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Transitive Menge In der Mengenlehre nennt man eine Menge A displaystyle A transitiv falls aus x A displaystyle x in A un

Transitive Menge

In der Mengenlehre nennt man eine Menge transitiv, falls

  • aus und immer folgt, dass , in Zeichen:

oder äquivalent falls

  • jedes Element von , das eine Menge ist, eine Teilmenge von ist.

Auf ‚echte‘ (d. h. von der Leermenge verschiedene) Urelemente kommt es dabei nicht an.
Analog dazu nennt man eine Klasse transitiv, falls jedes Element von eine Teilmenge von ist.

Beispiele Bearbeiten

  • Eine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft, dass jedes Element wieder transitiv ist.
  • Ein Grothendieck-Universum ist per definitionem eine transitive Menge.
  • Transitive Klassen werden als Modelle für die Mengenlehre selbst verwendet.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Eine Menge ist genau dann transitiv, wenn , wobei die Vereinigung aller Elemente von ist.
  • Falls transitiv ist, dann ist auch transitiv.
  • Falls und transitive Mengen sind, dann ist auch transitiv
  • Allgemein, falls eine Klasse ist, deren Elemente alle transitive Mengen sind, dann ist eine transitive Klasse.
  • Eine Menge ist genau dann transitiv, wenn eine Teilmenge der Potenzmenge von ist.
  • Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv. Diese Eigenschaft wird bei der Von-Neumann-Hierarchie verwendet um einzusehen, dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind.

Verallgemeinerung Bearbeiten

Sei gegeben eine Menge (oder Klasse) und eine Relation darauf. heißt -transitiv, wenn gilt:

Im Fall ergibt sich die obige Definition als Spezialfall.

Anmerkungen Bearbeiten

  1. In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein, die Mengen sind, also keine (‚echten‘) Urelemente.
  2. Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Thomas Jech: The Axiom of Choice. Dover Publications, 2008, ISBN 0-486-46624-8 ( [originally published in 1973]).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
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In der Mengenlehre nennt man eine Menge A displaystyle A transitiv falls aus x A displaystyle x in A und y x displaystyle y in x immer folgt dass y A displaystyle y in A in Zeichen x y x A y x y A displaystyle forall x y x in A land y in x Rightarrow y in A oder aquivalent falls jedes Element von A displaystyle A das eine Menge ist eine Teilmenge von A displaystyle A ist Auf echte d h von der Leermenge verschiedene Urelemente kommt es dabei nicht an Analog dazu nennt man eine Klasse A displaystyle A transitiv falls jedes Element von A displaystyle A eine Teilmenge von A displaystyle A ist Inhaltsverzeichnis 1 Beispiele 2 Eigenschaften 3 Verallgemeinerung 4 Anmerkungen 5 Siehe auch 6 LiteraturBeispiele BearbeitenEine Ordinalzahl nach der Definition von John von Neumann ist eine transitive Menge mit der Eigenschaft dass jedes Element wieder transitiv ist Ein Grothendieck Universum ist per definitionem eine transitive Menge Transitive Klassen werden als Modelle fur die Mengenlehre selbst verwendet Eigenschaften BearbeitenEine Menge A displaystyle A nbsp ist genau dann transitiv wenn A A displaystyle bigcup A subseteq A nbsp wobei A x A x y x A y x y y 2 A displaystyle bigcup A bigcup x in A x y exists x in A y in x y y in 2 A nbsp die Vereinigung aller Elemente von A displaystyle A nbsp ist 1 Falls A displaystyle A nbsp transitiv ist dann ist auch A displaystyle bigcup A nbsp transitiv Falls A displaystyle A nbsp und B displaystyle B nbsp transitive Mengen sind dann ist auch A B A B displaystyle A cup B cup A B nbsp transitiv Allgemein falls A displaystyle A nbsp eine Klasse ist deren Elemente alle transitive Mengen sind dann ist A A displaystyle A cup bigcup A nbsp eine transitive Klasse Eine Menge A displaystyle A nbsp ist genau dann transitiv wenn A displaystyle A nbsp eine Teilmenge der Potenzmenge von A displaystyle A nbsp ist Die Potenzmenge einer transitiven Menge ist wieder transitiv Diese Eigenschaft wird bei der Von Neumann Hierarchie verwendet um einzusehen dass alle Stufen dieser Hierarchie transitiv sind Verallgemeinerung BearbeitenSei gegeben eine Menge oder Klasse A displaystyle A nbsp und eine Relation R displaystyle R nbsp darauf A displaystyle A nbsp heisst R displaystyle R nbsp transitiv wenn gilt x y x A y R x y A displaystyle forall x y x in A land y R x Rightarrow y in A nbsp 2 Im Fall R displaystyle R in nbsp ergibt sich die obige Definition als Spezialfall Anmerkungen Bearbeiten In diese Vereinigung gehen nur Elemente ein die Mengen sind also keine echten Urelemente Wolfram Pohlers Mengenlehre PDF Universitat Munster Institut fur mathematische Logik und Grundlagenforschung Vorlesungsskript SS 1994 Seite 31Siehe auch BearbeitenTransitive Relation Transitive Hulle Menge Literatur BearbeitenThomas Jech The Axiom of Choice Dover Publications 2008 ISBN 0 486 46624 8 originally published in 1973 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Transitive Menge amp oldid 199685739