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Grothendieck Universum In der Mengenlehre ist ein nach Alexander Grothendieck eine Menge U displaystyle U von Mengen bei

Grothendieck-Universum

In der Mengenlehre ist ein Grothendieck-Universum (nach Alexander Grothendieck) eine Menge (von Mengen), bei der die üblichen Mengenoperationen auf den Elementen von nicht aus hinausführen, das heißt, es handelt sich um ein Modell der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, dessen mengentheoretische Operationen (Elementrelation, Potenzmengenbildung) mit denen der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre, in der sie definiert werden, übereinstimmen. Das Universenaxiom, das fordert, dass jede Menge Element eines Grothendieck-Universums ist, findet Anwendung in der Kategorientheorie und der algebraischen Geometrie und erweitert die Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre zur Tarski-Grothendieck-Mengenlehre.

Formale Definition Bearbeiten

Eine Menge heißt Grothendieck-Universum, falls sie folgende Axiome erfüllt:

  • : Ist Element von , so sind alle Elemente von  selbst auch Elemente von  (Transitivität).
  • , wobei den Potenzmengenoperator bezeichnet: Ist Element von , so ist die Potenzmenge von auch Element von , und damit nach der vorherigen Bedingung auch alle Teilmengen von .
  • : Ist Element von , so ist die einelementige Menge  auch Element von .
  • Für jede Familie mit und gilt: : Vereinigungen von Elementen von sind wieder Elemente von .
  • ist nicht leer.

Diese Definition entspricht derjenigen von P. Gabriel, vgl. Literatur. Mitunter wird auch die leere Menge als Grothendieck-Universum zugelassen, etwa im SGA.

Anders ausgedrückt ist ein Grothendieck-Universum ein Modell der Form der zweistufigen Version von ZFC (das heißt, das Ersetzungsaxiomenschema wird durch ein einziges Axiom in Logik zweiter Stufe mit Quantifizierung über Funktionen ersetzt).

Unerreichbare Kardinalzahlen Bearbeiten

Eine Kardinalzahl heißt (stark) unerreichbar, falls gilt:

  • für jede Menge von Mengen mit und

Die einzige in der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre ZFC bekannte unerreichbare Kardinalzahl ist . Die Existenz weiterer unerreichbarer Kardinalzahlen kann im Rahmen dieser Theorie nicht bewiesen werden (die Widerspruchsfreiheit derselben einmal angenommen), sondern muss durch ein neues Axiom postuliert werden.

Der Zusammenhang zwischen unerreichbaren Kardinalzahlen und Grothendieck-Universen wird nun durch folgenden Satz hergestellt:

Für eine Menge sind folgende Eigenschaften äquivalent:

  • ist ein Grothendieck-Universum
  • Es gibt eine unerreichbare Kardinalzahl , sodass eine und somit alle der folgenden äquivalenten Eigenschaften gelten:

Dieses ist gerade die Kardinalität von .

Die Existenz von Grothendieck-Universen (außer solchen mit , welche aber nur endliche Mengen enthalten und damit nicht als interessant gewertet werden) kann im Allgemeinen nicht im Rahmen der ZFC-Mengenlehre bewiesen werden, allerdings sind nur relativ schwache Zusatzvoraussetzungen notwendig, nämlich die Existenz weiterer unerreichbarer Kardinalzahlen.

Anwendung in der Kategorientheorie Bearbeiten

Unter Annahme der Existenz einer echten Klasse von unerreichbaren Kardinalzahlen können mit Hilfe von Grothendieck-Universen in der Kategorientheorie Aussagen über alle Mengen gemacht werden.

Es ist möglich, jeder unerreichbaren Kardinalzahl ein Grothendieck-Universum zuzuordnen. Um eine Aussage über alle Mengen machen zu können, wird für jede Menge eine entsprechende unerreichbare Kardinalzahl benötigt, die echt größer als die Kardinalität der Menge ist, damit ein passendes Grothendieck-Universum existiert, in welchem die gewünschten Konstruktionen durchgeführt werden können.

Literatur Bearbeiten

  • Andreas Blass: The interaction between Category theory and Set theory. In: John Walker Gray (Hrsg.): Mathematical Applications of Category Theory (= Contemporary Mathematics. Bd. 30). American Mathematical Society, Providence RI 1984, ISBN 0-8218-5032-6, S. 5–29, online (PDF; 3,6 MB).
  • N. Bourbaki: Univers. Anhang zu Exposé I von M. Artin, A. Grothendieck, J. L. Verdier (Hrsg.): Théorie des Topos et Cohomologie Étale des Schémas (SGA 4). 2. Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg 1972, ISBN 3-540-05896-6.
  • N. H. Williams: On Grothendieck universes. In: Compositio Mathematica. Bd. 21, Nr. 1, ISSN 0010-437X, 1969, S. 1–3, online (PDF; 261 kB).
  • A. H. Kruse: Grothendieck universes and the super-complete models of Shepherdson. In: Compositio Mathematica. Bd. 17, 1965/1966, S. 96–101, online (PDF; 550 kB).
  • P. Gabriel: Des catégories abéliennes. In: Bulletin de la Société Mathématique de France. Bd. 90, 1962, ISSN 0037-9484, S. 323–448, online (PDF; 10,45 MB).
  • M. Kühnrich: Über den Begriff des Universums. In: Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. Bd. 12, 1966, ISSN 0044-3050, S. 37–59.
  • Saunders Mac Lane: Categories for the Working Mathematician (= Graduate Texts in Mathematics. Bd. 5). 2. Auflage. Springer, New York NY u. a. 1998, ISBN 0-387-98403-8, I.6.
  • Michael D. Potter: Sets. An Introduction. Clarendon Press, Oxford u. a. 1990, ISBN 0-19-853388-8, 3.3

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Akihiro Kanamori: The Higher Infinite. Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings. 2. Auflage. Springer, 2009, ISBN 978-3-540-88867-3, S. 19, doi:10.1007/978-3-540-88867-3.
  2. Kanamori, S. 299.
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In der Mengenlehre ist ein Grothendieck Universum nach Alexander Grothendieck eine Menge U displaystyle U von Mengen bei der die ublichen Mengenoperationen auf den Elementen von U displaystyle U nicht aus U displaystyle U hinausfuhren das heisst es handelt sich um ein Modell der Zermelo Fraenkel Mengenlehre dessen mengentheoretische Operationen Elementrelation Potenzmengenbildung mit denen der Zermelo Fraenkel Mengenlehre in der sie definiert werden ubereinstimmen Das Universenaxiom das fordert dass jede Menge Element eines Grothendieck Universums ist findet Anwendung in der Kategorientheorie und der algebraischen Geometrie und erweitert die Zermelo Fraenkel Mengenlehre zur Tarski Grothendieck Mengenlehre Inhaltsverzeichnis 1 Formale Definition 2 Unerreichbare Kardinalzahlen 3 Anwendung in der Kategorientheorie 4 Literatur 5 EinzelnachweiseFormale Definition BearbeitenEine Menge U displaystyle U nbsp heisst Grothendieck Universum falls sie folgende Axiome erfullt x U x U displaystyle x in U Longrightarrow x subseteq U nbsp Ist x displaystyle x nbsp Element von U displaystyle U nbsp so sind alle Elemente von x displaystyle x nbsp selbst auch Elemente von U displaystyle U nbsp Transitivitat x U P x U displaystyle x in U Longrightarrow mathcal P x in U nbsp wobei P displaystyle mathcal P nbsp den Potenzmengenoperator bezeichnet Ist x displaystyle x nbsp Element von U displaystyle U nbsp so ist die Potenzmenge von x displaystyle x nbsp auch Element von U displaystyle U nbsp und damit nach der vorherigen Bedingung auch alle Teilmengen von x displaystyle x nbsp x U x U displaystyle x in U Longrightarrow left x right in U nbsp Ist x displaystyle x nbsp Element von U displaystyle U nbsp so ist die einelementige Menge x displaystyle x nbsp auch Element von U displaystyle U nbsp Fur jede Familie x i i I displaystyle left x i right i in I nbsp mit I U displaystyle I in U nbsp und x i U i I displaystyle x i in U forall i in I nbsp gilt x i i I U displaystyle bigcup left x i i in I right in U nbsp Vereinigungen von Elementen von U displaystyle U nbsp sind wieder Elemente von U displaystyle U nbsp U displaystyle U nbsp ist nicht leer Diese Definition entspricht derjenigen von P Gabriel vgl Literatur Mitunter wird auch die leere Menge als Grothendieck Universum zugelassen etwa im SGA Anders ausgedruckt ist ein Grothendieck Universum ein Modell der Form U displaystyle U in nbsp der zweistufigen Version von ZFC das heisst das Ersetzungsaxiomenschema wird durch ein einziges Axiom in Logik zweiter Stufe mit Quantifizierung uber Funktionen ersetzt 1 Unerreichbare Kardinalzahlen BearbeitenEine Kardinalzahl k displaystyle kappa nbsp heisst stark unerreichbar falls gilt c a r d x i i I lt k displaystyle mathrm card left cup left x i i in I right right lt kappa nbsp fur jede Menge x i i I displaystyle left x i right i in I nbsp von Mengen mit c a r d I lt k displaystyle mathrm card I lt kappa nbsp und c a r d x i lt k i I displaystyle mathrm card x i lt kappa quad forall 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Grothendieck Universum zuzuordnen Um eine Aussage uber alle Mengen machen zu konnen wird fur jede Menge eine entsprechende unerreichbare Kardinalzahl benotigt die echt grosser als die Kardinalitat der Menge ist damit ein passendes Grothendieck Universum existiert in welchem die gewunschten Konstruktionen durchgefuhrt werden konnen Literatur BearbeitenAndreas Blass The interaction between Category theory and Set theory In John Walker Gray Hrsg Mathematical Applications of Category Theory Contemporary Mathematics Bd 30 American Mathematical Society Providence RI 1984 ISBN 0 8218 5032 6 S 5 29 online PDF 3 6 MB N Bourbaki Univers Anhang zu Expose I von M Artin A Grothendieck J L Verdier Hrsg Theorie des Topos et Cohomologie Etale des Schemas SGA 4 2 Auflage Springer Verlag Heidelberg 1972 ISBN 3 540 05896 6 N H Williams On Grothendieck universes In Compositio Mathematica Bd 21 Nr 1 ISSN 0010 437X 1969 S 1 3 online PDF 261 kB A H Kruse Grothendieck universes and the super complete models of Shepherdson In Compositio Mathematica Bd 17 1965 1966 S 96 101 online PDF 550 kB P Gabriel Des categories abeliennes In Bulletin de la Societe Mathematique de France Bd 90 1962 ISSN 0037 9484 S 323 448 online PDF 10 45 MB M Kuhnrich Uber den Begriff des Universums In Zeitschrift fur mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik Bd 12 1966 ISSN 0044 3050 S 37 59 Saunders Mac Lane Categories for the Working Mathematician Graduate Texts in Mathematics Bd 5 2 Auflage Springer New York NY u a 1998 ISBN 0 387 98403 8 I 6 Michael D Potter Sets An Introduction Clarendon Press Oxford u a 1990 ISBN 0 19 853388 8 3 3Einzelnachweise Bearbeiten Akihiro Kanamori The Higher Infinite Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings 2 Auflage Springer 2009 ISBN 978 3 540 88867 3 S 19 doi 10 1007 978 3 540 88867 3 Kanamori S 299 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Grothendieck Universum amp oldid 219465424