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Faltings Höhe Im mathematischen Gebiet der arithmetischen Geometrie ist die ein Maß für die arithmetische Komplexität vo

Faltings-Höhe

Im mathematischen Gebiet der arithmetischen Geometrie ist die Faltings-Höhe ein Maß für die (arithmetische) Komplexität von abelschen Varietäten. Benannt ist sie nach dem Mathematiker Gerd Faltings. Sie spielte eine wesentliche Rolle in Faltings' Beweis der Mordell-Vermutung, welche besagt, dass eine Kurve vom Geschlecht nur endlich viele rationale Punkte hat.

Für eine elliptische Kurve mit einem fest gewählten Isomorphismus ist die Faltings-Höhe gerade das Reziproke des Flächeninhalts eines Fundamentalbereiches des Gitters .

Motivation Bearbeiten

Klassisch verwendet man „Höhenfunktionen“, um mittels der Methode des unendlichen Abstiegs die Unlösbarkeit diophantischer Gleichungen zu beweisen. So betrachtete Pierre de Fermat für die ganzzahligen Lösungen der Gleichung die Höhenfunktion und zeigte, dass man aus einer Lösung mit eine andere Lösung mit konstruieren könnte. Daraus folgt, dass es außer keine ganzzahligen Punkte auf der Kurve geben kann.

Faltings Verallgemeinerung besteht darin, jeder abelschen Varietät eine Höhe zuzuordnen und dies dann auf die Jacobi-Varietät der Kurve anzuwenden. Er setzt diese Höhe in Beziehung zur klassischen Höhenfunktion und erhält daraus, dass es nur endlich viele -dimensionale prinzipal-polarisierte semistabile abelsche Varietäten beschränkter Höhe geben kann („Prinzip beschränkter Höhe“). Er untersucht weiter die Veränderung dieser Höhe unter Isogenien und verwendet diese Abschätzung und das Prinzip beschränkter Höhe sowohl für den Beweis der Tate-Vermutung als auch für den Beweis der Schafarewitsch-Vermutung. Die Schafarewitsch-Vermutung besagt, dass es für eine endliche Menge von Primidealen in einem Zahlkörper nur endlich viele Isomorphismenklassen von Kurven von gegebenem Geschlecht mit guter Reduktion außerhalb gibt. Wegen des Prinzips beschränkter Höhe genügt es dafür, die Beschränktheit der Höhen der assoziierten Jacobi-Varietäten zu zeigen. Mit der Tate-Vermutung kann man das auf den Fall zurückführen, dass die Jacobi-Varietäten alle isogen sind. Faltings nutzte seine Formel für die Änderung der Höhe unter Isogenien, zusammen mit dem Satz von Raynaud und den Weil-Vermutungen, um die Beschränktheit der Höhe und damit die Schafarewitsch-Vermutung zu zeigen.

Mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin folgt aus der Schafarewitsch-Vermutung die Mordell-Vermutung.

Konstruktion Bearbeiten

Die Faltings-Höhe misst die „Größe“ einer abelschen Varietät über einem Zahlkörper . Man betrachtet die Néron-Modelle von über allen Vervollständigungen von . Der Vektorraum der globalen Schnitte der höchsten äußeren Potenz des kanonischen Bündels im Sinne der Arakelov-Theorie ist ein metrisierter -Modul und trägt somit eine kanonische Norm. Das Produkt der Haarschen Maße der Grundmaschen der kanonischen Gitter in diesem Vektorraum (fast alle sind 1) ist die Faltings-Höhe von .

Beispiel Bearbeiten

Eine prinzipal polarisierte elliptische Kurve sei gegeben durch die Gleichung . Man hat dann ein holomorphes Differential und einen Isomorphismus für ein Gitter . Die Faltings-Höhe wird in diesem Fall definiert durch

oder äquivalent durch , wobei ein Fundamentalbereich des Gitters und sein Flächeninhalt ist.

Wenn eine elliptische Kurve über definiert ist, dann ist die definierende Gleichung und damit und dann auch bis auf Multiplikation mit Elementen aus definiert. Man kann aber ein minimales Modell (mit minimaler Diskriminante) wählen und hat dann ein bis auf Vorzeichen eindeutiges Differential und damit eine wohldefinierte Faltings-Höhe.

Bedeutung Bearbeiten

Die Faltings-Höhe ist eine Höhenfunktion auf der Menge der abelschen Varietäten über Zahlkörpern, die von Gerd Faltings in seinem berühmten Artikel Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern eingeführt wurde.

Es gibt nur endlich viele polarisierte abelsche Varietäten mit beschränkter Faltings-Höhe. Dies ist ein wesentlicher Beweisschritt im Beweis der Shafarevich-Vermutung und damit der Mordell-Vermutung.

Literatur Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. S. Bloch: The proof of the Mordell conjecture. Math. Intell. 6, No. 2, 41–47 (1984).
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Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Gebiet der arithmetischen Geometrie ist die Faltings Hohe ein Mass fur die arithmetische Komplexitat von abelschen Varietaten Benannt ist sie nach dem Mathematiker Gerd Faltings Sie spielte eine wesentliche Rolle in Faltings Beweis der Mordell Vermutung welche besagt dass eine Kurve vom Geschlecht 2 displaystyle geq 2 nur endlich viele rationale Punkte hat Fur eine elliptische Kurve E displaystyle E mit einem fest gewahlten Isomorphismus E C L displaystyle E cong mathbb C Lambda ist die Faltings Hohe gerade das Reziproke des Flacheninhalts eines Fundamentalbereiches des Gitters L displaystyle Lambda Inhaltsverzeichnis 1 Motivation 2 Konstruktion 3 Beispiel 4 Bedeutung 5 Literatur 6 Weblinks 7 EinzelnachweiseMotivation BearbeitenKlassisch verwendet man Hohenfunktionen um mittels der Methode des unendlichen Abstiegs die Unlosbarkeit diophantischer Gleichungen zu beweisen So betrachtete Pierre de Fermat fur die ganzzahligen Losungen der Gleichung x 4 y 4 z 2 displaystyle x 4 y 4 z 2 nbsp die Hohenfunktion h p q r r displaystyle h p q r vert r vert nbsp und zeigte dass man aus einer Losung p q r displaystyle p q r nbsp mit h p q r gt 0 displaystyle h p q r gt 0 nbsp eine andere Losung p q r displaystyle tilde p tilde q tilde r nbsp mit h p q r lt h p q r displaystyle h tilde p tilde q tilde r lt h p q r nbsp konstruieren konnte Daraus folgt dass es ausser 0 0 0 displaystyle 0 0 0 nbsp keine ganzzahligen Punkte auf der Kurve geben kann Faltings Verallgemeinerung besteht darin jeder abelschen Varietat eine Hohe zuzuordnen und dies dann auf die Jacobi Varietat der Kurve anzuwenden Er setzt diese Hohe in Beziehung zur klassischen Hohenfunktion und erhalt daraus dass es nur endlich viele g displaystyle g nbsp dimensionale prinzipal polarisierte semistabile abelsche Varietaten beschrankter Hohe h c displaystyle h leq c nbsp geben kann Prinzip beschrankter Hohe Er untersucht weiter die Veranderung dieser Hohe unter Isogenien und verwendet diese Abschatzung und das Prinzip beschrankter Hohe sowohl fur den Beweis der Tate Vermutung als auch fur den Beweis der Schafarewitsch Vermutung Die Schafarewitsch Vermutung besagt dass es fur eine endliche Menge von Primidealen S displaystyle S nbsp in einem Zahlkorper nur endlich viele Isomorphismenklassen von Kurven von gegebenem Geschlecht g displaystyle g nbsp mit guter Reduktion ausserhalb S displaystyle S nbsp gibt Wegen des Prinzips beschrankter Hohe genugt es dafur die Beschranktheit der Hohen der assoziierten Jacobi Varietaten zu zeigen Mit der Tate Vermutung kann man das auf den Fall zuruckfuhren dass die Jacobi Varietaten alle isogen sind Faltings nutzte seine Formel fur die Anderung der Hohe unter Isogenien zusammen mit dem Satz von Raynaud und den Weil Vermutungen um die Beschranktheit der Hohe und damit die Schafarewitsch Vermutung zu zeigen 1 Mit Arbeiten von Alexei Nikolajewitsch Parschin folgt aus der Schafarewitsch Vermutung die Mordell Vermutung Konstruktion BearbeitenDie Faltings Hohe misst die Grosse einer abelschen Varietat A displaystyle A nbsp uber einem Zahlkorper K displaystyle K nbsp Man betrachtet die Neron Modelle A v displaystyle A v nbsp von A displaystyle A nbsp uber allen Vervollstandigungen K v displaystyle K v nbsp von K displaystyle K nbsp Der Vektorraum der globalen Schnitte der hochsten ausseren Potenz des kanonischen Bundels im Sinne der Arakelov Theorie ist ein metrisierter O A v displaystyle O A v nbsp Modul und tragt somit eine kanonische Norm Das Produkt der Haarschen Masse der Grundmaschen der kanonischen Gitter in diesem Vektorraum fast alle sind 1 ist die Faltings Hohe von A displaystyle A nbsp Beispiel BearbeitenEine prinzipal polarisierte elliptische Kurve E displaystyle E nbsp sei gegeben durch die Gleichung y 2 4 x 3 g 2 x g 3 x displaystyle y 2 4x 3 g 2 x g 3 x nbsp Man hat dann ein holomorphes Differential w 1 y d x displaystyle omega tfrac 1 y dx nbsp und einen Isomorphismus C L E C displaystyle mathbb C Lambda simeq E mathbb C nbsp fur ein Gitter L C displaystyle Lambda subset mathbb C nbsp Die Faltings Hohe wird in diesem Fall definiert durch H E w 2 i E C w w displaystyle H E omega frac 2 i int E mathbb C omega wedge overline omega nbsp oder aquivalent durch H E w 1 A D displaystyle H E omega tfrac 1 A D nbsp wobei D C displaystyle D subset mathbb C nbsp ein Fundamentalbereich des Gitters L displaystyle Lambda nbsp und A D displaystyle A D nbsp sein Flacheninhalt ist Wenn eine elliptische Kurve E displaystyle E nbsp uber Q displaystyle mathbb Q nbsp definiert ist dann ist die definierende Gleichung und damit w displaystyle omega nbsp und dann auch H E w displaystyle H E omega nbsp bis auf Multiplikation mit Elementen aus Q displaystyle mathbb Q nbsp definiert Man kann aber ein minimales Modell y 2 a 1 x y a 3 y x 3 a 2 x 2 a 4 x a 6 displaystyle y 2 a 1 xy a 3 y x 3 a 2 x 2 a 4 x a 6 nbsp mit minimaler Diskriminante wahlen und hat dann ein bis auf Vorzeichen eindeutiges Differential w 1 2 y a 1 x a 3 d x displaystyle omega tfrac 1 2y a 1 x a 3 dx nbsp und damit eine wohldefinierte Faltings Hohe Bedeutung BearbeitenDie Faltings Hohe ist eine Hohenfunktion auf der Menge der abelschen Varietaten uber Zahlkorpern die von Gerd Faltings in seinem beruhmten Artikel Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern eingefuhrt wurde Es gibt nur endlich viele polarisierte abelsche Varietaten mit beschrankter Faltings Hohe Dies ist ein wesentlicher Beweisschritt im Beweis der Shafarevich Vermutung und damit der Mordell Vermutung Literatur BearbeitenGerd Faltings Endlichkeitssatze fur abelsche Varietaten uber Zahlkorpern Inventiones Mathematicae 73 1983 S 349 366 doi 10 1007 BF01388432 Freier Online Zugriff uber DigiZeitschriften Gerd Faltings Die Vermutungen von Tate und Mordell Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung 1984 S 1 13 online Weblinks BearbeitenKapitel 4 6 in Milne Abelian Varieties Heights and Finiteness theorems of abelian varietiesEinzelnachweise Bearbeiten S Bloch The proof of the Mordell conjecture Math Intell 6 No 2 41 47 1984 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Faltings Hohe amp oldid 222263043