www.wikidata.de-de.nina.az

Moulton Ebene Die ist ein oft benutztes Beispiel für eine affine Ebene in der der Satz von Desargues nicht gilt also ein

Moulton-Ebene

Die Moulton-Ebene ist ein oft benutztes Beispiel für eine affine Ebene, in der der Satz von Desargues nicht gilt, also einer nichtdesargueschen Ebene. Damit liefern ihre Koordinaten zugleich ein Beispiel eines Ternärkörpers, der kein Schiefkörper ist. Sie wurde zuerst 1902 von dem amerikanischen Astronom Forest Ray Moulton beschrieben und später nach ihm benannt.

Geraden in der Moulton-Ebene

Die Punkte der Moulton-Ebene sind die normalen Punkte der reellen Ebene und die Geraden sind die normalen Geraden der reellen Ebene mit der Ausnahme, dass Geraden mit negativer Steigung an der Y-Achse einen Knick haben, d. h. beim Passieren der Y-Achse ändert sich ihre Steigung: In der rechten Halbebene ist sie doppelt so groß wie in der linken Halbebene.

Formale Definition Bearbeiten

Wir definieren wie folgt als Inzidenzstruktur, wobei die Menge der Punkte, die Menge der Geraden und die Inzidenzrelation „liegt auf“ bezeichnet:

wobei lediglich ein formales Symbol ist.

Die Inzidenzrelation ist für und (siehe Geradengleichung) definiert durch

Man kann leicht nachweisen, dass diese Inzidenzstruktur die Axiome einer affinen Ebene erfüllt, also insbesondere, dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht und dass es zu einer Geraden durch einen vorgegebenen Punkt genau eine Parallele gibt.

Ungültigkeit des Satzes von Desargues Bearbeiten

Desargues-Konstellation in der gewöhnlichen Ebene

Man geht aus von einer Desargues-Konstellation aus zehn Punkten und zehn Geraden in der gewöhnlichen euklidischen Ebene wie in nebenstehender Abbildung und platziert sie derart, dass als einziger der zehn Punkte eine negative -Koordinate hat und nur eine der drei Geraden durch eine negative Steigung hat (im Bild: die Gerade ). Geht man jetzt über zur Moulton-Ebene, so bleiben alle Inzidenzen erhalten bis auf die bei , d. h. die (Moulton-)Geraden , und schneiden sich nicht alle in einem Punkt. Somit hat der Satz von Desargues in der Moulton-Ebene keine allgemeine Gültigkeit.

Anwendungen Bearbeiten

Die Moulton-Ebene stellt durch ihre Existenz einen Beweis dar, dass nicht-desarguessche affine Ebenen existieren und sogar dafür, dass affine Ebenen existieren, die keine affine Translationsebenen sind. Da man zu jeder affinen Ebene eine zugehörige projektive Ebene konstruieren kann (den projektiven Abschluss), ist damit auch die Existenz von nicht-desargueschen projektiven Ebenen gesichert und sogar die Existenz von projektiven Ebenen, die keine Moufangebenen sind. Da in der Satz von Desargues gilt, folgt daraus: Es können nicht alle projektiven Ebenen mit Hilfe der kanonischen Konstruktion aus 3-dimensionalen (Links-)Vektorräumen über einem (Schief-)Körper beschrieben werden.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Moulton-Ebenen vom reellen Typ Bearbeiten

Analog zu der in diesem Artikel beschriebenen reellen Moulton-Ebene kann man ausgehend von einem beliebigen geordneten Körper affine Ebenen definieren, indem man die Multiplikation wie für die Moulton-Ebene modifiziert. Diese Verallgemeinerung ist im Artikel Kartesische Gruppe beschrieben.

Endliche Moulton-Ebenen Bearbeiten

Aus bestimmten endlichen Körpern kann man durch Modifikation der Multiplikation einen Quasikörper gewinnen. Die affine Ebene über einem solchen Quasikörper wird nach Pierce und Pickert als endliche Moulton-Ebene bezeichnet. Sie sind stets endliche affine Translationsebenen. Die algebraische Struktur ihrer Koordinatenbereiche ist im Artikel Quasikörper näher beschrieben.

Literatur Bearbeiten

  • Forest Ray Moulton: A simple non-desarguesian plane geometry. In: Trans. Amer. Math. Soc. Band 3, 1902, S. 192–195.
  • Albrecht Beutelspacher, Ute Rosenbaum: Projektive Geometrie. Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen (= Vieweg-Studium; 41: Aufbaukurs Mathematik). 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 1992, ISBN 3-528-07241-5, S. 70–71.
  • W. A. Pierce: Moulton Planes. In: Canadian J. Math. Band 13, 1961, S. 427–436.
  • Günter Pickert: Geometrische Kennzeichnung einer Klasse endlicher Moulton-Ebenen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal). Band 1964, Nr. 214–215, 1964, ISSN 1435-5345, S. 405–411, doi:10.1515/crll.1964.214-215.405.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Moulton (1902)
  2. ↑ Pierce (1961)
  3. Pickert (1964)
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Die Moulton Ebene ist ein oft benutztes Beispiel fur eine affine Ebene in der der Satz von Desargues nicht gilt also einer nichtdesargueschen Ebene Damit liefern ihre Koordinaten zugleich ein Beispiel eines Ternarkorpers der kein Schiefkorper ist Sie wurde zuerst 1902 von dem amerikanischen Astronom Forest Ray Moulton beschrieben 1 und spater nach ihm benannt Geraden in der Moulton EbeneDie Punkte der Moulton Ebene sind die normalen Punkte der reellen Ebene und die Geraden sind die normalen Geraden der reellen Ebene mit der Ausnahme dass Geraden mit negativer Steigung an der Y Achse einen Knick haben d h beim Passieren der Y Achse andert sich ihre Steigung In der rechten Halbebene ist sie doppelt so gross wie in der linken Halbebene Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Ungultigkeit des Satzes von Desargues 3 Anwendungen 4 Verallgemeinerungen 4 1 Moulton Ebenen vom reellen Typ 4 2 Endliche Moulton Ebenen 5 Literatur 6 EinzelnachweiseFormale Definition BearbeitenWir definieren M P G I displaystyle mathfrak M langle P G textrm I rangle nbsp wie folgt als Inzidenzstruktur wobei P displaystyle P nbsp die Menge der Punkte G displaystyle G nbsp die Menge der Geraden und I displaystyle textrm I nbsp die Inzidenzrelation liegt auf bezeichnet P R 2 displaystyle P mathbb R 2 nbsp G R R displaystyle G mathbb R cup infty times mathbb R nbsp wobei displaystyle infty nbsp lediglich ein formales Symbol R displaystyle not in mathbb R nbsp ist Die Inzidenzrelation ist fur p x y P displaystyle p x y in P nbsp und g m b G displaystyle g m b in G nbsp siehe Geradengleichung definiert durch p I g x b falls m y m x b falls m 0 y m x b falls m 0 x 0 y 2 m x b falls m 0 x 0 displaystyle p textrm I g iff begin cases x b amp textrm falls m infty y mx b amp textrm falls m geq 0 y mx b amp textrm falls m leq 0 x leq 0 y 2mx b amp textrm falls m leq 0 x geq 0 end cases nbsp Man kann leicht nachweisen dass diese Inzidenzstruktur die Axiome einer affinen Ebene erfullt also insbesondere dass durch zwei verschiedene Punkte genau eine Gerade geht und dass es zu einer Geraden durch einen vorgegebenen Punkt genau eine Parallele gibt Ungultigkeit des Satzes von Desargues Bearbeiten nbsp Desargues Konstellation in der gewohnlichen EbeneMan geht aus von einer Desargues Konstellation aus zehn Punkten und zehn Geraden in der gewohnlichen euklidischen Ebene wie in nebenstehender Abbildung und platziert sie derart dass X displaystyle X nbsp als einziger der zehn Punkte eine negative x displaystyle x nbsp Koordinate hat und nur eine der drei Geraden durch X displaystyle X nbsp eine negative Steigung hat im Bild die Gerade X B C displaystyle XBC nbsp Geht man jetzt uber zur Moulton Ebene so bleiben alle Inzidenzen erhalten bis auf die bei X displaystyle X nbsp d h die Moulton Geraden B C displaystyle BC nbsp B C displaystyle B C nbsp und Y Z displaystyle YZ nbsp schneiden sich nicht alle in einem Punkt Somit hat der Satz von Desargues in der Moulton Ebene keine allgemeine Gultigkeit Anwendungen BearbeitenDie Moulton Ebene stellt durch ihre Existenz einen Beweis dar dass nicht desarguessche affine Ebenen existieren und sogar dafur dass affine Ebenen existieren die keine affine Translationsebenen sind Da man zu jeder affinen Ebene eine zugehorige projektive Ebene konstruieren kann den projektiven Abschluss ist damit auch die Existenz von nicht desargueschen projektiven Ebenen gesichert und sogar die Existenz von projektiven Ebenen die keine Moufangebenen sind Da in P G 2 K displaystyle PG 2 K nbsp der Satz von Desargues gilt folgt daraus Es konnen nicht alle projektiven Ebenen mit Hilfe der kanonischen Konstruktion aus 3 dimensionalen Links Vektorraumen uber einem Schief Korper K displaystyle K nbsp beschrieben werden Verallgemeinerungen BearbeitenMoulton Ebenen vom reellen Typ Bearbeiten Analog zu der in diesem Artikel beschriebenen reellen Moulton Ebene kann man ausgehend von einem beliebigen geordneten Korper affine Ebenen definieren indem man die Multiplikation wie fur die Moulton Ebene modifiziert 2 Diese Verallgemeinerung ist im Artikel Kartesische Gruppe beschrieben Endliche Moulton Ebenen Bearbeiten Aus bestimmten endlichen Korpern kann man durch Modifikation der Multiplikation einen Quasikorper gewinnen Die affine Ebene uber einem solchen Quasikorper wird nach Pierce 2 und Pickert 3 als endliche Moulton Ebene bezeichnet Sie sind stets endliche affine Translationsebenen Die algebraische Struktur ihrer Koordinatenbereiche ist im Artikel Quasikorper naher beschrieben Literatur BearbeitenForest Ray Moulton A simple non desarguesian plane geometry In Trans Amer Math Soc Band 3 1902 S 192 195 Albrecht Beutelspacher Ute Rosenbaum Projektive Geometrie Von den Grundlagen bis zu den Anwendungen Vieweg Studium 41 Aufbaukurs Mathematik 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 1992 ISBN 3 528 07241 5 S 70 71 W A Pierce Moulton Planes In Canadian J Math Band 13 1961 S 427 436 Gunter Pickert Geometrische Kennzeichnung einer Klasse endlicher Moulton Ebenen In Journal fur die reine und angewandte Mathematik Crelles Journal Band 1964 Nr 214 215 1964 ISSN 1435 5345 S 405 411 doi 10 1515 crll 1964 214 215 405 Einzelnachweise Bearbeiten Moulton 1902 a b Pierce 1961 Pickert 1964 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Moulton Ebene amp oldid 176726649