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Vorhersagbarer Prozess Ein vorhersagbarer Prozess auch vorhersehbarer Prozess previsibler Prozess oder prognostizierbare

Vorhersagbarer Prozess

Ein vorhersagbarer Prozess, auch vorhersehbarer Prozess, previsibler Prozess oder prognostizierbarer Prozess genannt, ist ein spezieller stochastischer Prozess, bei dem es möglich ist, einen kurzen Zeitschritt in die Zukunft zu schauen. Dies bedeutet nicht, dass Ausgänge schon bekannt sind, sondern lediglich, dass Informationen über die Verteilung gewonnen werden können. Vorhersagbare Prozesse spielen beispielsweise eine Rolle bei der Doob-Zerlegung, die einen beliebigen integrierbaren stochastischen Prozess in diskreter Zeit in zwei Teilprozesse zerlegt: ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess. Außerdem finden sie Anwendung bei der Definition des diskreten stochastischen Integrals und des stochastischen Integrals. Ein vorhersagbarer Prozess heißt auch voraussagbarer Prozess.

Definition Bearbeiten

Diskreter Fall Bearbeiten

Gegeben sei eine Filtrierung und ein stochastischer Prozess . Falls konstant ist und

für alle gilt, so heißt der Prozess vorhersagbar, previsibel oder prognostizierbar.

Stetiger Fall Bearbeiten

Im zeitstetigen Fall definiert man die vorhersagbare σ-Algebra auf als

(siehe adaptierter stochastischer Prozess, Linksstetiger Prozess). Ein Prozess heißt dann vorhersagbar, wenn eine -messbare Abbildung ist.

Interpretation des diskreten Falls Bearbeiten

Die σ-Algebra modelliert die Informationen, die zum Zeitpunkt n-1 zur Verfügung stehen. Betrachtet man nun die bedingte Erwartung der Zufallsvariable unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Informationen aus bereits zur Verfügung stehen, so ist

Dies folgt daraus, dass -messbar ist und demnach . Hat man demnach die Informationen aus dem (n-1)-ten Schritt zur Verfügung, lässt sich schon alles über die Ausgänge im n-ten Schritt sagen.

Wichtige Sätze Bearbeiten

Die folgenden Sätze heißen Sektionssatz (englisch section theorem) und Projektionssatz (englisch projection theorem). Von beiden gibt es eine optionale Variante und eine vorhersagbare Variante.

Für beide Sätze setzen wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum voraus, der die üblichen Bedingungen erfüllt. Es gilt per Konvention .

Vorhersagbarer Sektionssatz Bearbeiten

Für eine Stoppzeit definieren wir ihren Graphen , weiter definieren wir die kanonische Projektion .

Sei eine vorhersagbare Menge. Für jedes existiert eine vorhersagbare Stoppzeit , so dass

  1. für den Graphen gilt.

Vorhersagbarer Projektionssatz Bearbeiten

Sei ein messbarer Prozess der entweder positive oder beschränkt ist. Dann existiert ein eindeutiger (bis auf Ununterscheidbarkeit) vorhersagbarer Prozess , so dass

Der Prozess heißt vorhersagbare Projektion und wird auch mit notiert.

Beispiel Bearbeiten

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.
  • Christian Hesse: Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. Auflage. Vieweg, Wiesbaden 2003, ISBN 3-528-03183-2, doi:10.1007/978-3-663-01244-3.

Belege Bearbeiten

  1. P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, S. 246.
  2. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999, S. 172 (englisch).
  3. Daniel Revuz und Marc Yor: Continuous Martingales and Brownian Motion. In: Springer (Hrsg.): Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Band 293, 1999, S. 173 (englisch).
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Ein vorhersagbarer Prozess auch vorhersehbarer Prozess previsibler Prozess oder prognostizierbarer Prozess genannt ist ein spezieller stochastischer Prozess bei dem es moglich ist einen kurzen Zeitschritt in die Zukunft zu schauen Dies bedeutet nicht dass Ausgange schon bekannt sind sondern lediglich dass Informationen uber die Verteilung gewonnen werden konnen Vorhersagbare Prozesse spielen beispielsweise eine Rolle bei der Doob Zerlegung die einen beliebigen integrierbaren stochastischen Prozess in diskreter Zeit in zwei Teilprozesse zerlegt ein Martingal und einen vorhersagbaren Prozess Ausserdem finden sie Anwendung bei der Definition des diskreten stochastischen Integrals und des stochastischen Integrals Ein vorhersagbarer Prozess heisst auch voraussagbarer Prozess 1 Inhaltsverzeichnis 1 Definition 1 1 Diskreter Fall 1 2 Stetiger Fall 2 Interpretation des diskreten Falls 3 Wichtige Satze 3 1 Vorhersagbarer Sektionssatz 3 2 Vorhersagbarer Projektionssatz 4 Beispiel 5 Weblinks 6 Literatur 7 BelegeDefinition BearbeitenDiskreter Fall Bearbeiten Gegeben sei eine Filtrierung F n n N displaystyle mathcal F n n in mathbb N nbsp und ein stochastischer Prozess X X n n N displaystyle X X n n in mathbb N nbsp Falls X 0 displaystyle X 0 nbsp konstant ist und X n ist F n 1 messbar displaystyle X n text ist mathcal F n 1 text messbar nbsp fur alle n N 0 displaystyle n in mathbb N setminus 0 nbsp gilt so heisst der Prozess vorhersagbar previsibel oder prognostizierbar Stetiger Fall Bearbeiten Im zeitstetigen Fall definiert man die vorhersagbare s Algebra auf W 0 displaystyle Omega times 0 infty nbsp als P s X X ist adaptierter linksstetiger Prozess displaystyle mathcal P sigma X X text ist adaptierter linksstetiger Prozess nbsp siehe adaptierter stochastischer Prozess Linksstetiger Prozess Ein Prozess heisst dann vorhersagbar wenn w t X t w displaystyle omega t mapsto X t omega nbsp eine P displaystyle mathcal P nbsp messbare Abbildung ist Interpretation des diskreten Falls BearbeitenDie s Algebra F n 1 displaystyle mathcal F n 1 nbsp modelliert die Informationen die zum Zeitpunkt n 1 zur Verfugung stehen Betrachtet man nun die bedingte Erwartung der Zufallsvariable X n displaystyle X n nbsp unter Berucksichtigung der Tatsache dass die Informationen aus F n 1 displaystyle mathcal F n 1 nbsp bereits zur Verfugung stehen so ist E X n F n 1 X n displaystyle operatorname E X n mathcal F n 1 X n nbsp Dies folgt daraus dass X n displaystyle X n nbsp F n 1 displaystyle mathcal F n 1 nbsp messbar ist und demnach s X n F n 1 displaystyle sigma X n subset mathcal F n 1 nbsp Hat man demnach die Informationen aus dem n 1 ten Schritt zur Verfugung lasst sich schon alles uber die Ausgange im n ten Schritt sagen Wichtige Satze BearbeitenDie folgenden Satze heissen Sektionssatz englisch section theorem und Projektionssatz englisch projection theorem Von beiden gibt es eine optionale Variante und eine vorhersagbare Variante Fur beide Satze setzen wir einen filtrierten Wahrscheinlichkeitsraum W A F t P displaystyle Omega mathcal A mathcal F t P nbsp voraus der die ublichen Bedingungen erfullt Es gilt per Konvention F 0 F 0 displaystyle mathcal F 0 equiv mathcal F 0 nbsp Vorhersagbarer Sektionssatz Bearbeiten Fur eine Stoppzeit S displaystyle S nbsp definieren wir ihren Graphen S w t W R S w t displaystyle S omega t in Omega times mathbb R S omega t nbsp weiter definieren wir die kanonische Projektion p W R W displaystyle pi Omega times mathbb R to Omega nbsp Sei A displaystyle A nbsp eine vorhersagbare Menge Fur jedes e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp existiert eine vorhersagbare Stoppzeit T displaystyle T nbsp so dass fur den Graphen T A displaystyle T subset A nbsp gilt P T lt P p A e displaystyle P T lt infty geq P pi A varepsilon nbsp 2 Vorhersagbarer Projektionssatz Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein messbarer Prozess der entweder positive oder beschrankt ist Dann existiert ein eindeutiger bis auf Ununterscheidbarkeit vorhersagbarer Prozess Y displaystyle Y nbsp so dass E X T 1 T lt F T Y T 1 T lt displaystyle mathbb E X T 1 T lt infty mathcal F T Y T 1 T lt infty nbsp fast sicher fur jede vorhersagbare Stoppzeit T displaystyle T nbsp Der Prozess Y displaystyle Y nbsp heisst vorhersagbare Projektion und wird auch mit p X displaystyle p X nbsp notiert 3 Beispiel BearbeitenJeder Prozess versehen mit der Filtrierung der vollstandigen Information ist vorhersagbar Einfache Beispiele von zeitstetigen vorhersagbaren Prozessen sind die elementaren vorhersagbaren stochastischen Prozesse Weblinks BearbeitenA N Shiryaev Predictable random process In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org A N Shiryaev Predictable sigma algebra In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Christian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Belege Bearbeiten P H Muller Hrsg Lexikon der Stochastik Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik 5 Auflage Akademie Verlag Berlin 1991 ISBN 978 3 05 500608 1 S 246 Daniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 S 172 englisch Daniel Revuz und Marc Yor Continuous Martingales and Brownian Motion In Springer Hrsg Grundlehren der mathematischen Wissenschaften Band 293 1999 S 173 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Vorhersagbarer Prozess amp oldid 227250863