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Jeans Kriterium Das der Sternentstehung nach James Jeans auch Jeanssches Kriterium besagt dass eine kosmische Gaswolke k

Jeans-Kriterium

Das Jeans-Kriterium der Sternentstehung (nach James Jeans), auch Jeanssches Kriterium, besagt, dass eine kosmische Gaswolke kollabiert und aus ihr letztlich ein Stern entstehen kann, wenn ihre Masse größer als die Jeans-Masse ist. Handelt es sich bei der Gaswolke um eine protoplanetare Scheibe, so kann das Jeans-Kriterium auch für die Entstehung von Gasplaneten herangezogen werden.

Sternentstehung im Carinanebel

Unter irdischen Bedingungen breiten sich Gase aufgrund der kinetischen Energie der Moleküle und ihrer damit verbundenen Kollisionen in dem zur Verfügung stehenden Raum gleichmäßig aus. Im freien Weltall dagegen werden größere Ansammlungen von Gasen durch ihre Schwerkraft zusammengehalten und sind deswegen räumlich begrenzt. Nach Überschreiten der Jeans-Masse zieht sich die Wolke immer weiter zusammen, bis ein neuer Gleichgewichtszustand erreicht wird (Sternentstehung).

Berechnung bzw. Abschätzung der Jeans-Masse Bearbeiten

Die Jeans-Masse als minimale Grenzmasse lässt sich abschätzen zu:

mit

  • einem numerischen Vorfaktor , der von der Abschätzung und ihrer Genauigkeit abhängt
  • weiteren Variablen, die im Folgenden erläutert werden.
Kräfte bzw. Drücke in einer kosmischen Gaswolke

Es wird eine kugelförmige Gaswolke der Masse , der homogenen Dichte , dem daraus zu berechnenden Radius  und der Temperatur  angenommen. Auf die Gaswolke wirken keine äußeren Kräfte, sie rotiert nicht, und das Gas verhält sich wie ein ideales Gas.

Die Wolke beginnt zu kollabieren, falls die zusammenziehenden Gravitationskräfte größer sind als die stabilisierende Kraft des Gasdruckes (Jeans-Kriterium). Dieser Zustand ist erreicht, wenn die Masse der Gaswolke bei einer bestimmten Dichte und Temperatur die zugehörige Jeans-Masse überschreitet. Sie kann sowohl über das Gleichgewicht der Drücke als auch über das der Energien ermittelt werden.

Über den Gleichgewichtsdruck Bearbeiten

Bei Gleichgewicht der Drücke im Zentrum der Wolke gilt:

Aus der idealen Gasgleichung

und dem Gravitationsdruck im Zentrum einer Kugel folgt

mit

Daraus ergibt sich:

Der numerische Vorfaktor ist hier und beschreibt den Zustand im Zentrum der Wolke.

Über das Energiegleichgewicht Bearbeiten

Bei dem Ansatz über das Energiegleichgewicht steht die kinetische Energie nach Verwendung des Virialsatzes zur gravitativen Bindungsenergie der Gaswolke wie folgt:

bzw. mit :

Die Auflösung nach  führt zu folgender kritischen Masse:

Also ein numerischer Vorfaktor , der für eine einheitliche Temperatur der Wolke gilt.

Über die Schallgeschwindigkeit Bearbeiten

Die von Jeans, gefundene Masse geht von der Schallgeschwindigkeit im einatomigen Gas mit dem Isentropenexponenten κ aus.

Mit der Jeans-Länge

ergibt sich die Jeans-Masse

Der Faktor π/6 entspricht dabei dem Volumen einer Kugel in einem Würfel mit gegebener Kantenlänge λ.

Daraus ergibt sich der Vorfaktor mit

Einfluss von Dichte und Temperatur Bearbeiten

Dichte-Temperaturdiagramm für verschiedene Jeans-Massen (M) für ein einatomiges Wasserstoffgas

Wie sich aus den Formeln ablesen lässt, ist die Jeans-Masse für kalte Gaswolken kleiner als für heiße, dafür aber bei niedrigen Gasdichten höher. Das nebenstehende Diagramm gibt diese Abhängigkeit verschiedener Jeans-Massen von der Dichte und der Temperatur wieder. Die Jeans-Masse ist als Vielfaches der Sonnenmasse angegeben, als Gas wurde einatomiges Wasserstoffgas als häufigstes Element im Universum gewählt (Masse pro Atom: µ ≈ 1.67e-27 kg). Die Berechnung erfolgte wie oben ausgeführt über das Druckgleichgewicht; die Berechnung über das Energiegleichgewicht würde zu einem leicht unterschiedlichen Ergebnis führen, allerdings sind beide Ansätze stark vereinfachte Näherungen.

Ablese-Beispiel: Eine Wolke aus einatomigem Wasserstoffgas von 10 Sonnenmassen und einer Dichte von 10−17kg ⋅m−3 kollabiert bei einer Temperatur von ≤ 10 K. Zur Veranschaulichung hätte eine solche Wolke etwa 6000 Atome pro cm³ und einen Durchmesser von 1,65 Lichtjahren (1.56e13 Kilometer).

Literatur und Quellen Bearbeiten

  • Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie: An introduction to Modern Astrophysics. 1996, ISBN 0-321-21030-1, S. 449.
  • Hermann Kolanoski: Einführung in die Astroteilchenphysik. (PDF; 13,8 MB) Abgerufen am 21. Juli 2013.
  • Malcolm S. Longair: Galaxy Formation. Springer, Berlin, 1998, ISBN 3-540-63785-0. (Astronomy and Astrophysics Library).
  • Roman Sexl, Hannelore Sexl: Weiße Zwerge – Schwarze Löcher. Einführung in die relativistische Astrophysik. 2. erweiterte Auflage. Vieweg Verlag, Braunschweig 1999, ISBN 3-528-17214-2 (Vieweg-Studium – Grundkurs Physik).
  • Albrecht Unsöld, Bodo Baschek: Der neue Kosmos. 4. völlig neubearbeitete Auflage. Springer, Berlin 1988, ISBN 3-540-18171-7.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Siehe das Skript von Hermann Kolanoski: Einführung in die Astroteilchenphysik. HU Berlin, WS 2009/2010 in den Literaturangaben
  2. Siehe das Skript von Kolanoski in der Literatur
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Veröffentlichungsdatum:
Das Jeans Kriterium der Sternentstehung nach James Jeans auch Jeanssches Kriterium besagt dass eine kosmische Gaswolke kollabiert und aus ihr letztlich ein Stern entstehen kann wenn ihre Masse grosser als die Jeans Masse M J e a n s displaystyle M mathrm Jeans ist Handelt es sich bei der Gaswolke um eine protoplanetare Scheibe so kann das Jeans Kriterium auch fur die Entstehung von Gasplaneten herangezogen werden Sternentstehung im CarinanebelUnter irdischen Bedingungen breiten sich Gase aufgrund der kinetischen Energie der Molekule und ihrer damit verbundenen Kollisionen in dem zur Verfugung stehenden Raum gleichmassig aus Im freien Weltall dagegen werden grossere Ansammlungen von Gasen durch ihre Schwerkraft zusammengehalten und sind deswegen raumlich begrenzt Nach Uberschreiten der Jeans Masse zieht sich die Wolke immer weiter zusammen bis ein neuer Gleichgewichtszustand erreicht wird Sternentstehung Inhaltsverzeichnis 1 Berechnung bzw Abschatzung der Jeans Masse 1 1 Uber den Gleichgewichtsdruck 1 2 Uber das Energiegleichgewicht 1 3 Uber die Schallgeschwindigkeit 1 4 Einfluss von Dichte und Temperatur 2 Literatur und Quellen 3 EinzelnachweiseBerechnung bzw Abschatzung der Jeans Masse BearbeitenDie Jeans Masse als minimale Grenzmasse lasst sich abschatzen zu M J e a n s a 1 r k T G m 3 displaystyle M mathrm Jeans alpha cdot sqrt frac 1 rho cdot left frac kT G mu right 3 nbsp mit einem numerischen Vorfaktor a displaystyle alpha nbsp der von der Abschatzung und ihrer Genauigkeit abhangt weiteren Variablen die im Folgenden erlautert werden nbsp Krafte bzw Drucke in einer kosmischen GaswolkeEs wird eine kugelformige Gaswolke der Masse M displaystyle M nbsp der homogenen Dichte r M 4 3 p R 3 displaystyle textstyle rho M frac 4 3 pi R 3 nbsp dem daraus zu berechnenden Radius R displaystyle R nbsp und der Temperatur T displaystyle T nbsp angenommen Auf die Gaswolke wirken keine ausseren Krafte sie rotiert nicht und das Gas verhalt sich wie ein ideales Gas Die Wolke beginnt zu kollabieren falls die zusammenziehenden Gravitationskrafte grosser sind als die stabilisierende Kraft des Gasdruckes Jeans Kriterium Dieser Zustand ist erreicht wenn die Masse der Gaswolke bei einer bestimmten Dichte und Temperatur die zugehorige Jeans Masse uberschreitet Sie kann sowohl uber das Gleichgewicht der Drucke als auch uber das der Energien ermittelt werden Uber den Gleichgewichtsdruck Bearbeiten Bei Gleichgewicht der Drucke im Zentrum der Wolke gilt p G a s p g r a v displaystyle p mathrm Gas p mathrm grav nbsp Aus der idealen Gasgleichung p V n k T p r m k T displaystyle pV nkT iff p frac rho mu kT nbsp und dem Gravitationsdruck im Zentrum einer Kugel folgt r m k T 3 G M 2 8 p R 4 displaystyle implies frac rho mu kT frac 3GM 2 8 pi R 4 nbsp mit dem Druck p displaystyle p nbsp dem Volumen V displaystyle V nbsp der Zahl n displaystyle n nbsp der Gasmolekule der Boltzmann Konstanten k displaystyle k nbsp der absoluten Temperatur T displaystyle T nbsp der Masse m displaystyle mu nbsp des einzelnen Gasmolekuls der Gravitationskonstanten G displaystyle G nbsp Daraus ergibt sich 1 M c r i t 6 p 1 r k T G m 3 displaystyle implies M mathrm crit sqrt frac 6 pi cdot sqrt frac 1 rho cdot left frac kT G mu right 3 nbsp Der numerische Vorfaktor ist hier a 6 p 1 38 displaystyle alpha sqrt frac 6 pi approx 1 38 nbsp und beschreibt den Zustand im Zentrum der Wolke Uber das Energiegleichgewicht Bearbeiten Bei dem Ansatz uber das Energiegleichgewicht steht die kinetische Energie E k i n 3 2 n k T displaystyle textstyle E mathrm kin frac 3 2 nkT nbsp nach Verwendung des Virialsatzes zur gravitativen Bindungsenergie der Gaswolke wie folgt 2 E k i n E g r a v displaystyle 2E mathrm kin E mathrm grav nbsp bzw mit n M m displaystyle n tfrac M mu nbsp 3 M m k T 3 G M 2 5 R displaystyle iff 3 frac M mu kT frac 3GM 2 5R nbsp Die Auflosung nach M displaystyle M nbsp fuhrt zu folgender kritischen Masse M c r i t 3 5 3 4 p 1 r k T G m 3 displaystyle implies M mathrm crit sqrt frac 3 cdot 5 3 4 pi cdot sqrt frac 1 rho cdot left frac kT G mu right 3 nbsp Also ein numerischer Vorfaktor a 5 46 displaystyle alpha approx 5 46 nbsp der fur eine einheitliche Temperatur der Wolke gilt Uber die Schallgeschwindigkeit Bearbeiten Die von Jeans 2 gefundene Masse geht von der Schallgeschwindigkeit im einatomigen Gas mit dem Isentropenexponenten k aus c S k p r 5 k T 3 m displaystyle c S sqrt kappa frac p rho sqrt frac 5kT 3 mu nbsp Mit der Jeans Lange l J e a n s c S p G r 5 p k T 3 m G r displaystyle lambda mathrm Jeans c S sqrt frac pi G rho sqrt frac 5 pi kT 3 mu G rho nbsp ergibt sich die Jeans Masse M J e a n s p 6 r l J e a n s 3 a J e a n s 1 r k T G m 3 displaystyle M mathrm Jeans frac pi 6 rho lambda mathrm Jeans 3 alpha mathrm Jeans cdot sqrt frac 1 rho cdot left frac kT G mu right 3 nbsp Der Faktor p 6 entspricht dabei dem Volumen einer Kugel in einem Wurfel mit gegebener Kantenlange l Daraus ergibt sich der Vorfaktor mit a J e a n s p 6 5 3 p 3 3 3 6 27 displaystyle alpha mathrm Jeans frac pi 6 sqrt frac 5 3 pi 3 3 3 approx 6 27 nbsp Einfluss von Dichte und Temperatur Bearbeiten nbsp Dichte Temperaturdiagramm fur verschiedene Jeans Massen M fur ein einatomiges WasserstoffgasWie sich aus den Formeln ablesen lasst ist die Jeans Masse fur kalte Gaswolken kleiner als fur heisse dafur aber bei niedrigen Gasdichten hoher Das nebenstehende Diagramm gibt diese Abhangigkeit verschiedener Jeans Massen von der Dichte und der Temperatur wieder Die Jeans Masse ist als Vielfaches der Sonnenmasse angegeben als Gas wurde einatomiges Wasserstoffgas als haufigstes Element im Universum gewahlt Masse pro Atom µ 1 67e 27 kg Die Berechnung erfolgte wie oben ausgefuhrt uber das Druckgleichgewicht die Berechnung uber das Energiegleichgewicht wurde zu einem leicht unterschiedlichen Ergebnis fuhren allerdings sind beide Ansatze stark vereinfachte Naherungen Ablese Beispiel Eine Wolke aus einatomigem Wasserstoffgas von 10 Sonnenmassen und einer Dichte von 10 17kg m 3 kollabiert bei einer Temperatur von 10 K Zur Veranschaulichung hatte eine solche Wolke etwa 6000 Atome pro cm und einen Durchmesser von 1 65 Lichtjahren 1 56e 13 Kilometer Literatur und Quellen BearbeitenBradley W Carroll Dale A Ostlie An introduction to Modern Astrophysics 1996 ISBN 0 321 21030 1 S 449 Hermann Kolanoski Einfuhrung in die Astroteilchenphysik PDF 13 8 MB Abgerufen am 21 Juli 2013 Malcolm S Longair Galaxy Formation Springer Berlin 1998 ISBN 3 540 63785 0 Astronomy and Astrophysics Library Roman Sexl Hannelore Sexl Weisse Zwerge Schwarze Locher Einfuhrung in die relativistische Astrophysik 2 erweiterte Auflage Vieweg Verlag Braunschweig 1999 ISBN 3 528 17214 2 Vieweg Studium Grundkurs Physik Albrecht Unsold Bodo Baschek Der neue Kosmos 4 vollig neubearbeitete Auflage Springer Berlin 1988 ISBN 3 540 18171 7 Einzelnachweise Bearbeiten Siehe das Skript von Hermann Kolanoski Einfuhrung in die Astroteilchenphysik HU Berlin WS 2009 2010 in den Literaturangaben Siehe das Skript von Kolanoski in der Literatur Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jeans Kriterium amp oldid 234248595