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Einbettungssatz von Arens Eells Der englisch Arens Eells embedding theorem ist ein mathematischer Lehrsatz welcher im üb

Einbettungssatz von Arens-Eells

Der Einbettungssatz von Arens-Eells (englisch Arens-Eells embedding theorem) ist ein mathematischer Lehrsatz, welcher im Übergangsfeld zwischen den mathematischen Teilgebieten Analysis, Funktionalanalysis und Topologie einzuordnen ist. Er geht zurück auf die beiden Mathematiker Richard Friederich Arens und James Eells und behandelt die Frage der Einbettbarkeit beliebiger metrischer Räume in komplexe normierte Räume und insbesondere in komplexe Banachräume.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Satz lässt sich formulieren wie folgt:

Beweis- und Konstruktionsskizze Bearbeiten

Gemäß der Darstellung von Väth kann man den Beweis führen wie folgt:

Die Konstruktion der isometrischen Einbettung beginnt damit, dass zunächst isometrisch zu einem (nicht notwendig abgeschlossenen) Teilraum eines komplexen Banachraums angelegt wird. In diesem wird dann der zu konstruierende normierte Vektorraum als -lineare Hülle des Bildraums definiert. Von diesem wird schließlich gezeigt, dass er darin bezüglich der von geerbten Normtopologie abgeschlossen ist.

Die Konstruktion von beginnt dabei mit dem Mengensystem aller nichtleeren endlichen Teilmengen von .

Dann setzt man

als den Funktionenraum aller beschränkten komplexwertigen Funktionen .

ist versehen mit der Supremumsnorm

wobei im Körper wie stets der komplexe Betrag

zugrunde gelegt wird.

In wird nun ein Element fixiert.

Mit diesem definiert man unter Zuhilfenahme der zu der gegebenen Metrik gehörenden Abstandsfunktion eine Abbildung

indem man die Setzung

macht, wobei für wegen der Endlichkeit von stets

gilt.

Hier ist zu berücksichtigen, dass die Abstandsfunktion lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante ist, also immer

und damit jedes beschränkte Funktion.

Die auf diesem Wege gewonnene Abbildung erweist sich dann als Isometrie zwischen und dem Bildraum mit den gewünschten Eigenschaften.

Korollar Bearbeiten

Als direkte Folgerung der Herleitung des Satzes ergibt sich, dass jeder metrische Raum eine metrische Vervollständigung besitzt. Diese kann konstruiert werden als abgeschlossene Hülle innerhalb .

Anmerkung Bearbeiten

  • Direkt verwandt mit dem Satz von Arens-Eells ist der Satz von Kunugui, welcher von Kinjirô Kunugui im Jahre 1935 veröffentlicht wurde und der auf den gleichen Ideen beruht, jedoch etwas schwächer ist. Gleichartige bzw. verwandte Sätze wurden von Kazimierz Kuratowski (ebenfalls in 1935), Menahem Wojdysławski (in 1939) und Victor Klee (in 1951) geliefert.
  • Im Falle, dass unter der Metrik vollständig ist, ergibt sich die Abgeschlossenheit des Bildraums unmittelbar aus der Vollständigkeit.
  • In ihrer Veröffentlichung von 1956 haben Arens und Eells über den oben formulierten Satz hinaus, jedoch mit Hilfe eines ähnlichen Beweisansatzes gezeigt, dass sogar jeder uniforme Raum, dessen Struktur durch Pseudometriken mit gewissen Trennungseigenschaften festgelegt ist, abgeschlossen in einen hausdorffschen topologischen Vektorraum eingebettet werden kann.

Literatur Bearbeiten

  • Richard F. Arens, James Eells, Jr.: On embedding uniform and topological spaces. In: Pacific J. Math. Band 6, 1956, S. 397–403 (online, MR0081458).
  • V. L. Klee, Jr.: Some characterizations of compactness. In: The American Mathematical Monthly. Band 58, 1951, S. 389–393, JSTOR:2306551 (MR0042682).
  • Casimir Kuratowski: Quelques problèmes concernant les espaces métriques non-séparables. In: Fund. Math. Band 25, 1935, S. 534–545.
  • M. Wojdysławski: Rétractes absolus et hyperespaces des continus. In: Fund. Math. Band 32, 1939, S. 184–192.
  • Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6 (MR0423277).
  • Martin Väth: Topological Analysis. From the Basics to the Triple Degree for Nonlinear Fredholm Inclusions (= De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications. Band 16). Verlag Walter de Gruyter, Berlin/Boston 2012, ISBN 978-3-11-027722-7 (MR2961860).
  • James H. Wells, Lynn R. Williams: Embeddings and Extensions in Analysis (= Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. Band 84). Springer Verlag, Berlin (u. a.) 1975, ISBN 3-540-07067-2 (MR0461107).

Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten

  1. ↑ Väth: Topological Analysis. 2012, S. 89 ff.
  2. Wells, Williams: Embeddings and Extensions in Analysis. 1975, S. 1.
  3. Horst Schubert: Topologie. 4. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1975, ISBN 3-519-12200-6, S. 78 (MR0423277).
  4. Väth: Topological Analysis. 2012, S. 91.
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Der Einbettungssatz von Arens Eells englisch Arens Eells embedding theorem ist ein mathematischer Lehrsatz welcher im Ubergangsfeld zwischen den mathematischen Teilgebieten Analysis Funktionalanalysis und Topologie einzuordnen ist Er geht zuruck auf die beiden Mathematiker Richard Friederich Arens und James Eells und behandelt die Frage der Einbettbarkeit beliebiger metrischer Raume in komplexe normierte Raume und insbesondere in komplexe Banachraume 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Beweis und Konstruktionsskizze 3 Korollar 4 Anmerkung 5 Literatur 6 Einzelnachweise und AnmerkungenFormulierung des Satzes BearbeitenDer Satz lasst sich formulieren wie folgt Sei X displaystyle X nbsp ein metrischer Raum versehen mit einer Metrik d X X R 0 displaystyle d colon X times X to mathbb R geq 0 nbsp Dann gilt X displaystyle X nbsp ist isometrisch einbettbar in einen normierten C displaystyle mathbb C nbsp Vektorraum V displaystyle mathcal V nbsp wobei der unter dieser isometrischen Einbettung entstehende Bildraum von X displaystyle X nbsp in dem umfassenden Vektorraum V displaystyle mathcal V nbsp bezuglich der Normtopologie ein abgeschlossener topologischer Teilraum ist Beweis und Konstruktionsskizze BearbeitenGemass der Darstellung von Vath kann man den Beweis fuhren wie folgt 1 Die Konstruktion der isometrischen Einbettung ϕ displaystyle phi nbsp beginnt damit dass X displaystyle X nbsp zunachst isometrisch zu einem nicht notwendig abgeschlossenen Teilraum eines komplexen Banachraums B displaystyle mathcal B nbsp angelegt wird In diesem wird dann der zu konstruierende normierte Vektorraum V displaystyle mathcal V nbsp als C displaystyle mathbb C nbsp lineare Hulle ϕ X C displaystyle langle phi X rangle mathbb C nbsp des Bildraums ϕ X displaystyle phi X nbsp definiert Von diesem wird schliesslich gezeigt dass er darin bezuglich der von B displaystyle mathcal B nbsp geerbten Normtopologie abgeschlossen ist Die Konstruktion von B displaystyle mathcal B nbsp beginnt dabei mit dem Mengensystem E P X displaystyle mathcal E subseteq mathcal P X nbsp aller nichtleeren endlichen Teilmengen von X displaystyle X nbsp Dann setzt man B B E C displaystyle mathcal B B mathcal E mathbb C nbsp als den Funktionenraum aller beschrankten komplexwertigen Funktionen f E C E z f E C displaystyle f colon mathcal E to mathbb C E mapsto z f E in mathbb C nbsp B displaystyle mathcal B nbsp ist versehen mit der Supremumsnorm f f sup E E f E displaystyle f mapsto f infty sup E in mathcal E f E nbsp wobei im Korper C displaystyle mathbb C nbsp wie stets der komplexe Betrag z z z displaystyle z sqrt z cdot bar z nbsp zugrunde gelegt wird In X displaystyle X nbsp wird nun ein Element x 0 X displaystyle x 0 in X nbsp fixiert Mit diesem definiert man unter Zuhilfenahme der zu der gegebenen Metrik d displaystyle d nbsp gehorenden Abstandsfunktion D displaystyle D nbsp eine Abbildung ϕ X B x f x B displaystyle phi colon X to mathcal B x mapsto f x in mathcal B nbsp indem man die Setzung f x E D x E D x 0 E displaystyle f x E D x E D x 0 E nbsp macht wobei fur E E x X displaystyle E in mathcal E x in X nbsp wegen der Endlichkeit von E displaystyle E nbsp stets D x E min e E d x e displaystyle D x E min e in E d x e nbsp gilt Hier ist zu berucksichtigen dass die Abstandsfunktion lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante L 1 displaystyle L 1 nbsp ist 3 also immer f x E d x x 0 displaystyle f x E leq d x x 0 nbsp und damit jedes f x displaystyle f x nbsp beschrankte Funktion Die auf diesem Wege gewonnene Abbildung ϕ displaystyle phi nbsp erweist sich dann als Isometrie zwischen X displaystyle X nbsp und dem Bildraum ϕ X displaystyle phi X nbsp mit den gewunschten Eigenschaften Korollar BearbeitenAls direkte Folgerung der Herleitung des Satzes ergibt sich dass jeder metrische Raum X displaystyle X nbsp eine metrische Vervollstandigung X displaystyle hat X nbsp besitzt Diese kann konstruiert werden als abgeschlossene Hulle X X B displaystyle hat X overline X mathcal B nbsp innerhalb B displaystyle mathcal B nbsp 4 Anmerkung BearbeitenDirekt verwandt mit dem Satz von Arens Eells ist der Satz von Kunugui welcher von Kinjiro Kunugui im Jahre 1935 veroffentlicht wurde und der auf den gleichen Ideen beruht jedoch etwas schwacher ist Gleichartige bzw verwandte Satze wurden von Kazimierz Kuratowski ebenfalls in 1935 Menahem Wojdyslawski in 1939 und Victor Klee in 1951 geliefert Im Falle dass X displaystyle X nbsp unter der Metrik d displaystyle d nbsp vollstandig ist ergibt sich die Abgeschlossenheit des Bildraums ϕ X displaystyle phi X nbsp unmittelbar aus der Vollstandigkeit 1 In ihrer Veroffentlichung von 1956 haben Arens und Eells uber den oben formulierten Satz hinaus jedoch mit Hilfe eines ahnlichen Beweisansatzes gezeigt dass sogar jeder uniforme Raum dessen Struktur durch Pseudometriken mit gewissen Trennungseigenschaften festgelegt ist abgeschlossen in einen hausdorffschen topologischen Vektorraum eingebettet werden kann Literatur BearbeitenRichard F Arens James Eells Jr On embedding uniform and topological spaces In Pacific J Math Band 6 1956 S 397 403 online MR0081458 V L Klee Jr Some characterizations of compactness In The American Mathematical Monthly Band 58 1951 S 389 393 JSTOR 2306551 MR0042682 Casimir Kuratowski Quelques problemes concernant les espaces metriques non separables In Fund Math Band 25 1935 S 534 545 M Wojdyslawski Retractes absolus et hyperespaces des continus In Fund Math Band 32 1939 S 184 192 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 MR0423277 Martin Vath Topological Analysis From the Basics to the Triple Degree for Nonlinear Fredholm Inclusions De Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications Band 16 Verlag Walter de Gruyter Berlin Boston 2012 ISBN 978 3 11 027722 7 MR2961860 James H Wells Lynn R Williams Embeddings and Extensions in Analysis Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete Band 84 Springer Verlag Berlin u a 1975 ISBN 3 540 07067 2 MR0461107 Einzelnachweise und Anmerkungen Bearbeiten a b c Vath Topological Analysis 2012 S 89 ff Wells Williams Embeddings and Extensions in Analysis 1975 S 1 Horst Schubert Topologie 4 Auflage B G Teubner Verlag Stuttgart 1975 ISBN 3 519 12200 6 S 78 MR0423277 Vath Topological Analysis 2012 S 91 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Einbettungssatz von Arens Eells amp oldid 199855265