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Elementarer vorhersagbarer stochastischer Prozess Die elementaren vorhersagbaren stochastischen Prozesse oder einfach vo

Elementarer vorhersagbarer stochastischer Prozess

Die elementaren (vorhersagbaren) stochastischen Prozesse oder einfach (vorhersagbaren) stochastischen Prozesse, meist einfach elementare Prozesse genannt, sind eine Klasse von stochastischen Prozessen in der Wahrscheinlichkeitstheorie. Sie zeichnen sich durch ihre Einfachheit aus und entsprechen einer stochastischen Verallgemeinerung der Treppenfunktionen. Das Ito-Integral lässt sich aus den elementaren Prozessen durch Vervollständigung gewinnen, ähnlich der Konstruktion des Lebesgue-Integrals aus den einfachen Funktionen. Somit gehören die elementaren Prozesse zur Grundlage der stochastischen Analysis.

Definition Bearbeiten

Gegeben sei

Dann heißt ein reellwertiger stochastischer Prozess auf ein elementarer Prozess, wenn es ein gibt, so dass Zahlen

existieren und für -messbare Zufallsvariablen existieren, so dass

ist. Dabei bezeichnet die charakteristische Funktion auf der Menge

Varianten in der Definition Bearbeiten

Die Definitionen unterscheiden sich in der Literatur teilweise dadurch, dass in der Definition die Beschränktheit der Zufallsvariablen gefordert wird. Geschieht dies nicht in der Definition, so werden die elementaren Prozesse nachträglich auf die Menge der beschränkten elementaren Prozesse eingeschränkt.

Des Weiteren wird für die gesamte Konstruktion des Ito-Integrals vorausgesetzt, dass die üblichen Bedingungen gelten, diese zusätzliche Annahme hat aber keinen Einfluss auf die in diesem Artikel besprochenen Eigenschaften.

Erläuterung Bearbeiten

Interpretiert man als zeitlichen Verlauf des Prozesses, so besteht der elementare Prozess in dem Zeitraum

um dann zum Zeitpunkt zur nächsten Zufallsvariable überzugehen. Somit kann der Prozess als "stückweise konstant" angesehen werden. Dies wird noch eindeutiger, wenn man ein auswählt und die Funktion

betrachtet. Sie ist eine Treppenfunktion und nimmt auf dem Intervall den Wert an.

Eigenschaften Bearbeiten

Ein elementarer Prozess ist immer ein linksstetiger Prozess. Dies folgt daraus, dass die Intervalle rechts abgeschlossen sind. Daher ist für alle die Treppenfunktion (vgl. oben)

eine linksstetige Funktion und damit auch der Prozess linksstetig.

Des Weiteren sind elementare Prozesse wegen der -messbarkeit der immer adaptiert.

Aufgrund der Definition der vorhersagbaren σ-Algebra folgt aus der Linksstetigkeit und Adaptiertheit eines Prozesses die Vorhersagbarkeit des Prozesses. Folglich sind elementare Prozesse stets vorhersagbar.

Außerdem bildet die Menge der elementaren Prozesse einen Vektorraum, der ein Unterraum der reellwertigen Funktionen auf ist. Bezeichnet man mit die Menge der beschränkten elementaren Prozesse, so lässt sich darauf eine Abbildung

durch

definieren. Dabei handelt es sich um eine Halbnorm.

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • David Meintrup, Stefan Schäffler: Stochastik. Theorie und Anwendungen. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2005, ISBN 3-540-21676-6, doi:10.1007/b137972.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Meintrup, Schäffler: Stochastik. 2005, S. 413.
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Veröffentlichungsdatum:
Die elementaren vorhersagbaren stochastischen Prozesse oder einfach vorhersagbaren stochastischen Prozesse meist einfach elementare Prozesse genannt 1 sind eine Klasse von stochastischen Prozessen in der Wahrscheinlichkeitstheorie Sie zeichnen sich durch ihre Einfachheit aus und entsprechen einer stochastischen Verallgemeinerung der Treppenfunktionen Das Ito Integral lasst sich aus den elementaren Prozessen durch Vervollstandigung gewinnen ahnlich der Konstruktion des Lebesgue Integrals aus den einfachen Funktionen Somit gehoren die elementaren Prozesse zur Grundlage der stochastischen Analysis Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Varianten in der Definition 3 Erlauterung 4 Eigenschaften 5 Literatur 6 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenGegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp die Indexmenge T 0 displaystyle T 0 infty nbsp eine Filtration F F t t T displaystyle mathbb F mathcal F t t in T nbsp Dann heisst ein reellwertiger stochastischer Prozess H H t t T displaystyle H H t t in T nbsp auf W F P displaystyle Omega mathcal F P nbsp ein elementarer Prozess wenn es ein n N displaystyle n in mathbb N nbsp gibt so dass Zahlen 0 t 0 lt t 1 lt lt t n 1 lt t n lt displaystyle 0 t 0 lt t 1 lt dots lt t n 1 lt t n lt infty nbsp existieren und fur i 1 n displaystyle i 1 dots n nbsp F t i 1 displaystyle mathcal F t i 1 nbsp messbare Zufallsvariablen h i 1 displaystyle h i 1 nbsp existieren so dass H t w i 1 n h i 1 w 1 t i 1 t i t displaystyle H t omega sum i 1 n h i 1 omega mathbf 1 t i 1 t i t nbsp ist Dabei bezeichnet 1 A displaystyle mathbf 1 A nbsp die charakteristische Funktion auf der Menge A displaystyle A nbsp Varianten in der Definition BearbeitenDie Definitionen unterscheiden sich in der Literatur teilweise dadurch dass in der Definition die Beschranktheit der Zufallsvariablen h i displaystyle h i nbsp gefordert wird Geschieht dies nicht in der Definition so werden die elementaren Prozesse nachtraglich auf die Menge der beschrankten elementaren Prozesse eingeschrankt Des Weiteren wird fur die gesamte Konstruktion des Ito Integrals vorausgesetzt dass die ublichen Bedingungen gelten diese zusatzliche Annahme hat aber keinen Einfluss auf die in diesem Artikel besprochenen Eigenschaften Erlauterung BearbeitenInterpretiert man T displaystyle T nbsp als zeitlichen Verlauf des Prozesses so besteht der elementare Prozess in dem Zeitraum t i 1 t i displaystyle t i 1 t i nbsp unverandert aus der Zufallsvariable h i 1 displaystyle h i 1 nbsp um dann zum Zeitpunkt t i displaystyle t i nbsp zur nachsten Zufallsvariable uberzugehen Somit kann der Prozess als stuckweise konstant angesehen werden Dies wird noch eindeutiger wenn man ein w 0 W displaystyle omega 0 in Omega nbsp auswahlt und die Funktion t H t w 0 displaystyle t mapsto H t omega 0 nbsp betrachtet Sie ist eine Treppenfunktion und nimmt auf dem Intervall t i 1 t i displaystyle t i 1 t i nbsp den Wert h i 1 w 0 displaystyle h i 1 omega 0 nbsp an Eigenschaften BearbeitenEin elementarer Prozess ist immer ein linksstetiger Prozess Dies folgt daraus dass die Intervalle t i 1 t i displaystyle t i 1 t i nbsp rechts abgeschlossen sind Daher ist fur alle w 0 W displaystyle omega 0 in Omega nbsp die Treppenfunktion vgl oben t H t w 0 displaystyle t mapsto H t omega 0 nbsp eine linksstetige Funktion und damit auch der Prozess linksstetig Des Weiteren sind elementare Prozesse wegen der F t i 1 displaystyle mathcal F t i 1 nbsp messbarkeit der h i 1 displaystyle h i 1 nbsp immer adaptiert Aufgrund der Definition der vorhersagbaren s Algebra folgt aus der Linksstetigkeit und Adaptiertheit eines Prozesses die Vorhersagbarkeit des Prozesses Folglich sind elementare Prozesse stets vorhersagbar Ausserdem bildet die Menge der elementaren Prozesse einen Vektorraum der ein Unterraum der reellwertigen Funktionen auf W T displaystyle Omega times T nbsp ist Bezeichnet man mit E b displaystyle mathcal E b nbsp die Menge der beschrankten elementaren Prozesse so lasst sich darauf eine Abbildung E b E b R displaystyle cdot mathcal E b colon mathcal E b to mathbb R nbsp durch H E b E T H s 2 d l s 1 2 i 1 n E h i 1 2 t i t i 1 1 2 displaystyle H mathcal E b operatorname E left int T H s 2 mathrm d lambda s right frac 1 2 left sum i 1 n operatorname E h i 1 2 t i t i 1 right frac 1 2 nbsp definieren Dabei handelt es sich um eine Halbnorm Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 David Meintrup Stefan Schaffler Stochastik Theorie und Anwendungen Springer Verlag Berlin Heidelberg New York 2005 ISBN 3 540 21676 6 doi 10 1007 b137972 Einzelnachweise Bearbeiten Meintrup Schaffler Stochastik 2005 S 413 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Elementarer vorhersagbarer stochastischer Prozess amp oldid 227174753