyer Lindquist Radius von 4 r H M M 2 a 2 Q 2 displaystyle r H pm M pm sqrt M 2 a 2 Q 2 nbsp und fur die innere und aussere Ergosphare r E M M 2 a 2 cos 2 8 Q 2 displaystyle r E pm M pm sqrt M 2 a 2 cos 2 theta Q 2 nbsp Bei a 2 Q 2 M 2 displaystyle a 2 Q 2 geq M 2 nbsp wurde sich der Horizont auflosen und die Metrik dann kein schwarzes Loch mehr beschreiben Korper mit einem hoheren Spin konnen daher auch nicht zu einem Schwarzen Loch kollabieren ohne vorher Drehimpuls abzugeben und oder einen Teil ihrer Ladung durch Akkretion entgegengesetzt geladener Materie zu neutralisieren 8 9 10 Bewegungsgleichungen Bearbeiten nbsp Testpartikel im starken gravitativen Feld einer schnell rotierenden und stark geladenen zentralen Masse a M 0 9 Q M 0 4 Mit dem elektromagnetischen Potential 11 12 A m r Q S 0 0 a r Q sin 2 8 S displaystyle A mu left frac r Q Sigma 0 0 frac a r Q sin 2 theta Sigma right nbsp und dem daraus resultierenden Maxwell Tensor F m n A n x m A m x n F m n g m s g n k F s k displaystyle F mu nu frac partial A nu partial x mu frac partial A mu partial x nu to F mu nu g mu sigma g nu kappa F sigma kappa nbsp ergeben sich uber x i G j k i x j x k q F i k x j g j k displaystyle ddot x i Gamma jk i dot x j dot x k q F ik dot x j g jk nbsp die Bewegungsgleichungen 13 14 eines freifallenden Testpartikels diese lauten in den dimensionslosen naturlichen Einheiten G M c K 1 displaystyle G M c K 1 nbsp womit sich J c M 2 G displaystyle Jc M 2 G nbsp auf a displaystyle a nbsp und Q M K G displaystyle Q M cdot sqrt K G nbsp auf Q displaystyle Q nbsp reduziert und Langen in G M c 2 displaystyle GM c 2 nbsp sowie Zeiten in G M c 3 displaystyle GM c 3 nbsp gemessen werden t csc 2 8 L z a D sin 2 8 a a 2 r 2 sin 2 8 q Q r a 2 r 2 sin 2 8 E a 2 r 2 2 sin 2 8 a 2 D sin 4 8 D S displaystyle dot t frac csc 2 theta L z a Delta sin 2 theta a a 2 r 2 sin 2 theta q Q r a 2 r 2 sin 2 theta E a 2 r 2 2 sin 2 theta a 2 Delta sin 4 theta Delta Sigma nbsp r r 2 a 2 E a L z q Q r 2 D C r 2 S displaystyle dot r pm frac sqrt r 2 a 2 E a L z q Q r 2 Delta C r 2 Sigma nbsp 8 C a cos 8 2 a sin 2 8 E L z sin 8 S displaystyle dot theta pm frac sqrt C a cos theta 2 a sin 2 theta E L z sin theta Sigma nbsp ϕ E a sin 2 8 r 2 a 2 a sin 2 8 D L z D a 2 sin 2 8 q Q r a sin 2 8 S D sin 2 8 displaystyle dot phi frac E a sin 2 theta r 2 a 2 a sin 2 theta Delta L z Delta a 2 sin 2 theta q Q r a sin 2 theta Sigma Delta sin 2 theta nbsp mit E displaystyle E nbsp fur die spezifische Gesamtenergie potentiell kinetisch und Ruheenergie L z displaystyle L z nbsp fur den spezifischen axialen Drehimpuls und q displaystyle q nbsp fur die elektrische Ladung pro Masse des Testteilchens C displaystyle C nbsp ist dabei die Carter Konstante C p 8 2 cos 2 8 a 2 1 E 2 L z 2 sin 2 8 a 2 1 E 2 sin 2 d L z 2 tan 2 d displaystyle C p theta 2 cos 2 theta left a 2 1 E 2 frac L z 2 sin 2 theta right a 2 1 E 2 sin 2 delta L z 2 tan 2 delta nbsp mit den kanonischen spezifischen Impulskomponenten 13 p m g m n x n q A m displaystyle p mu g mu nu dot x nu q A mu nbsp wobei p t E displaystyle p t E nbsp p 8 8 S displaystyle p theta dot theta Sigma nbsp die poloidale Komponente des Bahndrehimpulses und d displaystyle delta nbsp der orbitale Inklinationswinkel ist Der axiale Drehimpuls L z p ϕ ϕ x sin 2 8 S t a sin 2 8 2 r Q 2 S displaystyle L z p phi frac dot phi chi sin 2 theta Sigma frac dot t a sin 2 theta left 2r Q 2 right Sigma nbsp und die Gesamtenergie des Testpartikels E g t t t g t ϕ ϕ D S 1 v 2 x W L z displaystyle E g tt dot t g t phi dot phi sqrt frac Delta Sigma 1 v 2 chi Omega L z nbsp sind dabei ebenfalls Konstanten der Bewegung W g t ϕ g ϕ ϕ a 2 r Q 2 x displaystyle Omega left frac g t phi g phi phi right frac a left 2r Q 2 right chi nbsp ist dabei die durch Frame Dragging induzierte Winkelgeschwindigkeit eines lokal drehimpulsfreien Beobachters Die Eigenzeitableitungen der Koordinaten r 8 ϕ displaystyle dot r dot theta dot phi nbsp stehen mit der lokalen 3er Geschwindigkeit v displaystyle v nbsp die relativ zu einem lokal drehimpulsfreien Beobachter vor Ort gemessen wird in dem Verhaltnis x i v i 1 v 2 g i i t g t i g i i displaystyle dot x i v i sqrt 1 v 2 g ii dot t g ti g ii nbsp Damit ergibt sich fur die einzelnen Komponenten v r r S 1 v 2 D displaystyle v r dot r sqrt frac Sigma 1 v 2 Delta nbsp fur die radiale v 8 8 S 1 v 2 displaystyle v theta dot theta sqrt Sigma 1 v 2 nbsp fur die poloidale v ϕ L z 1 v 2 R displaystyle v phi frac L z sqrt 1 v 2 bar R nbsp fur die axiale und v x E L z W 2 D S x E L z W 2 t 2 s 2 t displaystyle v sqrt frac chi E L z Omega 2 Delta Sigma chi E L z Omega 2 frac sqrt dot t 2 varsigma 2 dot t nbsp fur die insgesamte lokale Geschwindigkeit wobei R g ϕ ϕ x S sin 8 displaystyle bar R sqrt g phi phi sqrt frac chi Sigma sin theta nbsp der axiale Gyrationsradius lokaler Umfang durch 2p ist und s d t d t g t t x D S displaystyle varsigma frac rm d t rm d tau sqrt g tt sqrt frac chi Delta Sigma nbsp die gravitative Komponente der Zeitdilatation Die radiale Fluchtgeschwindigkeit eines elektrisch neutralen Teilchens lautet damit v e s c s 2 1 s displaystyle v rm esc frac sqrt varsigma 2 1 varsigma nbsp Einzelnachweise Bearbeiten Ezra Ted Newman und Tim Adamo Kerr Newman metric Scholarpedia 9 10 31791 Newman amp Janis Note on the Kerr Spinning Particle Metric a b Charles Misner Kip S Thorne John A Wheeler Gravitation Memento vom 1 Juli 2019 imInternet Archive S 877 S 908 W H Freeman San Francisco 1973 ISBN 0 7167 0344 0 a b Sarani Chakraborty Light deflection due to a charged rotating body Seite 4 Alan Myers Natural System of Units in General Relativity S 4 Thibault Damour Black Holes Energetics and Thermodynamics S 11 ff Bhat Dhurandhar amp Dadhich Energetics of the Kerr Newman Black Hole by the Penrose Process S 94 ff Joakim Bolin Ingemar Bengtsson The Angular Momentum of Kerr Black Holes Memento vom 15 Dezember 2017 imInternet Archive S 2 S 10 S 11 William Wheaton Rotation Speed of a Black Hole Roy Kerr Crafoord Prize Symposium in Astronomy Spinning Black Holes Youtube Zeitstempel 36 47 Brandon Carter Global structure of the Kerr family of gravitational fields 1968 Orlando Luongo Hernando Quevedo Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues a b Hakan Cebeci et al Motion of the charged test particles in Kerr Newman Taub NUT spacetime and analytical solutions Eva Hackmann Hongxiao Xu Charged particle motion in Kerr Newmann space times S 4 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kerr Newman Metrik amp oldid 238666731
