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Kartesische Gruppe Eine auch Cartesische Gruppe 1 engl Cartesian Group 2 ist eine algebraische Struktur die in der synth

Kartesische Gruppe

Eine Kartesische Gruppe (auch: Cartesische Gruppe, engl. Cartesian Group) ist eine algebraische Struktur, die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich für bestimmte affine und projektive Ebenen dient. Der Begriff geht auf Reinhold Baer zurück. Jede Kartesische Gruppe kann zu einem Ternärkörper gemacht werden, jeder Quasikörper ist eine Kartesische Gruppe. Die projektive Ebene über einer Kartesischen Gruppe gehört der Lenz-Klasse II oder einer höheren Klasse (III, IVa, IVb, V oder VII) an.

Definition Bearbeiten

Eine Menge mit den zweistelligen Verknüpfungen und zwei verschiedenen Strukturkonstanten heißt Kartesische Gruppe, wenn die folgenden Axiome gelten:

  1. ist eine Gruppe mit dem neutralen Element 0.
  2. Es gilt und
  3. Sind und gilt , dann gibt es genau ein und mindestens ein , so dass und gilt.

Gleichwertig: ist genau dann eine Kartesische Gruppe, wenn

  1. mit der Ternärverknüpfung ein Ternärkörper ist und
  2. in das Assoziativgesetz gilt, also für stets erfüllt ist.

Eigenschaften und Bemerkungen Bearbeiten

  • Im 3. Axiom des ersten Systems kann gleichwertig die Existenz von mindestens einer „Linkslösung“ x und genau einer „Rechtslösung“ y gefordert werden. Die Eindeutigkeit der Lösung, die in den Axiomen nicht extra gefordert wird, lässt sich dann aus den übrigen Axiomen herleiten.
  • Der im zweiten Axiomensystem genannte, durch eindeutig bestimmte Ternärkörper ist stets linear.
  • Die affine Ebene über wird über die Ternärverknüpfung so aufgebaut, wie es im Artikel Ternärkörper (für den linearen Fall) beschrieben ist.
  • Der projektive Abschluss der genannten affinen Ebene gehört mindestens der Lenz-Klasse II an.
  • Die „Addition“ in einer Kartesischen Gruppe muss nicht kommutativ sein.
  • Eine Kartesische Gruppe ist ein spezieller linearer Ternärkörper, also eine algebraische Struktur mit zwei unterschiedlichen Verknüpfungen, im Gegensatz zum sonst üblichen Begriff einer Gruppe. Mit der Addition allein bildet jede Kartesische Gruppe eine Gruppe im sonst üblichen Sinn der Algebra.

Beispiele Bearbeiten

Koordinatenbereiche angeordneter und ebener projektiver Ebenen Bearbeiten

Lässt eine affine Ebene eine („starke“) Anordnung zu, dann ist dadurch auch ihr projektiver Abschluss eine angeordnete projektive Ebene. Dann ist auch ihr Koordinatenternärkörper angeordnet und damit unendlich. In den 1960er Jahren wurden einige Beispiele für angeordnete, echte Kartesische Gruppen gefunden, die solche angeordneten Ebenen koordinatisieren.

Eine angeordnete projektive Ebene wird als ebene projektive Ebene bezeichnet, wenn sie in ihrer „natürlichen“ Topologie, die hier durch die Anordnung eines (und damit jedes) ihrer Koordinatenternärkörper induziert wird, homöomorph zur gewöhnlichen reellen projektiven Ebene ist. Der Koordinatenternärkörper einer ebenen projektiven Ebene lässt dann immer eine archimedische Anordnung zu.

  • Der Koordinatenbereich der Moulton-Ebene ist eine Kartesische Gruppe, die kein Quasikörper ist. Man verwendet im Körper der reellen Zahlen die gewöhnliche Addition und definiert eine neue Multiplikation durch
  • Eine überabzählbare Menge von Beispielen für eine Kartesische Gruppe erhält man aus dem Körper durch die Wahl von drei reellen Parametern . Man wählt als Addition die gewöhnliche reelle Addition und ersetzt die Multiplikation durch die Verknüpfung für :
Jede solche Kartesische Gruppe koordinatisiert eine von den Parametern abhängige, nichtdesarguessche, angeordnete, ebene projektive Ebene, die für zur Lenz-Barlotti Klasse II.1 gehört.
  • Geht man vom Körper aus, behält wieder die Anordnung und die Addition bei und erklärt eine neue Multiplikation für durch

Literatur Bearbeiten

  • Walter Benz: Grundlagen der Geometrie. In: Ein Jahrhundert Mathematik, 1890–1990. Festschrift zum Jubiläum der DMV. Vieweg, Braunschweig 1990, ISBN 3-528-06326-2.
  • Hanfried Lenz: Kleiner desarguesscher Satz und Dualität in projektiven Ebenen. In: Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung. Band 57. Teubner, 1955, S. 20–31 (Permalink zum digitalisierten Volltext [abgerufen am 25. Dezember 2011]).
  • W. A. Pierce: Moulton Planes. In: Canadian J. Math. Band 13, 1961, S. 427–436.
  • Sibylla Prieß-Crampe: Angeordnete Strukturen. Gruppen, Körper, projektive Ebenen (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 98). Springer, Berlin/Heidelberg/New York 1983, ISBN 3-540-11646-X (Permalink zu einem Review des Buches [abgerufen am 16. Juni 2012]).
  • Charles Weibel: Survey of Non-Desarguesian Planes. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 54. American Mathematical Society, November 2007, S. 1294–1303 (ams.org [PDF; 702 kB; abgerufen am 30. Juli 2013]).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Lenz (1955)
  2. ↑ Hauke Klein: Cartesian Group. In: Geometry. Universität Kiel, 29. November 2002, abgerufen am 25. Dezember 2011 (englisch).
  3. Benz (1990), S. 244
  4. Alle in diesem Abschnitt getroffenen Aussagen und genannten Beispiele finden sich mit Nachweis der Originalliteratur im Buch von Prieß-Crampe (1983)
  5. Pierce (1961)
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Veröffentlichungsdatum:
Eine Kartesische Gruppe auch Cartesische Gruppe 1 engl Cartesian Group 2 ist eine algebraische Struktur die in der synthetischen Geometrie als Koordinatenbereich fur bestimmte affine und projektive Ebenen dient Der Begriff geht auf Reinhold Baer zuruck 3 Jede Kartesische Gruppe kann zu einem Ternarkorper gemacht werden jeder Quasikorper ist eine Kartesische Gruppe Die projektive Ebene uber einer Kartesischen Gruppe gehort der Lenz Klasse II oder einer hoheren Klasse III IVa IVb V oder VII an Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften und Bemerkungen 3 Beispiele 3 1 Koordinatenbereiche angeordneter und ebener projektiver Ebenen 4 Literatur 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine Menge K displaystyle K nbsp mit den zweistelligen Verknupfungen displaystyle cdot nbsp und zwei verschiedenen Strukturkonstanten 0 1 K displaystyle 0 1 in K nbsp heisst Kartesische Gruppe wenn die folgenden Axiome gelten 2 K displaystyle K nbsp ist eine Gruppe mit dem neutralen Element 0 Es gilt 0 x x 0 0 displaystyle 0 cdot x x cdot 0 0 nbsp und 1 x x 1 x displaystyle 1 cdot x x cdot 1 x nbsp Sind a b c K displaystyle a b c in K nbsp und gilt a b displaystyle a neq b nbsp dann gibt es genau ein x K displaystyle x in K nbsp und mindestens ein y K displaystyle y in K nbsp so dass x a c x b displaystyle xa c xb nbsp und b y a y c displaystyle by ay c nbsp gilt Gleichwertig K 0 1 displaystyle K cdot 0 1 nbsp ist genau dann eine Kartesische Gruppe wenn K T 0 1 displaystyle K T 0 1 nbsp mit der Ternarverknupfung T a b c a b c displaystyle T a b c a cdot b c nbsp ein Ternarkorper ist und in K 0 displaystyle K 0 nbsp das Assoziativgesetz gilt also fur a b c K displaystyle a b c in K nbsp stets a b c a b c displaystyle a b c a b c nbsp erfullt ist Eigenschaften und Bemerkungen BearbeitenIm 3 Axiom des ersten Systems kann gleichwertig die Existenz von mindestens einer Linkslosung x und genau einer Rechtslosung y gefordert werden Die Eindeutigkeit der Losung die in den Axiomen nicht extra gefordert wird lasst sich dann aus den ubrigen Axiomen herleiten Der im zweiten Axiomensystem genannte durch K 0 1 displaystyle K cdot 0 1 nbsp eindeutig bestimmte Ternarkorper ist stets linear Die affine Ebene uber K displaystyle K nbsp wird uber die Ternarverknupfung so aufgebaut wie es im Artikel Ternarkorper fur den linearen Fall beschrieben ist Der projektive Abschluss der genannten affinen Ebene gehort mindestens der Lenz Klasse II an Die Addition displaystyle nbsp in einer Kartesischen Gruppe muss nicht kommutativ sein Eine Kartesische Gruppe ist ein spezieller linearer Ternarkorper also eine algebraische Struktur mit zwei unterschiedlichen Verknupfungen im Gegensatz zum sonst ublichen Begriff einer Gruppe Mit der Addition allein bildet jede Kartesische Gruppe eine Gruppe im sonst ublichen Sinn der Algebra Beispiele BearbeitenJeder Quasikorper und jede starkere algebraische Struktur also jeder Fastkorper Halbkorper Alternativkorper Schiefkorper oder Korper liefert ein Beispiel fur eine Kartesische Gruppe Koordinatenbereiche angeordneter und ebener projektiver Ebenen Bearbeiten Lasst eine affine Ebene eine starke Anordnung zu dann ist dadurch auch ihr projektiver Abschluss eine angeordnete projektive Ebene Dann ist auch ihr Koordinatenternarkorper angeordnet und damit unendlich In den 1960er Jahren wurden einige Beispiele fur angeordnete echte Kartesische Gruppen gefunden die solche angeordneten Ebenen koordinatisieren 4 Eine angeordnete projektive Ebene wird als ebene projektive Ebene bezeichnet wenn sie in ihrer naturlichen Topologie die hier durch die Anordnung eines und damit jedes ihrer Koordinatenternarkorper induziert wird homoomorph zur gewohnlichen reellen projektiven Ebene ist Der Koordinatenternarkorper einer ebenen projektiven Ebene lasst dann immer eine archimedische Anordnung zu Der Koordinatenbereich der Moulton Ebene ist eine Kartesische Gruppe die kein Quasikorper ist Man verwendet im Korper der reellen Zahlen K R displaystyle K mathbb R nbsp die gewohnliche Addition und definiert eine neue Multiplikation durcha c b a c b a lt 0 b lt 0 a b sonst displaystyle a ast c b begin cases a cdot c cdot b amp a lt 0 land b lt 0 a cdot b amp text sonst end cases nbsp mit einer positiven Konstante c 1 displaystyle c neq 1 nbsp Dann ist R c 0 1 displaystyle mathbb R ast c 0 1 nbsp eine Kartesische Gruppe mit kommutativer Addition und kommutativer nicht assoziativer Multiplikation Keines der Distributivgesetze ist erfullt daher handelt es sich nicht um einen Quasikorper Offensichtlich kann im letzten Beispiel an Stelle von R displaystyle mathbb R nbsp jeder beliebige geordnete Korper zugrunde gelegt werden 5 Dies fuhrt zu unendlich vielen nicht isomorphen Kartesischen Gruppen die alle unendlich viele Elemente enthalten Die projektiven Ebenen sind angeordnete projektive Ebenen der Lenz Barlotti Klasse III 2 und sofern der Grundkorper ein Teilkorper der reellen Zahlen ist archimedisch angeordnet und daher homoomorph zu einer Unterebene der reellen projektiven Ebene Man kann bei der obigen modifizierten Multiplikation fur eine Moulton Ebenen auch von einem nichtkommutativen angeordneten Schiefkorper K anstelle eines kommutativen Korpers ausgehen Auch dann bildet K c K c 0 1 displaystyle K c K ast c 0 1 nbsp stets eine Kartesische Gruppe Eine projektive Ebene die durch K c displaystyle K c nbsp koordinatisiert werden kann ist eine angeordnete nichtdesarguessche projektive Ebene und hat den Lenz Barlotti Typ III 2 falls c im Zentrum von K liegt und sonst den Lenz Barlotti Typ III 1 Da nichtkommutative angeordnete Schiefkorper nicht archimedisch geordnet sein konnen sind auch diese Ebenen nicht archimedisch geordnet Eine uberabzahlbare Menge von Beispielen fur eine Kartesische Gruppe C C k r s R displaystyle C C k rho sigma mathbb R circ nbsp erhalt man aus dem Korper R displaystyle mathbb R cdot nbsp durch die Wahl von drei reellen Parametern k r s gt 0 t r s 1 gt 0 displaystyle k rho sigma gt 0 tau rho sigma 1 gt 0 nbsp Man wahlt als Addition die gewohnliche reelle Addition und ersetzt die Multiplikation durch die Verknupfung fur a x R displaystyle a x in mathbb R nbsp a x a x 0 a x a x r 1 a lt 0 lt x a s 1 x x lt 0 lt a k a s t 1 x s t 1 a x lt 0 displaystyle a circ x begin cases a cdot x amp 0 leq a x a cdot x rho 1 amp a lt 0 lt x a sigma 1 cdot x amp x lt 0 lt a k cdot a sigma tau 1 cdot x sigma tau 1 amp a x lt 0 end cases nbsp dd Jede solche Kartesische Gruppe C k r s displaystyle C k rho sigma nbsp koordinatisiert eine von den Parametern 0 lt k r s R s lt 1 displaystyle 0 lt k rho sigma in mathbb R sigma lt 1 nbsp abhangige nichtdesarguessche angeordnete ebene projektive Ebene die fur r s 1 1 displaystyle rho sigma neq 1 1 nbsp zur Lenz Barlotti Klasse II 1 gehort Geht man vom Korper R displaystyle mathbb R cdot nbsp aus behalt wieder die Anordnung und die Addition bei und erklart eine neue Multiplikation fur s x R displaystyle s x in mathbb R nbsp durchs x a 1 a s a x m i t a x x x lt 1 1 2 x sgn x x 1 displaystyle s circ x alpha 1 alpha s cdot alpha x quad mathrm mit quad alpha x begin cases x amp x lt 1 frac 1 2 x operatorname sgn x amp x geq 1 end cases nbsp dann erhalt man eine Kartesische Gruppe R displaystyle mathbb R circ nbsp die eine ebene projektive Ebene vom Lenz Barlotti Typ II 2 koordinatisiert Literatur BearbeitenWalter Benz Grundlagen der Geometrie In Ein Jahrhundert Mathematik 1890 1990 Festschrift zum Jubilaum der DMV Vieweg Braunschweig 1990 ISBN 3 528 06326 2 Hanfried Lenz Kleiner desarguesscher Satz und Dualitat in projektiven Ebenen In Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung Band 57 Teubner 1955 S 20 31 Permalink zum digitalisierten Volltext abgerufen am 25 Dezember 2011 W A Pierce Moulton Planes In Canadian J Math Band 13 1961 S 427 436 Sibylla Priess Crampe Angeordnete Strukturen Gruppen Korper projektive Ebenen Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 98 Springer Berlin Heidelberg New York 1983 ISBN 3 540 11646 X Permalink zu einem Review des Buches abgerufen am 16 Juni 2012 Charles Weibel Survey of Non Desarguesian Planes In Notices of the American Mathematical Society Band 54 American Mathematical Society November 2007 S 1294 1303 ams org PDF 702 kB abgerufen am 30 Juli 2013 Einzelnachweise Bearbeiten Lenz 1955 a b Hauke Klein Cartesian Group In Geometry Universitat Kiel 29 November 2002 abgerufen am 25 Dezember 2011 englisch Benz 1990 S 244 Alle in diesem Abschnitt getroffenen Aussagen und genannten Beispiele finden sich mit Nachweis der Originalliteratur im Buch von Priess Crampe 1983 Pierce 1961 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kartesische Gruppe amp oldid 187955254