In der Serienfertigung von Regeleinrichtungen werden anstelle der analogen Regler zunehmend digitale Regler eingesetzt, weil sie verschiedene technische Vorteile aufweisen. Dazu gehören: einmaliger Hardware-Entwicklungsaufwand, einfache parametrische System-Änderungen per Software, Realisierung komplexere Reglerstrukturen, Multitasking.
Bei den meisten Regeleinrichtungen handelt es sich bei den Regelstrecken um kontinuierlich wirkende analoge Eingrößensysteme, die sich linear, nichtlinear und totzeitbehaftet verhalten können. Für diese Regelstrecken sollen bestimmte physikalische Größen wie Temperatur, Kraft, Druck, Geschwindigkeit, Niveau usw. geregelt werden. Die dafür erforderlichen Regler können eine analoge oder digitale Systemstruktur aufweisen.
Bei der digitalen Regelung erfolgt im einfachsten Falle eine zeitliche Abtastung und Digitalisierung der Regeldifferenz. Im gleichen Abtast-Intervall berechnet ein Mikrocomputer z. B. mit Hilfe von Differenzengleichungen den notwendigen Regel-Algorithmus. Die digitale Ausgangsgröße des Reglers, die Stellgröße, wird für die meist analog wirkenden Regelstrecken durch Wandler und Speicher analogisiert. Andere Begriffe der digitalen Regelung bezeichnen diesen Vorgang als „zeitdiskrete Regelung“ oder auch als „Abtastregelung“.
Analoge wie digitale Regler benötigen als Eingangssignal die Regelabweichung und einen Regleralgorithmus, der die gewünschte Dynamik des geschlossenen Regelkreises bestimmt.
Digitale Regler werden durch Mikrocomputer realisiert. Der Computer benötigt für die digitale Signalverarbeitung Ein- und Ausgangsschnittstellen, um das kontinuierliche Eingangssignal zyklisch abzutasten und digital mit speziellen Programmiersprachen berechnen zu können. Der Mikrocomputer verarbeitet die abgetasteten Signalwerte als Eingangsfolgen mit Hilfe von Differenzengleichungen zu Ausgangsfolgen. Die so schrittweise errechneten Stellgrößen-Anteile jeder Komponente der Ausgangsfolge werden über einen D/A-Wandler und ein Speicher-Halteglied wieder als feingestuftes quasi kontinuierliches Signal an die kontinuierlich wirkende Regelstrecke geliefert.
Grundlagen der numerischen Berechnung und Regelung Bearbeiten
Verhalten der analogen Regler Bearbeiten
Das Systemverhalten von kontinuierlich wirkenden linearen, dynamischen Übertragungssystemen wird von gewöhnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben. Mittels der Laplace-Transformation können die Terme der Differentialgleichung in den komplexen Bildbereich (s-Bereich) als Übertragungsfunktion mit dem Verhältnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal als gebrochen-rationale Gleichung überführt werden:
Mit der Nullstellenbestimmung lassen sich die Polynome der Übertragungsfunktion in die Produktdarstellung mit einzelnen Elementarsystemen erster Ordnung (Linearfaktoren) zerlegen. Diese Form im s-Bereich erlaubt mit der Rücktransformation in den Zeitbereich die Lösung der Differentialgleichung und darüber hinaus Aussagen des Systemverhaltens, der Systemstabilität, der Systemanalyse und der Systemsynthese.
Analoge Standardregler verarbeiten kontinuierliche Signale und bestehen in der Regel aus Operationsverstärkern mit RC-Spannungsteilern, die ein rückwirkungsfreies Impedanzverhältnis bilden. Das zugehörige Systemverhalten im komplexen Frequenzbereich kann unmittelbar als Verhältnis der Impedanzen als Übertragungsfunktion G(s) oder G(jω) geschrieben werden.
Bei analogen Reglern stellen die Hardware-Komponenten, z. B. Operationsverstärker mit RC-Beschaltung, die Lösung der Differenzialgleichung des Regelalgorithmus dar.
Verhalten der digitalen Regler Bearbeiten
Zeitdiskrete lineare dynamische Systeme sind dadurch gekennzeichnet, dass die inneren Systemzustände nur zu einzelnen Zeitpunkten definiert sind und an den Ein- und Ausgängen zeitdiskrete Signale auftreten. Sie spielen im Rahmen der Informationstechnik und digitalen Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle und werden in Form von Zahlenfolgen beschrieben.
- Digitale Ein-Ausgangssignale der Hardware
- Mikrocomputer als digitaler Regler
- Differenzengleichungen
- Identifikation der Regelstrecke
Weitere Vertiefung zur Systemidentifikation siehe Artikel Regelstrecke#Experimentelle Systemidentifikation von Regelstrecken nach der Sprungantwort
- Simulation des Regelkreises
- Parametrierung des digitalen Reglers
Wertefolge durch Abtastung von Signalen Bearbeiten
In der Mathematik wird eine Auflistung von endlich und unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten als Folge bezeichnet. Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten.
Die Abtastfolge bedeutet eine Nummerierung der Folgeglieder der Wertefolge des Eingangssignals (Eingangsfolge) und des Ausgangssignals (Ausgangsfolge) eines Systems.
Eine Wertefolge besteht aus oder vielen Folgegliedern. Das Objekt mit der Nummer i wird i-tes Folgeglied oder i-te Komponente der Folge genannt.
Die Signalabtastung kontinuierlicher Signale f(t) erfordert Hardware-Komponenten wie idealisierte Abtaster (-Abtaster) und A/D-Wandler, deren digitalisierte Signale als Folgeglieder der Wertefolge im Mikrocomputer zu Stellgrößensignalen verarbeitet werden.
Die Periodendauer einer kontinuierlichen Abtastfolge eines analogen oder digitalisierten Eingangssignals wird meist mit (auch und ) bezeichnet. Diese Funktion unterscheidet sich von der diskreten Zeit einer Simulation eines dynamischen Systems am Computer dadurch, dass die Periodendauer der Abtastung zu einer Wertefolge eine reale Zeit ist und kontinuierlich zyklisch ohne eine begrenzte Anzahl von Folgegliedern wirkt. Die Werte des zeitdiskreten Parameters und der Abtastzeit können identisch sein.
Eine Wertefolge mit Folgegliedern können in einem digitalen Rechner gespeichert und aufgelistet werden. Dies ist bei unendlich vielen Folgegliedern der Wertefolge, wie sie bei Einsatz von digitalen Reglern auftreten, nicht möglich und auch nicht erforderlich.
Im Online-Betrieb eines Digitalreglers ist die Anzahl der Folgeglieder der Ein- und Ausgangsfolge unbegrenzt.
- Beispiel einer Regeldifferenz-Folge mit der Abtastzeit :
- Beispiel der Abtastfolge einer Sprungfunktion G(s) = 1 / s:
- Beispiel der Wertefolge einer -Impulsfunktion:
Abtasttheorem Bearbeiten
Bei einem idealen Abtaster (Sampler) in Verbindung mit einem A/D-Wandler wird aus einem analogen Signal eine Zahlenfolge, die jeweils in einen zeitlichen Abstand TA generiert wird. Liegen die digitalisierten Abtastwerte bezogen auf die Dynamik des Analogsignals bei hoher Abtastfrequenz dicht bei einander, folgt das digitalisierte Signal genau dem Verlauf des Analogsignals. Damit gehen durch die Abtastung wenig Informationen verloren.
Je nach verwendetem Mikrorechner erlauben schnelle Regelstrecken keine beliebig hohen Auflösungen des Abtastvorgangs eines Analogsignals, weil sowohl die Grenzfrequenz der Schnittstellen erreicht wird, als auch der Mikrorechner die Rechenleistung nicht mehr bringen kann.
In der Praxis bestehen reale Signale aus einem Gemisch vieler Frequenzen.
Nun stellt sich die Frage, welche Mindest-Abtastfrequenz ist erforderlich, dass beispielsweise ein analoges sinusförmiges Signal ohne größeren Informationsverlust abgetastet werden kann. Ein harmonisches sinusförmiges Signal ist durch Abtastung vom Original und Rekonstruktion nicht zu unterscheiden, wenn die Abtastfrequenz mindestens doppelt so hoch ist, wie die Originalfrequenz .
Dieser Zusammenhang wurde bereits von dem Physiker Harry Nyquist als sogenannte Nyquist-Frequenz erkannt.
Das Nyquist-Shannon-Abtasttheorem besagt, dass ein harmonisches analoges auf bandbegrenztes Frequenzsignal mit einer Frequenz von mindestens abgetastet werden muss, damit man es aus dem zeitdiskreten Signal wieder exakt rekonstruieren kann.
Durch Frequenzüberlagerungen wie Signalstörungen können bei der Rekonstruktion des abgetasteten Signals erhebliche Unterschiede zum analogen Signal auftreten. In der Praxis müssen deshalb zur Vermeidung von Fehlinterpretationen dem A/D-Wandler ein vorgeschaltetes Tiefpassfilter (Anti-Aliasing-Filter) zur Reduzierung höherer Frequenzanteile vorgesehen werden. Damit das Tiefpassfilter keine zu steilen Flanken aufweisen muss, wählt man eine Abtastfrequenz , die wesentlich über dem theoretischen Wert liegt. In der Praxis wählt man als Abtastfrequenz 5- bis 10-mal .
Wird die zweifache Menge der Abtastfrequenz von fmax unterschritten, kommt es zu dem Alias-Effekt (auch Aliasing-Effekte oder kurz Aliasing).
Regelung im Offline- und Onlineprozess Bearbeiten
Völlig unterschiedliche Verfahren der Anwendung der numerischen Berechnung sind bei der Simulation eines dynamischen Systems z. B. eines Regelkreises oder eines digitalen Reglers, der auf eine analoge, kontinuierliche Regelstrecke wirkt, zu unterscheiden.
Simulation von Regelkreis-Systemen (Offline-Prozess) Bearbeiten
Dynamische Systeme wie Regelkreise, Regelstrecken und Regler können aus verschiedenen Teilsystemen mit unterschiedlichem Zeitverhalten als Reihenschaltung, Parallelschaltung oder als zurückgeführte Kreisschaltung bestehen.
Für die Berechnung des Eingangs-Ausgangsverhaltens von Übertragungssystemen oder der Simulation von Regelkreisen bieten sich käufliche Rechenprogramme an. Mit den bekannten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssätze für die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfügung.
Alternativ können mit selbst erstellten beliebigen Rechenprogrammen für Differenzengleichungen mit der diskreten Zeit Δt (auch Abtastzeit TA) in Verbindung mit logischen Operationen sehr effizient lineare und nichtlineare System-Simulationen durchgeführt werden.
Lineare dynamische Systeme, wie auch die Komponenten des Regelkreises, werden im Zeitbereich mit Differenzialgleichungen und im s-Bildbereich anschaulich als Übertragungsfunktion beschrieben. Die elementaren dynamischen Teilsysteme der Übertragungsfunktion lassen sich aus den Zähler- und Nennerpolynomen der Übertragungsfunktionen mittels der Nullstellenbestimmung in Faktoren (Linearfaktoren) zerlegen. Damit entstehen die bekannten vier Elementarsysteme erster Ordnung, I-Glied, D-Glied, PT1-Glied und PD1-Glied des Bildbereichs, die im Zeitbereich durch Differenzialgleichungen beschrieben werden. Durch Austausch der Differentialquotienten durch Differenzenquotienten entstehen die Differenzengleichungen des zeitdiskreten Bereichs .
Mit der Anwendung von Differenzengleichungen ist eine mathematische Näherungsmethode in kleinen Zeitschritten gegeben, die eine erhebliche Vereinfachung für das Lösen von Differenzialgleichungen bedeutet.
Die Berechnung des Ausgangssignals eines dynamischen Systems oder eines Regelkreises für ein gegebenes Eingangssignal erfolgt in einem Digitalrechner (Personal Computer). Dazu werden die Elementarsysteme eines Gesamtsystems in Abhängigkeit von einem Eingangssignal mit Differenzengleichungen hintereinander berechnet, in der Weise, dass ein Ausgangssignal eines Elementarsystems das Eingangssignal des folgenden Elementarsystems ist. Sämtliche Ergebnisse der Teilsysteme bis zum Ausgangssystem werden als eine Berechnungszeile dargestellt.
Handelt es sich bei dem Gesamtsystem um die Simulation eines Regelkreises, so werden hintereinander in einer Zeile sämtliche Teilsysteme des Gesamtsystems durch Differenzengleichungen des Reglers und der Regelstrecke für je ein Folgeglied berechnet. Das Ausgangsfolgeglied entspricht einem Berechnungswert der Regelgröße . Alle berechneten Teilsysteme für je ein Folgeglied beziehen sich auf den gleichen Wert von k und auf den vorherigen Wert k-1. Das so berechnete Folgeglied der Regelgröße entspricht der Behandlung eines offenen Regelkreises. Der Regelkreis wird geschlossen mit der Beziehung der Regelabweichung , die am Anfang der Berechnungszeile steht.
Danach erfolgt mit der nächsten Berechnungszeile die gleiche Berechnung der Einzelsysteme des Gesamtsystems als nächstes Folgeglied mit der nächsthöheren Folgenummer von k. Jedes einzelne zu berechnende Folgeglied laut der verwendeten Differenzengleichungen innerhalb dieser Zeile bezieht sich wieder auf das vorhergehende Folgeglied k-1.
Damit ergeben sich insgesamt Zeilen und Folgeglieder:
Das Berechnungsergebnis ist eine im Rechner gespeicherte Tabelle, deren Spalten z. B. hintereinander die Rechenergebnisse der einzelnen Teilsysteme wiedergibt, die Zeilen entsprechen der Anzahl der Folgeglieder von bis und enthalten identische Gleichungen.
Die erste Zeile der Gleichungen der Regelabweichung sowie aller Teilsysteme des Reglers und der Regelstrecke wird einmal festgelegt und je nach gewünschter Auflösung der Regelgröße der Daten 100-1000-fach kopiert. Aus diesen Daten lässt sich automatisch eine Grafik für den Verlauf von y(t) oder jedes andere Teilergebnis generieren.
Das Ergebnis ist ein gespeichertes tabellarisches Protokoll sämtlicher Berechnungszeilen und Berechnungspunkte der Teilsysteme und der Systemausgangsgröße.
Enthält die Regelstrecke eine Totzeit , kann diese durch geeignete Programmbefehle – Rückwärtsverschiebung der Folgeglieder der Wertefolge um -Schritte – der Regelstrecken-Nachbildung berücksichtigt werden.
Dieser Rechenvorgang mit dem Ergebnis einer tabellarischen Aufstellung der Berechnungszeilen mit den Folgegliedern der Abtastfolge von bis ist nicht zeitabhängig, sondern je nach Rechengeschwindigkeit des Rechners steht das Gesamt-Rechenergebnis unmittelbar zur Verfügung. Die diskrete Zeit zwischen den Folgegliedern der Abtastfolge und ist als Parameter (Zahlenwert) in den Differenzengleichungen berücksichtigt und ist keine reale Zeit.
Eine zeitlich geschlossene Stufung (Rechteckverlauf) der Ausgangsgrößen ist nicht erforderlich. In einem Diagramm kann der Verlauf der Ausgangsgröße bei genügender Anzahl von Folgegliedern der Wertefolge (Berechnungspunkte) als geschlossene Linie für den Zeitraum dargestellt werden.
Wird ein Regelkreis mit diesem Verfahren behandelt, was voraussetzt, dass ein mathematisches Modell der Regelstrecke vorliegt, handelt es sich um eine Regelkreis-Simulation, die bestens für den Regler-Entwurf zur Auffindung der erforderlichen Reglerparameter geeignet ist.
Beliebige Rechenprogramme können verwendet werden. Es empfiehlt sich die Nutzung der Tabellenkalkulation, weil damit Programmierungsfehler ausgeschlossen sind und eine grafische Darstellung der Signalverläufe eingebunden ist.
Digitale Regler für analoge kontinuierliche Regelstrecken (Online Prozess) Bearbeiten
Enthalten Regelkreise Systeme, die ihre Signale nur zu diskreten Zeitpunkten übertragen, handelt es sich um zeitdiskrete Regelsysteme oder Abtastregelungen. Die Abtastung von Signalen kann meist kontinuierlich, aber auch zufällig oder nach einer Regel erfolgen.
Bei kontinuierlichen Systemen beschreiben Differenzialgleichungen das Systemverhalten, bei zeitdiskreten Systemen sind es die aus den Differenzialgleichungen abgeleiteten Differenzengleichungen, die eine zeitdiskrete Abtastung und Berechnung des System-Eingangssignals entsprechend der Systemdynamik zu einer Ausgangsgröße möglich machen.
Die fortlaufende Abtastung des Eingangssignals wird mit Abtastfolge bezeichnet. Jedes Folgeglied der Abtastfolge entspricht einem Wert, der in einem Mikrocomputer zu einem Stellgrößenwert innerhalb der Ausgangsfolge berechnet wird.
Digitale Regler wie auch analoge Regler benötigen ein Signal der Regelabweichung von der Führungsgröße minus der zurückgeführten Regelgröße. Die verwendeten Mikrocomputer (Mikrocontroller) erfordern zur Berechnung der meist analogen Signale geeignete Eingangs- und Ausgangsschnittstellen. Diese sind in der Regel Analog-Digital-Umsetzer (A/D-Wandler), die zu diskreten Zeitpunkten das Eingangssignal abtasten und digitalisieren. Das Ergebnis der Signalabtastung der Regelabweichung kann man auch als modulierte Delta-Impulsfolgen für bis unterschiedlicher Amplituden ansehen.
Die Ausgabe der nach einem Regelalgorithmus berechneten digitalen Signale erfolgt über einen Digital-Analog-Umsetzer (D/A-Wandler), dem ein Halteglied (Sample-and-Hold-Verfahren) nachgeschaltet ist. Durch die Haltestufe wird das Ausgangssignal bis zum nächsten Folgeglied der Ausgangsfolge gehalten, damit ein analoges gestuftes Regler-Ausgangssignal an eine Leistungs-Schnittstelle der Stelleinrichtung zur Regelstrecke weitergegeben werden kann. Die abgetastete Eingangsgröße der Eingangsfolge muss ebenfalls solange gehalten werden (schnelle Haltegliedfunktion), bis die Digitalisierung des Eingangssignals und die Übergabe in den Mikrocomputer abgeschlossen ist. Mit dieser Maßnahme kann das digitale Ausgangssignal als ein kontinuierliches, gestuftes, quasi-analoges Ausgangssignal gewandelt und über einen Leistungsteil als Stellgröße an die Regelstrecke überführt werden.
Durch den Abtaster und den A/D-Wandler ist eine Quantisierung des Eingangssignals zu einer Signal-Impulsfolge (Zeitquantisierung) und der Amplitude (Amplitudenquantisierung) verbunden. Der Microcomputer bearbeitet und berechnet die digitalisierten Signalfolgen der Eingangsgröße zu einer digitalen Ausgangs-Stellgrößen-Folge .
Die Aufgabe des Digitalreglers innerhalb eines Regelkreises besteht darin, das Eingangssignal der Regelabweichung nach jeder Abtastung mittels Differenzengleichungen und logischer Befehle als Regelalgorithmus so zu berechnen, dass das Ausgangssignal der Regelstrecke, die Regelgröße, sich nach einem gewünschten meist asymptotisch stabilen Verlauf der Führungsgröße annähert.
Die für die Festlegung des dynamischen Verhaltens des Reglers benötigten Differenzengleichungen als Funktion der diskreten Zeit und der Abtastfolge entstehen nach dem einfachsten Verfahren der Methode Euler-Rückwärts, indem die Differentialquotienten der System-Differenzialgleichung des Reglers durch Differenzenquotienten ersetzt werden.
Ein Digitalregler ist ständig im Einsatz und führt damit eine unbegrenzte Anzahl von berechneten Folgegliedern der Ausgangsfolge durch. Der Rechner muss für die Berechnung mit Differenzengleichungen (Methode Euler-Rückwärts) für die Berechnung der Folgeglieder der Ausgangsfolge – aus den Gliedern der Eingangsfolge – stets ein Folgeglied der Folge (aktueller Wert) und das Folgeglied der zurückliegende Folge (vorheriger Wert) zur Verfügung stellen.
Zur digitalen Verarbeitung wird der Zeitraum zwischen zwei Folgegliedern der Berechnungsfolgen anstelle der Parameters der diskretisierten Zeit meist mit der Abtastzeit (auch oder ) bezeichnet, die einer realen Zeit entspricht. Das mit der Abtastfrequenz abgetastete und digitalisierte Eingangssignal wird zur Folge mit den Differenzengleichungen der Ausgangssignale der Form als Regleralgorithmus berechnet.
Differenzengleichungen des Regelalgorithmus des Digitalreglers berechnen die abgetasteten Eingangssignale :
fortlaufend mit jeder Abtastung unbegrenzt. Der Mikrocomputer verarbeitet mit Hilfe eines Abtasters und A/D-Wandlers aus der analogen Regelabweichung Folgeglieder der Eingangsfolge, die zeitsynchron mit der Abtastzeit abgetastet und berechnet werden.
Die Berechnung der Eingangsfolge mit Differenzengleichungen ergibt die Ausgangsfolge:
Da die Regelstrecke meistens ein kontinuierliches analoges Verhalten hat, erfolgt am Mikrocomputer-Ausgang eine D/A-Wandlung der digitalen Ausgangsgröße mit nachgeschaltetem Halteglied der Dauer . Damit entsteht im Abstand aus den errechneten Folgegliedern als Stellgröße ein quasi stetiges, gestuftes, analoges Signal.
Jede Abtastung wie auch der Rechenvorgang selbst benötigt eine endliche Zeit, bis eine Steuerung oder Berechnung innerhalb der Abtastfolge durchgeführt werden kann. Damit ergibt sich durch dieses Zeitverhalten gegenüber dem Originalverlauf der Eingangsgröße eine nacheilende Zeitverschiebung, die sich als Totzeit bemerkbar macht. Ob diese Totzeit vernachlässigbar ist, hängt von der Größe der dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke ab.
Der Vorteil der zunehmend eingesetzten digitalen Regler gegenüber analogen Reglern ist:
- Einmaliger Entwicklungsaufwand der Hardware
- vielseitige Anpassung an beliebige komplexe Regelaufgaben per Software,
- Vorteil der komplexen Reglerstrukturen:
- Zustandsregler, adaptive Regler, Prädiktorregler, dead-beat-Regler, Multitasking mit einem Regler für verschiedene Regelstrecken,
- große statische Genauigkeit realisierbar, falls gefordert,
- Kosten-Nutzen-Vorteil insbesondere in Anlagen hoher Stückzahlen, die bei Parameter- oder Strukturänderungen keine Hardware-Änderungen erforderlich machen.
- Hochintegrierte Microcomputer für die Anwendung regelungstechnischer Aufgaben mit den Funktionen wie Abtastgliedern, A/D-Wandlern, D/A-Wandlern und Haltestufen sind bereits kommerziell verfügbar.
Nachteile der digitalen Regler:
- Quantisierungsfehler können auftreten,
- durch Abtastung und Rechenzeit verbundene Totzeit,
- Material- und Zeitaufwand bei kleiner Stückzahl.
Begriffsklärung der numerischen Berechnung Bearbeiten
Diskrete Zeit Bearbeiten
Es werden hier zur Kennzeichnung der physikalischen Unterschiede der Zeitdiskretisierung folgende Definitionen festgelegt:
- ist ein Parameter der diskreten Zeit, keine reale Zeit. wird z. B. bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet.
- (auch oder ) ist eine reale Zeit, mit der ein kontinuierliches Signal im Takt von abgetastet wird.
Die Zeitdiskretisierung eines dynamischen zeitinvarianten Übertragungssystems bedeutet der Übergang der Berechnung eines kontinuierlichen Systems mit unendlicher hoher Auflösung zu einem System mit einer endlichen Auflösung eines fortlaufenden konstanten Zeitintervalls . Die Folge beschreibt eine endliche Zahl der Folgeglieder für eine numerische Berechnung (Simulation) am Computer.
Das Zeitintervall muss genügend klein sein, damit dominante Systembewegungen auch erfasst werden können, bzw. der Approximationsfehler gegenüber dem Verlauf der analytischen Funktion gering ist. Das Intervall muss kleiner sein als der Parameter der kleinsten Systemzeitkonstante , anderenfalls ergeben sich Berechnungsfehler. sollte ein Hundertstel bis ein Tausendstel der dominanten Systemzeitkonstante betragen.
Regelalgorithmus digitaler Standardregler (Euler-Rückwärts) Bearbeiten
In der Offline- und Online-Anwendung für die Standardregler können die Differenzengleichungen der einfachsten Form nach dem Streckenzugverfahren „Euler-Rückwärts“ angewendet werden.
Dieses Verfahren hat den Vorteil, mit einfachen Differenzengleichungen zu operieren, hat aber den Nachteil bei der Online-Anwendung, dass mit kleiner werdender Abtastzeit und steigender geforderter Genauigkeit die Anzahl der rekursiven Berechnungen für einen festen Beobachtungszeitraum umgekehrt proportional größer wird. Unabhängig davon vergrößert sich mit der kleiner werdenden Abtastzeit das Verhältnis zur Ersatztotzeit (Digitalisierung, Rechenzeit, Halteglied) der Hardware-Schnittstellen. Ob damit ein Zeit- und Kostenproblem vorliegt, hängt davon ab, wie groß die dominante Streckenzeitkonstante, die Abtastzeit der Regelabweichung und die Reaktionszeit der verwendeten Hardware-Bauelemente des Reglers sind.
Numerische Stabilität Bearbeiten
Für die numerische Stabilität und der Berechnungsgenauigkeit der Simulation gelten zwei Bedingungen: Zur Vermeidung der numerischen Instabilität kann die Verstärkung nicht unbegrenzt hoch gewählt werden, wenn es auch theoretisch bei stetig wirkenden Regelkreisen bis zu zwei Verzögerungsgliedern möglich wäre. Bedingung: Bei sehr großer Kreisverstärkung einer Regelkreisnachbildung muss kleiner als sein. ist das Produkt aller Einzelverstärkungen, ist die dominante Systemzeitkonstante. ist die kleinste Systemzeitkonstante.
Genauigkeit der numerischen Simulation Bearbeiten
Die Genauigkeit der numerischen Berechnung eines dynamischen Systems gegenüber der analytischen Funktion bei Anwendung des Euler-Rückwärts-Verfahrens steigt linear mit dem kleiner werdenden Zeitintervall im Verhältnis zur dominanten Systemzeitkonstante .
Der Approximationsfehler im Vergleich zur analytische Funktion beträgt . Das Zeitintervall muss kleiner als die kleinste zu berechnende Systemzeitkonstante betragen. Anderenfalls treten zusätzliche Fehler auf. .
Differenzengleichungen linearer zeitinvarianter Ãœbertragungssysteme Bearbeiten
Grundlagen Systemverhalten Bearbeiten
Ein System ist eine Funktionseinheit mit mindestens einem Signaleingang und einem Signalausgang. Hat das System ein zeitliches Verhalten durch meist konzentrierte Energiespeicher, wird es als dynamisches System bezeichnet. Statische Systeme haben keine Energiespeicher und damit kein Zeitverhalten.
Dynamische Systeme werden durch verschiedene Formen von Differentialgleichungen beschrieben. Nicht alle Differentialgleichungen sind einfach analytisch lösbar.
Technische Systeme können sich zeitabhängig, zeitunabhängig, linear, nichtlinear, kontinuierlich und diskontinuierlich verhalten. Das gut angenäherte Eingangs- und Ausgangsverhalten dieser Systeme kann durch Differenzengleichungen numerisch relativ einfach mit Computern gelöst werden.
Handelt es sich um kontinuierliche dynamische Systeme, wird das Zeitverhalten mit Hilfe von Differenzengleichungen durch zeitdiskretes Verhalten ersetzt. Durch die Diskretisierung der Signale entstehen mittels punktueller Abtastung die Eingangs- und Ausgangswertefolgen im zeitlichen Abstand .
Differenzengleichungen beziehen sich allgemein auf die Differentialquotienten einer gewöhnlichen Differentialgleichung, die durch Differenzenquotienten ersetzt werden und damit entsteht eine numerisch lösbare Differenzengleichung in Annäherung an die Differentialgleichung.
Nichtlineare und lineare dynamische Systeme können mit geeigneten Differenzengleichungen kombiniert werden. Die Nichtlinearität wird durch logische Funktionen oder Tabellenwerte definiert.
Differenzengleichungen können sich auch auf statische, zeitunabhängige Systeme beziehen, in dem die Systemeingangsgröße diskretisiert und das Systemausgangsverhalten durch logische Funktionen berechnet wird.
Beispiele von linearen, nichtlinearen und zeitunabhängigen Systemen
Sprungantwort Lineares System 1. Ordnung, Pol = negativ real | Sprungantwort Lineares System 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen | Nichtlineares System (Schaltregler mit Hysterese und lineares System 1. Ordnung) | Zeitunabhängiges System (Dreipunktregler mit Hysterese und Totzone) |
---|---|---|---|
Lösung mit Differenzengleichung 1. Ordnung | Lösung mit Differenzengleichung 2. Ordnung | Berechnung mit log. Befehlen und Differenzengleichung 1. Ordnung | Berechnung mit log. Befehlen: WENN-DANN-SONST-Anweisung |
Grundlagen der Differenzengleichungen linearer zeitinvarianter Systeme Bearbeiten
Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren, zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln.
Differenzengleichungen entstehen meist aus einer systembeschreibenden gewöhnlichen Differenzialgleichung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden. Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen- und Differenzenbildung angenähert.
Differenzengleichungen berechnen in Abhängigkeit von einer Eingangswertefolge und dem dynamischen System die Ausgangswertefolge mit der Folge , die eine Nummerierung der Werte darstellt.
Zu unterscheiden ist die Anwendung einer Simulation eines zeitdiskreten dynamischen Systems in Abhängigkeit von einem Eingangssignal und die Anwendung eines realen Hardwaresystems, dessen Eingangssignal im zeitlichen Abstand abgetastet wird.
- Simulation: Für die Anwendung einer Simulation am Digitalrechner wird das Eingangssignal für den Zeitparameter diskretisiert und mit der Differenzengleichung des dynamischen Systems wird die Ausgangsfolge für berechnet. Diese rekursive Differenzengleichung bezieht sich immer auf zurückliegende Ausgangswertefolgen und wird beliebig oft – je nach geforderter Genauigkeit – neu berechnet. Das Ergebnis ist eine tabellarisch im Rechner gespeicherte Folge von Werten (Berechnungspunkte) im zeitlichen Abstand , welche auch grafisch als Funktion des diskreten Eingangssignals und des Systemübertragungsverhaltens dargestellt werden kann.
- Signalabtastung: Bei einem gegebenen Hardwaresystem wird das Eingangssignal im zeitlichen Abstand der Abtastzeit abgetastet, digitalisiert und als Eingangswertefolge in einen Mikrorechner geleitet. Meist handelt es sich bei diesem System um den Regelalgorithmus als Differenzengleichung. Die Ausgangsfolge wird analogisiert und in ein Halteglied z. B. nullter Ordnung geleitet. Damit entsteht ein gestuftes quasi stetiges Signal, das als Stellgröße von einer kontinuierlich wirkenden Regelstrecke verarbeitet werden kann.
Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus für ein kleines Zeitintervall die Signaländerungen am Ausgang eines Systems (vereinfachte Schreibweise ) nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Systems (z. B. Linearfaktoren im s-Bereich) und des Eingangssignals . Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall und Addition der Änderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis ergibt sich der Signalverlauf eines Systems über die Zeit .
Die Lösung des Systemverhaltens eines dynamischen Systems mit Differenzengleichungen entspricht immer der Gesamtlösung als Addition der homogenen und partikulären Lösung. Ohne Anfangswerte handelt es sich um die partikuläre Lösung. Sind Anfangswerte des Systems vorhanden, kann die Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung zur Lösung mit Differenzengleichungen des Systems herangezogen werden. In den Differenzengleichungen ohne Anfangswerte ist die Lösungsvorschrift bereits enthalten.
Differenzengleichungen können auch mit Hilfe der z-Transformation entstehen.
Linearfaktoren der Ãœbertragungsfunktion G(s) Bearbeiten
Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Übertragungsfunktion G(s) zugehörigen Differenzialgleichungen erster Ordnung, deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden.
Linearfaktoren entstehen durch Nullstellenzerlegung von Polynomen des Zählers und Nenners einer Übertragungsfunktion G(s) als gebrochen-rationale Funktion. Diese Beziehung ist von großer Bedeutung, weil insgesamt nur drei verschiedene Formen von Linearfaktoren erster und zweiter Ordnung auftreten und Systeme höherer Ordnung nur Kombinationen davon enthalten.
Mittels der Nullstellenbestimmung können die Polynome der Übertragungsfunktion in eine Produktform (Linearfaktoren) im Zähler und Nenner gebracht werden. Die Pole (Nullstellen des Nenners) oder Nullstellen (Nullstellen des Zählers) sind entweder Null, reell oder konjugiert komplex. Die Produktdarstellung im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion ist mathematisch identisch mit der Polynomdarstellung im Zähler und Nenner.
Für die Nullstellenbestimmung eines Polynoms bis 4. Ordnung sind im Internet fertige Programme unter dem Aufruf „Nullstellen (Lösungen) von Polynomen bestimmen“ zu finden. Für Systeme 2. Ordnung kann die „pq-Formel“: verwendet werden zur Berechnung von der konjugiert komplexen Nullstellen.
Linearfaktoren der Pol-Nullstellendarstellung
Beispiel der Zerlegung der Polynome der Ãœbertragungsfunktion durch die Pol-Nullstellungbestimmung in reelle Linearfaktoren:
Da die Linearfaktoren des Zählers und Nenners der Übertragungsfunktion identisch sind, werden die Nullstellen und Polstellen zur vereinfachten Darstellung mit bezeichnet. Negative Realteile der Pole und Nullstellen der Linearfaktoren bedeuteten stabile Elementarsysteme, positive Realteile bedeuten instabile Elementarsysteme.
- Bei Linearfaktoren 1. Ordnung sind die Nullstellen oder Pole reelle Zahlenwerte. Stabile Systeme enthalten negative Realteile.
- Linearfaktoren 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Nullstellen oder Polen werden zur einfacheren Berechenbarkeit zu quadratischem Termen zusammengefasst, in denen nur reelle Koeffizienten auftreten.
- Linearfaktoren werden meist in die Zeitkonstanten-Darstellung durch Reziprokbildung der Nullstellen und Pole umgerechnet.
In der linearen Regelungstechnik ist es eine willkommene Tatsache, dass praktisch alle vorkommenden regulären (phasenminimalen) Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge von Regelkreisgliedern auf folgende drei Grundformen (Linearfaktoren) geschrieben bzw. zurückgeführt werden können. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, je nachdem ob sie im Zähler (differenzierendes Verhalten) oder im Nenner (verzögernd, Integrierend) einer Übertragungsfunktion stehen.
In Abhängigkeit von den Zahlenwerten der Koeffizienten a und b der Polynom-Darstellung können die Produkte folgende drei Formen in der Zeitkonstanten-Darstellung annehmen:
Weitere Vertiefung zu Differentialgleichungen, Ãœbertragungsfunktionen, Entstehung der Linearfaktoren siehe Regelungstechnik#Grundlagen der Ãœbertragungsfunktion als Systembeschreibung
Entstehung der Differenzengleichungen Bearbeiten
Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das Differenzen-Verfahren als einfachstes numerisches Verfahren verwendet. Nach diesem Verfahren können aus den zugehörigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme G(s) erster Ordnung der Übertragungsfunktionen Differenzengleichungen gebildet werden, indem an Stelle des Differenzialquotienten mit der Differenzenquotient näherungsweise eingeführt wird.
In der Regel wird davon ausgegangen, dass die inneren Systemspeicher des Übertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei t = 0 für und alle Ableitungen von Null sind.
Die Ausgangsgröße eines berechneten zeitdiskreten Systems mit Hilfe von Differenzengleichungen wird in vereinfachter Schreibweise der Indizierung als benannt.
Bei der Offline-Anwendung – beispielsweise die Simulation eines Regelkreises mit als Eingangsfolge und als Ausgangsfolge – sind die Folgeglieder der Wertefolge auf eine bestimmte Anzahl begrenzt und beziehen sich auf den Zeitraum . Nach der Berechnung der Folgeglieder der Eingangsfolge mit Differenzengleichungen entsteht die Ausgangsfolge mit ihren Folgegliedern als Lösung in Annäherung an die zugehörige Differenzialgleichung.
Die Folgeglieder entstehen ohne Abtastung. Durch die rekursive Anwendung der Differenzengleichung bezieht sich jede Berechnung auf das zurückliegende Ergebnis . Die wiederholte Anwendung der gleichen Differenzengleichungen endet bei .
Bei der Online-Anwendung mit einem digitalen Regler wird die abgetastete Eingangsfolge mit Differenzengleichungen berechnet, dann entstehen die Folgeglieder der Ausgangsfolge des Reglers . Die Berechnung erfolgt mit digitalisierten Werten zeitsynchron im Takt von . Meist wird für die Regelstrecke ein kontinuierliches Stellsignal benötigt. Wertefolgen können mit Hilfe eines A/D-Wandlers und eines Haltegliedes zu einem gestuften quasi kontinuierlichen Signal gewandelt werden.
Der Nachteil des Differenzenverfahrens ist für schnelle Regelstrecken bei guter Approximation an die analytische Systemfunktion die hohe Zahl der Abtastfolgen, die in der Offline-Simulation eines dynamischen Systems mit einem Digitalrechner keine Rolle spielt, dafür aber im Online-Betrieb. Mit steigender Genauigkeit der Approximation an das Übertragungsverhalten des Systems muss die Periodendauer der Abtastung kleiner werden und die Rechenleistung steigt linear an.
Andere Methoden der numerischen Berechnung bedienen sich zur besseren Approximation z. B. an Stelle des Differenzenverfahrens des Trapezflächenverfahrens (Heun-Verfahren), des Mehrschrittverfahrens (Runge-Kutta-Verfahren) und anderer Verfahren. Grund der aufwendigeren Approximationsverfahren und damit der umfangreicheren Differenzengleichungen ist die erzielbare höhere Genauigkeit und damit Reduzierung der Rekursionsfolgen, was bei langsamen Mikrocomputern und dessen Schnittstellen bei Echtzeitberechnungen erforderlich sein kann.
Beispiel der Entstehung einer Differenzengleichung der Integration (I-Glied) aus der Differenzialgleichung:
Die Übertragungsfunktion des I-Gliedes lautet: Die zugehörige Differenzialgleichung lautet: Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten eingesetzt: Damit lautet die nach umgestellte Differenzengleichung des I-Gliedes nach dem Rückwärts-Differenzenquotient: In gleicher Weise können die Differenzengleichungen der Standardregler aus den zugehörigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden. |
Elementarsysteme | Ãœbertragungsfunktion | Differenzengleichungen |
---|---|---|
P-Glied | ||
I-Glied | ||
D-Glied | ||
PD1-Glied | ||
PT1-Glied |
(Mit K = Verstärkungsfaktor, = aktuelle zeitdiskrete Ausgangsgröße, = vorherige Ausgangsgröße, T = Zeitkonstante, = aktuelle zeitdiskrete Eingangsgröße)
Diese Differenzengleichungen von Elementarsystemen können beliebig multiplikativ, additiv oder zurückgekoppelt vermascht sein. Jede Gleichung eines Gesamtsystems wird hintereinander berechnet. Bei Reihenschaltungen von Teilsystemen ist die berechnete Ausgangsgröße die Eingangsgröße des folgenden Teilsystems. Bei Parallelschaltungen von Teilsystemen werden die Ergebnisse der Ausgangsgrößen additiv zusammengeführt.
Bestimmung der Differenzengleichungen aus der Regler-Ãœbertragungsfunktion G(s) Bearbeiten
Die Übertragungsfunktionen der Regler und die zugehörigen elementaren Differenzengleichungen können direkt zugeordnet werden. Die Übertragungsfunktionen eines Reglers können in der Reihen- und Paralleldarstellung definiert werden. Dies gilt auch für die zugehörigen Differenzengleichungen in Operatorendarstellung . Diese unterschiedlichen Gleichungen zur Berechnung der Regler-Ausgangsgröße für je im s-Bereich Y(s) und je im zeitdiskreten Bereich sind mathematisch identisch.
Gewählt wurde die Umsetzung der Übertragungsfunktion in Operatorendarstellung der Reihendarstellung des Regelalgorithmus der Elementarsysteme, weil die Reihendarstellung der PI- und PID-Regler je PD1-Glieder enthalten. Für den Reglerentwurf vereinfacht sich die Parameterbestimmung, weil die PD1-Glieder des Reglers die Verzögerungen von PT1-Gliedern der Regelstrecke bei gleichen Zeitkonstanten direkt kompensieren können und damit die Regelstrecke vereinfachen.
PI- und PID-Regler werden mit mehreren elementaren Differenzengleichungen im Zähler und Nenner beschrieben. Deshalb ist es nicht möglich, bei der Umsetzung vom s-Bereich in den zeitdiskreten Bereich die Differenzengleichungen mit einer Gleichung zu beschreiben. Diese Differenzengleichungen werden hintereinander berechnet. Es ist zu beachten, dass in der Reihendarstellung der Differenzengleichungen die Ausgangsgröße der ersten Differenzengleichung die Eingangsgröße der nächsten Differenzengleichung ist.
Definiert man im s-Bereich einen PID-Regler mit den Parametern und der Paralleldarstellung, erhält man eine Summengleichung der Übertragungsfunktion. Wird diese Gleichung in einen gemeinsamen Zähler (s) und Nenner (s) umgeformt, entsteht die Polynomdarstellung der Übertragungsfunktion. Mit der Nullstellenbestimmung im Zähler und Nenner kann diese Gleichung in die Produktdarstellung überführt werden und erkennbar wird eine Übertragungsfunktion mit zwei PD1-Gliedern und einem I-Glied. Bedeutsam dabei ist, dass die Parameter und verschwunden sind und die Zeitkonstanten der beiden PD-Glieder durch andere z. B. und bestimmt werden.
Für die Praxis der PID-Reglerauslegung eignet sich besser die Übertragungsfunktion des PI-Reglers der Reihendarstellung, dem multiplikativ ein weiteres PD-Glied mit der Zeitkonstante zugeordnet wird. Damit werden komplizierte Umrechnungen der Parameter vermieden.
Die den Komponenten der Übertragungsfunktion G(s) zugehörigen Differenzengleichungen werden in der nachfolgenden Tabelle dargestellt.
Die bisherigen Signalbezeichnungen mit der Eingangsgröße und der Ausgangsgröße entsprechen den gebräuchlichen Bezeichnungen der Systemtheorie. Für den Regler gilt das Eingangssignal bei Differenzengleichungen und das Ausgangssignale . Die Reglerausgangsgröße nach der D/A-Schnittstelle lautet für das gestufte quasikontinuierliche Signal .
Die Verstärkungsfaktoren der Reglerkomponenten der Differenzengleichungen werden bei einem I-Glied wie folgt berücksichtigt:
Anmerkung: Der Quotient entspricht bereits einem Verstärkungsfaktor.
Der Verstärkungsfaktor der Reglerkomponenten der Differenzengleichungen wird bei einem PD-Glied wie folgt berücksichtigt:
Differenzengleichungen der Standardregler Bearbeiten
Tabelle der Differenzengleichungen der Standardregler (Rückwärts-Differenzenquotient)
Weitere Vertiefung zu Differenzengleichung siehe Artikel Differenzengleichung (Differenzenverfahren)
Differenzengleichungen als Funktion der Ober- und Untersumme Bearbeiten
In der numerischen Mathematik bedeuten die Flächen der Rechteckapproximation an eine gegebene analytische Funktion dann als Obersumme, wenn die Oberkante der Rechtecke oberhalb der analytischen Funktion anstößt. Umgekehrt handelt es sich um die Untersumme, wenn die Oberkante der Rechtecke unterhalb der analytischen Funktion anstößt. Für die numerische Berechnung interessiert nicht die Fläche der Rechtecke, sondern die Lage des Verlaufs der Oberkante der Rechtapproximation.
Die mit Differenzengleichungen berechneten Folgeglieder der Ausgangsfolge lassen sich als Funktion der Obersumme und Untersumme definieren. Die Ergebnisse von Differenzengleichungen sind Folgeglieder der Wertefolge im zeitlichen Abstand und damit Berechnungspunkte einer Funktion, bedeuten aber keinen geschlossenen Funktionsverlauf. Erst bei einem Digitalregler, bei dem je ein Folgeglied der Ausgangsfolge über einen A/D-Wandler in ein Halteglied nullter Ordnung für den Zeitraum einfließt, wobei das Halteglied mit jedem Schritt gelöscht wird, entsteht ein geschlossener Funktionsverlauf.
Der Funktionsunterschied der Obersumme zur Untersumme bedeutet beispielsweise, dass ein Eingangssignal als einzelner -Impuls zum Zeitpunkt und Folge in einem zeitdiskreten dynamischen System für den Zeitraum – also zwischen und – wirksam wird. Differenzengleichungen nach der Untersumme können diesen -Impuls nicht erfassen.
Die Wertefolge der mit Differenzengleichungen berechneten Ausgangsfolge der Funktion der Untersumme unterscheiden sich von denen der Obersumme, dass die Wertefolge der Untersumme um einen Folgeschritt verzögert ist.
Grundlagen der digitalen Regler mit Hilfe der z-Transformation (Online Prozess) Bearbeiten
Die Schnittstellen des Digitalreglers einschließlich der Abtastung mit der Haltestufe sind identisch mit dem oben aufgeführten Verfahren.
Die z-Transformation ist aus der Laplace-Transformation entstanden, um für die digitale Systemberechnung Abtastfolgen zu transformieren und damit berechenbar zu machen. Die z-Transformation ist eine Transformation von Abtastfolgen, die ähnliche Eigenschaften aufweist wie die Laplace-Transformation zur Behandlung von Differenzialgleichungen. Mit den Methoden der z-Transformation lassen sich Differenzengleichungen von abgetasteten Signalfolgen ermitteln.
Der digitale Regler wirkt in Verbindung mit den Schnittstellen zu einer meist kontinuierlich wirkenden (analogen) Regelstrecke als Computerprogramm, das die Stellgröße fortlaufend im Abstand der Abtastzeit TA die Stellgröße für die Regelstrecke berechnet. Der Regleralgorithmus ist mit der Abtastfolge und Reglerfunktion als z-Übertragungsfunktion festgelegt.
Es handelt sich bei der Gewinnung des Regelalgorithmus mit Hilfe der z-Übertragungsfunktionen um ein völlig anderes Berechnungsverfahren, als das der Rechteck-Approximation nach Euler-Rückwärts zur Erstellung von Differenzengleichungen. In der z-Übertragungsfunktion wird das diskrete abtastspezifische Zeitverhalten einer Abtastfolge wie Haltefunktionen, D/A-Wandlung, A/D-Wandlung und Rechenzeit mit dem gewünschten Regelalgorithmus zusammengefasst. Die inverse z-Transformation der z-Übertragungsfunktion ergibt die benötigte Differenzengleichung .
Entsprechend den Eigenschaften der z-Transformation ergeben sich folgende Operationen:
- Spezielle Rechenoperationen:
- Überführung des dynamischen Systems als z-Übertragungsfunktion,
- Eigenschaften des z-Bildbereichs ähnlich der Laplace-Transformation:
Die prinzipielle Anwendung der z-Transformation für den Regelalgorithmus lautet wie folgt:
- Die Abtastfolgen mit Haltestufe des Eingangssignals werden transformiert als z-Ãœbertragungsfunktion ,
- Die Differenzengleichung des gewünschten Reglerverhaltens wird transformiert als z-Übertragungsfunktion ,
- Die z-transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend den z-Rechenregeln zusammengefasst,
- Mit der inversen z-Transformation des z-Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers.
Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lässt sich mit der z-Transformation erleichtern, setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus, dass zum Teil auf ähnliche Regeln wie bei der Laplace-Transformation aufgebaut ist.
Strategie der Reglerparametrierung Bearbeiten
Tabelle der Entwurfsstrategie von Regelkreisen bei Anwendung der Standardregler
Funktion | Ausführung |
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Identifikation der Regelstrecke Siehe Artikel Regelstrecke |
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Pol-Nullstellen-Kompensation |
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P- und PD-Regler |
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Regler ohne statische Regelabweichung: |
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Regelstrecken mit Totzeit | Regelstrecken mit nennenswertem Anteil der Totzeit erfordern einen PI-Regler oder im Extremfall einen I-Regler. |
Einstellung der P-Verstärkung | Die P-Verstärkung des Regelkreises mit dem Faktor K kann durch Simulation mit dem gewählten Regler und dem zu erfassendem Modell der Regelstrecke in einem Personal-Computer gemäß den gewünschten Kenngrößen der Übergangsfunktion (Sprungantwort) der Regelgröße eines gedämpft schwingenden Systems bestimmt werden. |
Digitale Regler bei schnellen Regelstrecken: | Bei der Simulation eines Regelkreises mit digitalen Reglern ist das Totzeitverhalten der Schnittstellen des Mikrocomputers zu berücksichtigen, das der Regelstrecke zugeordnet werden kann. |
Tabellarische Gegenüberstellung der Verfahren der numerischen Berechnung im Offline- und Online-Prozess Bearbeiten
Mit diesen Angaben zeigt sich ein wesentlicher Unterschied zwischen dem Offline-Prozess und dem Online-Prozess. Die Offline-Berechnung eines dynamischen Systems beziehungsweise eines aus Regler und Regelstrecke bestehenden Regelkreises hat kein Zeitverhalten, sie könnte auch mit einem Taschenrechner ohne Beeinträchtigung der Genauigkeit durchgeführt werden. Für die Offline-Berechnung (Simulation) eines realen Regelkreises mit einem Digitalregler muss das Zeitverhalten der Schnittstellen des Digitalreglers als Totzeit berücksichtigt werden.
Die Online-Berechnung des Digitalreglers hat innerhalb jeder Abtastfolge Totzeiten, die sich durch die erforderlichen Schnittstellen der Signalwandlung im Eingang und Ausgang, im Halteglied sowie durch die Rechenzeit der Berechnung der Differenzengleichungen ergeben. Soweit es sich um die Regelung schneller Regelstrecken (z. B. Dominante Zeitkonstante = 1 s der Regelstrecke) handelt, sind schnelle Komponenten der Wandler und des Mikrocomputers erforderlich, um die Ersatztotzeit im Verhältnis zur dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke und zur Abtastzeit klein zu halten.
Numerische Berechnung dynamischer Systeme (Offline-Prozess) (Differenzengleichungen nach dem Euler-Rückwärtsverfahren) | Regelung mit Digitalreglern (Online-Prozess) (Differenzengleichungen nach dem Euler-Rückwärtsverfahren) |
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Dynamisches System: Steuerstrecke oder Regelkreis. Gemischte lineare und nichtlineare Systeme lassen sich simulieren. | Dynamisches System: Digitalregler wirkt auf eine analoge Regelstrecke. Digitale Regler für beliebige Anwendungen sind möglich. |
System-Eingangsgröße: Bei dynamischen Systemen als Testsignal u(k), Bei Regelkreisen die Führungsgröße als Testsignal w(k). | System-Eingangsgröße: Bei Vorgabe der analogen Regelabweichung e(t) = w(t) – y(t), e(t) wird als Eingangsfolge abgetastet und digitalisiert als e(k). |
System-Ausgangsfolge: y(k) Die Ausgangsfolge sind Zahlenwerte der Folge k. = vereinfachte Schreibweise für | Reglerausgangsfolge: u(k) u(k) sind Zahlenwerte der Folge k. u(k) wird nach der D/A-Wandlung eine gestufte analoge Größe u(t) (Spannung). |
Abtastfolge k bedeutet Nummerierung der Folgeglieder: im Abstand . | Abtastfolge k bedeutet Nummerierung der Folgeglieder: im zeitlichen Abstand TA. |
Diskrete Zeit : ist ein Parameter der Zeit, keine reale Zeit | Abtastzeit : ist eine reale Zeit. |
Größe der diskreten Zeit : Z. B. der dominanten Systemzeitkonstante. | Größe der Abtastfolge TA: Z. B. der dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke. |
Differenzengleichungen: z. B. Methode Euler-Rückwärts , vorhergehende Rechenfolge: , Benötigt werden Differenzengl. der Teilsysteme von Regler und Strecke. | Differenzengleichungen: z. B. Methode Euler-Rückwärts , vorhergehende Rechenfolge: , Benötigt werden die Differenzengleichungen der Teilsysteme des Digitalreglers. |
Berechnungsvorgang: tabellarisch Den Übertragungsfunktionen 1. Ordn. sind Differenzengleichungen zugeordnet. Jede Zeile berechnet die Differenzengleichungen aller Teilsysteme. Es existieren kmax +1 Glieder = Zeilen = Ausgangsfolge. Nur 2 wechselnde aktuelle Glieder der Ausgangsfolge sind relevant: und Sämtliche Zeilen werden als Protokoll gespeichert. | Berechnungsvorgang: kontinuierlich Die Abtastfolge startet im zeitlichen Abstand TA die Berechnung der Teilsysteme des Digitalreglers mit den zugehörigen Differenzengleichungen. Nur 2 wechselnde aktuelle Glieder der Ausgangsfolge sind relevant: und . Jedes Glied der Ausgangsfolge wird zu einer quasi analogen Stellgröße f(t) verarbeitet. |
Schnittstellen: keine Eingangssignal oder für alle Folgen bis , Ausgangssignal für alle Folgen bis . | Schnittstellen: für analoge Regelabweichung , Im Eingang: AD-Wandler (kurze Halteglied-Funktion) für Berechnungsdauer, Im Ausgang: DA-Wandler mit Halteglied für gestufte analoge Stellgröße . |
Totzeit der numerischen Berechnung: keine durch das Verfahren bedingt, (Gilt für Euler-Rückwärts-Verfahren der Obersumme) Das Totzeitverhalten der Regelstrecke kann nachgebi wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele Veröffentlichungsdatum: In der Serienfertigung von Regeleinrichtungen werden anstelle der analogen Regler zunehmend digitale Regler eingesetzt weil sie verschiedene technische Vorteile aufweisen Dazu gehoren einmaliger Hardware Entwicklungsaufwand einfache parametrische System Anderungen per Software Realisierung komplexere Reglerstrukturen Multitasking Bei den meisten Regeleinrichtungen handelt es sich bei den Regelstrecken um kontinuierlich wirkende analoge Eingrossensysteme die sich linear nichtlinear und totzeitbehaftet verhalten konnen Fur diese Regelstrecken sollen bestimmte physikalische Grossen wie Temperatur Kraft Druck Geschwindigkeit Niveau usw geregelt werden Die dafur erforderlichen Regler konnen eine analoge oder digitale Systemstruktur aufweisen Bei der digitalen Regelung erfolgt im einfachsten Falle eine zeitliche Abtastung und Digitalisierung der Regeldifferenz Im gleichen Abtast Intervall berechnet ein Mikrocomputer z B mit Hilfe von Differenzengleichungen den notwendigen Regel Algorithmus Die digitale Ausgangsgrosse des Reglers die Stellgrosse wird fur die meist analog wirkenden Regelstrecken durch Wandler und Speicher analogisiert Andere Begriffe der digitalen Regelung bezeichnen diesen Vorgang als zeitdiskrete Regelung oder auch als Abtastregelung Analoge wie digitale Regler benotigen als Eingangssignal die Regelabweichung und einen Regleralgorithmus der die gewunschte Dynamik des geschlossenen Regelkreises bestimmt Digitale Regler werden durch Mikrocomputer realisiert Der Computer benotigt fur die digitale Signalverarbeitung Ein und Ausgangsschnittstellen um das kontinuierliche Eingangssignal zyklisch abzutasten und digital mit speziellen Programmiersprachen berechnen zu konnen Der Mikrocomputer verarbeitet die abgetasteten Signalwerte als Eingangsfolgen mit Hilfe von Differenzengleichungen zu Ausgangsfolgen Die so schrittweise errechneten Stellgrossen Anteile jeder Komponente der Ausgangsfolge werden uber einen D A Wandler und ein Speicher Halteglied wieder als feingestuftes quasi kontinuierliches Signal an die kontinuierlich wirkende Regelstrecke geliefert Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der numerischen Berechnung und Regelung 1 1 Verhalten der analogen Regler 1 2 Verhalten der digitalen Regler 2 Wertefolge durch Abtastung von Signalen 2 1 Abtasttheorem 3 Regelung im Offline und Onlineprozess 3 1 Simulation von Regelkreis Systemen Offline Prozess 3 2 Digitale Regler fur analoge kontinuierliche Regelstrecken Online Prozess 3 3 Begriffsklarung der numerischen Berechnung 3 3 1 Diskrete Zeit 3 3 2 Regelalgorithmus digitaler Standardregler Euler Ruckwarts 3 3 3 Numerische Stabilitat 3 3 4 Genauigkeit der numerischen Simulation 4 Differenzengleichungen linearer zeitinvarianter Ubertragungssysteme 4 1 Grundlagen Systemverhalten 4 2 Grundlagen der Differenzengleichungen linearer zeitinvarianter Systeme 4 3 Linearfaktoren der Ubertragungsfunktion G s 4 4 Entstehung der Differenzengleichungen 4 5 Bestimmung der Differenzengleichungen aus der Regler Ubertragungsfunktion G s 4 6 Differenzengleichungen der Standardregler 4 7 Differenzengleichungen als Funktion der Ober und Untersumme 4 8 Grundlagen der digitalen Regler mit Hilfe der z Transformation Online Prozess 4 9 Strategie der Reglerparametrierung 4 10 Tabellarische Gegenuberstellung der Verfahren der numerischen Berechnung im Offline und Online Prozess 5 Siehe auch 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseGrundlagen der numerischen Berechnung und Regelung BearbeitenVerhalten der analogen Regler Bearbeiten Das Systemverhalten von kontinuierlich wirkenden linearen dynamischen Ubertragungssystemen wird von gewohnlichen Differenzialgleichungen mit konstanten Koeffizienten beschrieben Mittels der Laplace Transformation konnen die Terme der Differentialgleichung in den komplexen Bildbereich s Bereich als Ubertragungsfunktion mit dem Verhaltnis des Ausgangssignals zum Eingangssignal als gebrochen rationale Gleichung uberfuhrt werden G s Y s U s Zahlerpolynom s Nennerpolynom s displaystyle G s frac Y s U s frac text Zahlerpolynom s text Nennerpolynom s nbsp Mit der Nullstellenbestimmung lassen sich die Polynome der Ubertragungsfunktion in die Produktdarstellung mit einzelnen Elementarsystemen erster Ordnung Linearfaktoren zerlegen Diese Form im s Bereich erlaubt mit der Rucktransformation in den Zeitbereich die Losung der Differentialgleichung und daruber hinaus Aussagen des Systemverhaltens der Systemstabilitat der Systemanalyse und der Systemsynthese Analoge Standardregler verarbeiten kontinuierliche Signale und bestehen in der Regel aus Operationsverstarkern mit RC Spannungsteilern die ein ruckwirkungsfreies Impedanzverhaltnis bilden Das zugehorige Systemverhalten im komplexen Frequenzbereich s d j w displaystyle s delta j omega nbsp kann unmittelbar als Verhaltnis der Impedanzen als Ubertragungsfunktion G s oder G jw geschrieben werden Bei analogen Reglern stellen die Hardware Komponenten z B Operationsverstarker mit RC Beschaltung die Losung der Differenzialgleichung des Regelalgorithmus dar Hauptartikel Regler Verhalten der digitalen Regler Bearbeiten Zeitdiskrete lineare dynamische Systeme sind dadurch gekennzeichnet dass die inneren Systemzustande nur zu einzelnen Zeitpunkten definiert sind und an den Ein und Ausgangen zeitdiskrete Signale auftreten Sie spielen im Rahmen der Informationstechnik und digitalen Signalverarbeitung eine bedeutende Rolle und werden in Form von Zahlenfolgen beschrieben Digitale Ein Ausgangssignale der HardwareDer Rechenalgorithmus eines Digitalrechners erlaubt keine kontinuierliche Berechnung von analogen zeitabhangigen Signalen Deshalb werden zu bestimmten Zeitpunkten die analogen Eingangssignale z B die Regelabweichung e t w t y t displaystyle e t w t y t nbsp mit Hilfe eines idealen d displaystyle delta nbsp Abtasters und einem A D Wandlers als e k displaystyle e k nbsp abgetastet Die Abtastung des kontinuierlichen Signals der Regelabweichung e t w t y t displaystyle e t w t y t nbsp mit der Abtastfrequenz f A 1 T A displaystyle f A 1 T A nbsp erfordert neben dem A D Wandler eine funktionell kleine Haltefunktion Sample and Hold Verfahren welche dafur sorgen muss dass der Mikrocomputer den digitalisierten Wert auch sicher erfassen kann Das gewunschte System Ubertragungsverhalten des digitalen Reglers wird fur die gegebene Eingangsfolge mit Differenzengleichungen berechnet und taktsynchron als Ausgangssignal u k displaystyle u k nbsp mit Zahlenwerten ausgegeben Ist ein analoges Ausgangssignal erforderlich erlaubt eine spezielle Hardware mit einem D A Wandler mit einer Haltefunktion Halteglied die Umwandlung in ein gestuftes quasi stetiges Ausgangssignal u t als Stellgrosse des Reglers Mikrocomputer als digitaler ReglerBei zeitdiskreten Systemen besteht das Eingangssignal eines dynamischen Systems im Takt der Abtastung aus nummerierten Folgegliedern k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots infty nbsp der Eingangsfolge Wertefolge und das Ausgangssignal aus Folgegliedern der Ausgangsfolge Wertefolge Beim Digitalregler wird diese Folge von Werten der Eingangsfolge mit Differenzengleichungen berechnet zu Folgegliedern der Ausgangsfolge Die Differenzengleichungen des Digitalreglers bestimmen mit dem Regelalgorithmus und der Stellgrosse u k displaystyle u k nbsp in Form von Berechnungspunkten der Ausgangsfolge uber die Regelstrecke das dynamische Verhalten des gesamten Regelkreises Mit der Regelgrosse y k displaystyle y k nbsp wird im zeitlichen Abstand der Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp eine Annaherung an die gewunschte analytische Funktion f t displaystyle f t nbsp des Regelkreisverhaltens erreicht Da technische Regelstrecken haufig analoge Eingange aufweisen muss die Ausgangsfolge des Mikrocomputers uber eine geeignete Hardware zu einem quasi analogen Signal umgeformt werden Die Anzahl der Folgeglieder der Abtastung ist nicht begrenzt Es werden bei einer Regelung unendlich viele Folgeglieder k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots infty nbsp im realen zeitlichen Abstand der Abtastzeit T A D t displaystyle T A Delta t nbsp ausgefuhrt Benotigt und gespeichert werden aber nur eine aktuelle Programmzeile mit Differenzengleichungen fur die Berechnung von Wertefolgen des Stellgliedes u k displaystyle u k nbsp und eine zuruckliegende Programmzeile mit den Differenzengleichungen fur die Berechnung der Wertefolgen u k 1 displaystyle u k 1 nbsp sofern es sich um Differenzengleichungen 1 Ordnung handelt Gespeichert werden also vorubergehend nur die aktuellen Werte der berechneten Differenzengleichungen und die Werte einer zuruckliegenden Berechnung der Differenzengleichungen Weitere zuruckliegende Programmzeilen mit Wertefolgen werden nicht benotigt und geloscht Zum Vergleich Bei der Simulation eines Regelkreises mit einem Personalcomputer werden im Abstand D t displaystyle Delta t nbsp samtliche Ergebnisse der Differenzengleichungen mit den nummerierten Programmzeilen k 0 1 2 3 k m a x displaystyle k 0 1 2 3 dots k mathrm max nbsp als Tabelle mit k m a x displaystyle k mathrm max nbsp Zeilen abgespeichert Mit der Simulation wird die Funktion und Sicherheit eines Regelkreises uberpruft weil bei falscher Parametrierung mit Instabilitat des Regelkreises die Regelstrecke Schaden annehmen kann DifferenzengleichungenFur die Aufstellung der meisten Differenzengleichungen werden verschiedene Verfahren eingesetzt wie das einfache Euler Streckenzugverfahren oder die besseren und aufwendigeren Mehrschrittverfahren Die komplizierteren Mehrschrittverfahren benotigen vorteilhaft fur ein gleiches genaues Berechnungsergebnis eine wesentlich geringere Anzahl von Folgegleichungen Eine Differenzengleichung ist eine numerisch losbare Berechnungsvorschrift fur eine diskret definierte Folge k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots nbsp von Folgegleichungen welche Variablen y k displaystyle y k nbsp zu fortlaufenden nummerierten Ereignissen bzw nummerierten Zeitpunkten im Abstand eines Intervalls D x displaystyle Delta x nbsp berechnen Die rekursive Losung einer Differenzengleichung erster Ordnung erfolgt von einer Anfangsbedingung durch nummerierte Folgegleichungen welche sich je auf das Ergebnis einer zuruckliegenden Folgegleichung bezieht Bei Differenzengleichungen hoherer Ordnung bezieht sich jede aktuelle Folgegleichung entsprechend der Ordnungszahl auf mehrere der zuruckliegenden Folgegleichungen Die Allgemeine Form einer rekursiven Differenzengleichung Euler Ruckwarts fur ein dynamisches System 1 Ordnung lautet y k y k 1 f u k D t System displaystyle y k y k 1 f u k Delta t text System nbsp dd Dabei ist y k displaystyle y k nbsp ein Wert der Ausgangsgrosse y k 1 displaystyle y k 1 nbsp die vorherige Ausgangsgrosse u k displaystyle u k nbsp die Eingangsgrosse D t displaystyle Delta t nbsp ein Zeitintervall System entspricht der Form einer modifizierten Differentialgleichung eines Linearfaktors mit einem Differenzenquotient dd Bei den haufig vorkommenden Differenzengleichungen 1 Ordnung wird nur eine Programmzeile fur die Berechnung der aktuellen Ausgangsgrosse y k displaystyle y k nbsp und die Programmzeile y k 1 displaystyle y k 1 nbsp der vorherigen Berechnung gespeichert Jede Ausgangsgrosse bezieht sich rekursiv auf die vorhergehende Ausgangsgrosse als Eingangsgrosse Innerhalb einer Reihe von Differenzengleichungen einer Programmzeile ist die Ausgangsgrosse einer Differenzengleichung die Eingangsgrosse der nachsten Differenzengleichung der gleichen Programmzeile Identifikation der RegelstreckeUber eine Identifizierung des zeitlichen Verhaltens der Regelstrecke werden Ubertragungsglieder G s displaystyle G s nbsp vorzugsweise als Linearfaktoren in Zeitkonstantendarstellung analysiert Mittels eines Personal Computers wird mit einer Simulation das Verhalten des Reglers und das der Strecke durch Berechnung von Differenzengleichungen bestimmt displaystyle to nbsp Weitere Vertiefung zur Systemidentifikation siehe Artikel Regelstrecke Experimentelle Systemidentifikation von Regelstrecken nach der Sprungantwort Simulation des RegelkreisesOb es sich bei der numerischen Berechnung eines dynamischen Systems um einen digitalen Regler oder um eine Regelkreis Simulation am Personalcomputer mit vielen Differenzengleichungen von Teilsystemen handelt besteht der Unterschied nur darin dass das Eingangssignal e t des digitalen Reglers mit Hardware Komponenten zu einer Eingangsfolge e k displaystyle e k nbsp mit der Abtastperiode T A displaystyle T A nbsp abgetastet werden muss Bei der Simulation einer Regeleinrichtung wird in einem Personalcomputer jedes einzelne dynamische System mit Differenzengleichung rekursiv berechnet Fur jedes gegebene Eingangssignal wird mittels Differenzengleichungen einer Programmzeile ein aktuelles Ausgangssignal y k displaystyle y k nbsp berechnet und bezieht sich dabei auf einen zuruckliegenden Wert der Programmzeile y k 1 displaystyle y k 1 nbsp Samtliche dynamischen Teilsysteme einer Programmzeile bestimmen rekursiv im Abstand eines Zeitintervalls D t displaystyle Delta t nbsp einen Berechnungspunkt der Stellgrosse u k displaystyle u k nbsp Jedes dynamische Teilsystem ist innerhalb einer Programmzeile durch eine Differenzengleichung beschrieben Die Programmzeilen entsprechen endlichen nummerierten Folgen k 0 1 2 3 k m a x displaystyle k 0 1 2 3 dots k mathrm max nbsp die fur einen Betrachtungszeitraum k m a x D t displaystyle k mathrm max cdot Delta t nbsp eine Annaherung an das zeitverhalten f t displaystyle f t nbsp der Originalfunktion des Regelkreises darstellt Samtliche Ergebnisse aller Differenzengleichungen des Reglers der Regelstrecke der Regelgrosse und der Regelabweichung werden fur k m a x displaystyle k mathrm max nbsp Zeilen als Tabelle gespeichert Parametrierung des digitalen ReglersDie Simulation eines Regelkreises und das Arbeiten eines Digitalreglers in Verbindung mit einer Regelstrecke sind in Bezug auf die Verwendung von Differenzengleichungen ahnlich Eine Programmzeile beinhaltet je nach gewunschtem Regelalgorithmus mehrere Differenzengleichungen vorteilhaft in Produktdarstellung weil differenziell wirkende Ubertragungsglieder des Reglers die verzogernd wirkenden Ubertragungsglieder der Regelstrecke kompensieren konnen Damit wird die Parametrierung des Digitalreglers sehr vereinfacht indem die Zeitkonstanten der differenzierenden Komponenten des Reglers denen der Verzogerungsglieder der Regelstrecke gleichgesetzt werden Wertefolge durch Abtastung von Signalen BearbeitenIn der Mathematik wird eine Auflistung von endlich und unendlich vielen fortlaufend nummerierten Objekten als Folge bezeichnet Dasselbe Objekt kann in einer Folge auch mehrfach auftreten Die Abtastfolge k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots nbsp bedeutet eine Nummerierung der Folgeglieder der Wertefolge des Eingangssignals Eingangsfolge und des Ausgangssignals Ausgangsfolge eines Systems Eine Wertefolge besteht aus k m a x displaystyle k mathrm max nbsp oder k displaystyle k infty nbsp vielen Folgegliedern Das Objekt mit der Nummer i wird i tes Folgeglied oder i te Komponente der Folge genannt nbsp Abtastung eines zeitabhangigen Signals Eingangsfolge u k displaystyle u k nbsp normierter Sprung System PT1 Glied Ausgangsfolge y k displaystyle y k nbsp Die Signalabtastung kontinuierlicher Signale f t erfordert Hardware Komponenten wie idealisierte Abtaster d displaystyle delta nbsp Abtaster und A D Wandler deren digitalisierte Signale e k displaystyle e k nbsp als Folgeglieder der Wertefolge im Mikrocomputer zu Stellgrossensignalen verarbeitet werden Die Periodendauer einer kontinuierlichen Abtastfolge eines analogen oder digitalisierten Eingangssignals wird meist mit T A displaystyle T A nbsp auch T 0 displaystyle T 0 nbsp und T displaystyle T nbsp bezeichnet Diese Funktion unterscheidet sich von der diskreten Zeit einer Simulation eines dynamischen Systems am Computer dadurch dass die Periodendauer der Abtastung zu einer Wertefolge eine reale Zeit ist und kontinuierlich zyklisch ohne eine begrenzte Anzahl von Folgegliedern wirkt Die Werte des zeitdiskreten Parameters D t displaystyle Delta t nbsp und der Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp konnen identisch sein Eine Wertefolge mit k m a x displaystyle k mathrm max nbsp Folgegliedern konnen in einem digitalen Rechner gespeichert und aufgelistet werden Dies ist bei unendlich vielen Folgegliedern der Wertefolge wie sie bei Einsatz von digitalen Reglern auftreten nicht moglich und auch nicht erforderlich Im Online Betrieb eines Digitalreglers ist die Anzahl k displaystyle k nbsp der Folgeglieder der Ein und Ausgangsfolge unbegrenzt Beispiel einer Regeldifferenz Folge mit der Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp Abtastung der Regeldifferenz e t zu einer Wertefolge e k displaystyle e k nbsp des Regler Eingangs e t w t y t e k T A e k e 0 e T A e 2 T A e 3 T A displaystyle e t w t y t longrightarrow e k cdot T A e k e 0 e T A e 2T A e 3T A dots nbsp dd Bei der Berechnung der Folgeglieder der Eingangsfolge mit Differenzengleichungen fur den Berechnungsalgorithmus der Methode Euler Ruckwarts werden nur zwei aktuelle Folgeglieder der Ausgangswertefolge u k displaystyle u k nbsp mit folgenden Indizierungen benotigt Aktueller Wert des Folgegliedes der Ausgangsfolge u k i displaystyle u k i nbsp Vorheriger Wert des Folgegliedes der Ausgangsfolge u k i 1 displaystyle u k i 1 nbsp Mit der Berechnung der Folgeglieder der Eingangsfolge mit Differenzengleichungen ergeben sich die Werte der Folgeglieder der Ausgangsfolge des Reglers u k u 0 u T A u 2 T A u 3 T A displaystyle u k u 0 u T A u 2T A u 3T A dots nbsp dd Beispiel der Abtastfolge einer Sprungfunktion G s 1 s Die normierte Signaleingangsgrosse e t hat den Wert 1 Die Wertefolge der Sprungfunktion hat die Werte e k 1 0 1 T A 1 2 T A 1 3 T A displaystyle e k 1 0 1 T A 1 2T A 1 3T A cdots nbsp dd Beispiel der Wertefolge einer d displaystyle delta nbsp Impulsfunktion Die normierte Signaleingangsgrosse e t des d displaystyle delta nbsp Impulses hat den Wert 1 fur die Folge Null Alle anderen Werte der Folgen betragen Null Abtastfolge k 2 1 0 1 2 3 displaystyle k 2 1 0 1 2 3 dots nbsp Wertefolge e k 0 2 T A 0 T A 1 0 0 T A 0 2 T A 0 3 T A displaystyle e k 0 2T A 0 T A 1 0 0 T A 0 2T A 0 3T A dots nbsp Anmerkung Bei Anwendung von Differenzengleichungen nach dem Verfahren Euler Ruckwarts mit der Funktion der Obersumme hat das Folgeglied des d displaystyle delta nbsp Impulses zum Zeitpunkt t 0 und k 0 den Wert 1 0 displaystyle 1 0 nbsp Differenzengleichungen der Untersumme konnen diesen Wert 1 0 displaystyle 1 0 nbsp nicht erfassen Abtasttheorem Bearbeiten Bei einem idealen Abtaster Sampler in Verbindung mit einem A D Wandler wird aus einem analogen Signal eine Zahlenfolge die jeweils in einen zeitlichen Abstand TA generiert wird Liegen die digitalisierten Abtastwerte bezogen auf die Dynamik des Analogsignals bei hoher Abtastfrequenz dicht bei einander folgt das digitalisierte Signal genau dem Verlauf des Analogsignals Damit gehen durch die Abtastung wenig Informationen verloren Je nach verwendetem Mikrorechner erlauben schnelle Regelstrecken keine beliebig hohen Auflosungen des Abtastvorgangs eines Analogsignals weil sowohl die Grenzfrequenz der Schnittstellen erreicht wird als auch der Mikrorechner die Rechenleistung nicht mehr bringen kann In der Praxis bestehen reale Signale aus einem Gemisch vieler Frequenzen 1 Nun stellt sich die Frage welche Mindest Abtastfrequenz f A 1 T A displaystyle f A 1 T A nbsp ist erforderlich dass beispielsweise ein analoges sinusformiges Signal f N displaystyle f N nbsp ohne grosseren Informationsverlust abgetastet werden kann Ein harmonisches sinusformiges Signal ist durch Abtastung vom Original und Rekonstruktion nicht zu unterscheiden wenn die Abtastfrequenz f A displaystyle f A nbsp mindestens doppelt so hoch ist wie die Originalfrequenz f N displaystyle f N nbsp Dieser Zusammenhang wurde bereits von dem Physiker Harry Nyquist als sogenannte Nyquist Frequenz f N displaystyle f N nbsp erkannt f A gt 2 f m a x displaystyle f A gt 2 cdot f mathrm max nbsp Das Nyquist Shannon Abtasttheorem besagt dass ein harmonisches analoges auf f max displaystyle f text max nbsp bandbegrenztes Frequenzsignal mit einer Frequenz von mindestens 2 f max displaystyle 2 cdot f text max nbsp abgetastet werden muss damit man es aus dem zeitdiskreten Signal wieder exakt rekonstruieren kann Durch Frequenzuberlagerungen wie Signalstorungen konnen bei der Rekonstruktion des abgetasteten Signals erhebliche Unterschiede zum analogen Signal auftreten In der Praxis mussen deshalb zur Vermeidung von Fehlinterpretationen dem A D Wandler ein vorgeschaltetes Tiefpassfilter Anti Aliasing Filter zur Reduzierung hoherer Frequenzanteile vorgesehen werden Damit das Tiefpassfilter keine zu steilen Flanken aufweisen muss wahlt man eine Abtastfrequenz f A displaystyle f A nbsp die wesentlich uber dem theoretischen Wert 2 f m a x displaystyle 2 cdot f mathrm max nbsp liegt In der Praxis wahlt man als Abtastfrequenz f A displaystyle f A nbsp 5 bis 10 mal f m a x displaystyle f mathrm max nbsp Wird die zweifache Menge der Abtastfrequenz von fmax unterschritten kommt es zu dem Alias Effekt auch Aliasing Effekte oder kurz Aliasing Regelung im Offline und Onlineprozess BearbeitenVollig unterschiedliche Verfahren der Anwendung der numerischen Berechnung sind bei der Simulation eines dynamischen Systems z B eines Regelkreises oder eines digitalen Reglers der auf eine analoge kontinuierliche Regelstrecke wirkt zu unterscheiden Simulation von Regelkreis Systemen Offline Prozess Bearbeiten Dynamische Systeme wie Regelkreise Regelstrecken und Regler konnen aus verschiedenen Teilsystemen mit unterschiedlichem Zeitverhalten als Reihenschaltung Parallelschaltung oder als zuruckgefuhrte Kreisschaltung bestehen Fur die Berechnung des Eingangs Ausgangsverhaltens von Ubertragungssystemen oder der Simulation von Regelkreisen bieten sich kaufliche Rechenprogramme an Mit den bekannten Programmen wie MATLAB und Simulink stehen umfangreiche Befehlssatze fur die theoretische Modellierung von dynamischen Systemen und vielen speziellen regelungstechnischen Befehlen zur Verfugung Alternativ konnen mit selbst erstellten beliebigen Rechenprogrammen fur Differenzengleichungen mit der diskreten Zeit Dt auch Abtastzeit TA in Verbindung mit logischen Operationen sehr effizient lineare und nichtlineare System Simulationen durchgefuhrt werden Lineare dynamische Systeme wie auch die Komponenten des Regelkreises werden im Zeitbereich f t displaystyle f t nbsp mit Differenzialgleichungen und im s Bildbereich anschaulich als Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp beschrieben Die elementaren dynamischen Teilsysteme der Ubertragungsfunktion lassen sich aus den Zahler und Nennerpolynomen der Ubertragungsfunktionen mittels der Nullstellenbestimmung in Faktoren Linearfaktoren zerlegen Damit entstehen die bekannten vier Elementarsysteme erster Ordnung I Glied D Glied PT1 Glied und PD1 Glied des Bildbereichs die im Zeitbereich durch Differenzialgleichungen beschrieben werden Durch Austausch der Differentialquotienten durch Differenzenquotienten entstehen die Differenzengleichungen des zeitdiskreten Bereichs f k D t displaystyle f k cdot Delta t nbsp Mit der Anwendung von Differenzengleichungen ist eine mathematische Naherungsmethode in kleinen Zeitschritten D t displaystyle Delta t nbsp gegeben die eine erhebliche Vereinfachung fur das Losen von Differenzialgleichungen bedeutet nbsp Analogie der Blockschaltbilder eines Regelkreises im s Bereich und zeitdiskreten Bereich Die Berechnung des Ausgangssignals eines dynamischen Systems oder eines Regelkreises fur ein gegebenes Eingangssignal erfolgt in einem Digitalrechner Personal Computer Dazu werden die Elementarsysteme eines Gesamtsystems in Abhangigkeit von einem Eingangssignal mit Differenzengleichungen hintereinander berechnet in der Weise dass ein Ausgangssignal eines Elementarsystems das Eingangssignal des folgenden Elementarsystems ist Samtliche Ergebnisse der Teilsysteme bis zum Ausgangssystem werden als eine Berechnungszeile dargestellt Handelt es sich bei dem Gesamtsystem um die Simulation eines Regelkreises so werden hintereinander in einer Zeile samtliche Teilsysteme des Gesamtsystems durch Differenzengleichungen des Reglers und der Regelstrecke fur je ein Folgeglied berechnet Das Ausgangsfolgeglied entspricht einem Berechnungswert der Regelgrosse y k displaystyle y k nbsp Alle berechneten Teilsysteme fur je ein Folgeglied beziehen sich auf den gleichen Wert von k und auf den vorherigen Wert k 1 Das so berechnete Folgeglied der Regelgrosse entspricht der Behandlung eines offenen Regelkreises Der Regelkreis wird geschlossen mit der Beziehung der Regelabweichung e k w k y k 1 displaystyle e k w k y k 1 nbsp die am Anfang der Berechnungszeile steht Danach erfolgt mit der nachsten Berechnungszeile die gleiche Berechnung der Einzelsysteme des Gesamtsystems als nachstes Folgeglied mit der nachsthoheren Folgenummer von k Jedes einzelne zu berechnende Folgeglied laut der verwendeten Differenzengleichungen innerhalb dieser Zeile bezieht sich wieder auf das vorhergehende Folgeglied k 1 Damit ergeben sich insgesamt k m a x 1 displaystyle k mathrm max 1 nbsp Zeilen und Folgeglieder y k T A y k y 0 y T A y 2 T A y 3 T A y k m a x T A displaystyle y k cdot T A y k y 0 y T A y 2T A y 3T A dots y k mathrm max T A nbsp Das Berechnungsergebnis ist eine im Rechner gespeicherte Tabelle deren Spalten z B hintereinander die Rechenergebnisse der einzelnen Teilsysteme wiedergibt die Zeilen entsprechen der Anzahl der Folgeglieder von k 0 displaystyle k 0 nbsp bis k max displaystyle k text max nbsp und enthalten identische Gleichungen Die erste Zeile der Gleichungen der Regelabweichung sowie aller Teilsysteme des Reglers und der Regelstrecke wird einmal festgelegt und je nach gewunschter Auflosung der Regelgrosse der Daten 100 1000 fach kopiert Aus diesen Daten lasst sich automatisch eine Grafik fur den Verlauf von y t oder jedes andere Teilergebnis generieren Das Ergebnis ist ein gespeichertes tabellarisches Protokoll samtlicher Berechnungszeilen und Berechnungspunkte der Teilsysteme und der Systemausgangsgrosse Enthalt die Regelstrecke eine Totzeit T t displaystyle T t nbsp kann diese durch geeignete Programmbefehle Ruckwartsverschiebung der Folgeglieder der Wertefolge um k T t D t T t D t displaystyle left k frac T t Delta t right T t gg Delta t nbsp Schritte der Regelstrecken Nachbildung berucksichtigt werden Dieser Rechenvorgang mit dem Ergebnis einer tabellarischen Aufstellung der Berechnungszeilen mit den Folgegliedern der Abtastfolge von k 0 displaystyle k 0 nbsp bis k m a x displaystyle k mathrm max nbsp ist nicht zeitabhangig sondern je nach Rechengeschwindigkeit des Rechners steht das Gesamt Rechenergebnis unmittelbar zur Verfugung Die diskrete Zeit D t displaystyle Delta t nbsp zwischen den Folgegliedern der Abtastfolge k i displaystyle k i nbsp und k i 1 displaystyle k i 1 nbsp ist als Parameter Zahlenwert in den Differenzengleichungen berucksichtigt und ist keine reale Zeit Eine zeitlich geschlossene Stufung Rechteckverlauf der Ausgangsgrossen ist nicht erforderlich In einem Diagramm y t f k D t displaystyle y t f k cdot Delta t nbsp kann der Verlauf der Ausgangsgrosse bei genugender Anzahl von Folgegliedern der Wertefolge Berechnungspunkte als geschlossene Linie fur den Zeitraum k m a x D t displaystyle k mathrm max cdot Delta t nbsp dargestellt werden Wird ein Regelkreis mit diesem Verfahren behandelt was voraussetzt dass ein mathematisches Modell der Regelstrecke vorliegt handelt es sich um eine Regelkreis Simulation die bestens fur den Regler Entwurf zur Auffindung der erforderlichen Reglerparameter geeignet ist Beliebige Rechenprogramme konnen verwendet werden Es empfiehlt sich die Nutzung der Tabellenkalkulation weil damit Programmierungsfehler ausgeschlossen sind und eine grafische Darstellung der Signalverlaufe eingebunden ist Digitale Regler fur analoge kontinuierliche Regelstrecken Online Prozess Bearbeiten Enthalten Regelkreise Systeme die ihre Signale nur zu diskreten Zeitpunkten ubertragen handelt es sich um zeitdiskrete Regelsysteme oder Abtastregelungen Die Abtastung von Signalen kann meist kontinuierlich aber auch zufallig oder nach einer Regel erfolgen Bei kontinuierlichen Systemen beschreiben Differenzialgleichungen das Systemverhalten bei zeitdiskreten Systemen sind es die aus den Differenzialgleichungen abgeleiteten Differenzengleichungen die eine zeitdiskrete Abtastung und Berechnung des System Eingangssignals entsprechend der Systemdynamik zu einer Ausgangsgrosse moglich machen Die fortlaufende Abtastung des Eingangssignals wird mit Abtastfolge bezeichnet Jedes Folgeglied der Abtastfolge entspricht einem Wert der in einem Mikrocomputer zu einem Stellgrossenwert innerhalb der Ausgangsfolge berechnet wird Digitale Regler wie auch analoge Regler benotigen ein Signal der Regelabweichung von der Fuhrungsgrosse minus der zuruckgefuhrten Regelgrosse Die verwendeten Mikrocomputer Mikrocontroller erfordern zur Berechnung der meist analogen Signale geeignete Eingangs und Ausgangsschnittstellen Diese sind in der Regel Analog Digital Umsetzer A D Wandler die zu diskreten Zeitpunkten das Eingangssignal abtasten und digitalisieren Das Ergebnis der Signalabtastung der Regelabweichung kann man auch als modulierte Delta Impulsfolgen fur k 0 displaystyle k 0 nbsp bis k displaystyle k infty nbsp unterschiedlicher Amplituden ansehen nbsp Signalflussplan eines Regelkreises mit digitalem Regler und einer Regelstrecke mit kontinuierlichem Zeitverhalten Der Mikrocomputer berechnet mit Differenzengleichungen zeitsynchron die Wertefolgen des Eingangs zu Ausgangsfolgen Ein Glied der Ausgangsfolge des Mikrocomputers ist ein Berechnungspunkt in Annaherung an die analytische Funktion Aufgabe des Stellgliedes ist die Energie Versorgung die ein Zeitverhalten haben kann Der Einfluss von Storgrossen innerhalb der Regelstrecke wird im Artikel Regelkreis behandelt Die Ausgabe der nach einem Regelalgorithmus berechneten digitalen Signale erfolgt uber einen Digital Analog Umsetzer D A Wandler dem ein Halteglied Sample and Hold Verfahren nachgeschaltet ist Durch die Haltestufe wird das Ausgangssignal bis zum nachsten Folgeglied der Ausgangsfolge gehalten damit ein analoges gestuftes Regler Ausgangssignal an eine Leistungs Schnittstelle der Stelleinrichtung zur Regelstrecke weitergegeben werden kann Die abgetastete Eingangsgrosse der Eingangsfolge muss ebenfalls solange gehalten werden schnelle Haltegliedfunktion bis die Digitalisierung des Eingangssignals und die Ubergabe in den Mikrocomputer abgeschlossen ist Mit dieser Massnahme kann das digitale Ausgangssignal als ein kontinuierliches gestuftes quasi analoges Ausgangssignal gewandelt und uber einen Leistungsteil als Stellgrosse an die Regelstrecke uberfuhrt werden 2 Durch den Abtaster und den A D Wandler ist eine Quantisierung des Eingangssignals zu einer Signal Impulsfolge Zeitquantisierung und der Amplitude Amplitudenquantisierung verbunden Der Microcomputer bearbeitet und berechnet die digitalisierten Signalfolgen der Eingangsgrosse e k displaystyle e k nbsp zu einer digitalen Ausgangs Stellgrossen Folge u k displaystyle u k nbsp Die Aufgabe des Digitalreglers innerhalb eines Regelkreises besteht darin das Eingangssignal der Regelabweichung nach jeder Abtastung mittels Differenzengleichungen und logischer Befehle als Regelalgorithmus so zu berechnen dass das Ausgangssignal der Regelstrecke die Regelgrosse sich nach einem gewunschten meist asymptotisch stabilen Verlauf der Fuhrungsgrosse annahert Die fur die Festlegung des dynamischen Verhaltens des Reglers benotigten Differenzengleichungen als Funktion der diskreten Zeit und der Abtastfolge k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots nbsp entstehen nach dem einfachsten Verfahren der Methode Euler Ruckwarts indem die Differentialquotienten der System Differenzialgleichung des Reglers durch Differenzenquotienten ersetzt werden 3 Ein Digitalregler ist standig im Einsatz und fuhrt damit eine unbegrenzte Anzahl von berechneten Folgegliedern der Ausgangsfolge durch Der Rechner muss fur die Berechnung mit Differenzengleichungen Methode Euler Ruckwarts fur die Berechnung der Folgeglieder der Ausgangsfolge aus den Gliedern der Eingangsfolge stets ein Folgeglied der Folge k i displaystyle k i nbsp aktueller Wert und das Folgeglied der zuruckliegende Folge k i 1 displaystyle k i 1 nbsp vorheriger Wert zur Verfugung stellen Zur digitalen Verarbeitung wird der Zeitraum zwischen zwei Folgegliedern der Berechnungsfolgen anstelle der Parameters der diskretisierten Zeit D t displaystyle Delta t nbsp meist mit der Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp auch T 0 displaystyle T 0 nbsp oder T displaystyle T nbsp bezeichnet die einer realen Zeit entspricht Das mit der Abtastfrequenz f T A 1 T A displaystyle f TA 1 T A nbsp abgetastete und digitalisierte Eingangssignal e k displaystyle e k nbsp wird zur Folge k displaystyle k nbsp mit den Differenzengleichungen der Ausgangssignale der Form u k f System Eingangssignal e k u k 1 T A displaystyle u k f text System text Eingangssignal e k u k 1 T A nbsp als Regleralgorithmus berechnet Differenzengleichungen des Regelalgorithmus des Digitalreglers berechnen die abgetasteten Eingangssignale e k displaystyle e k nbsp e k e 0 T A e 1 T A e 2 T A e 3 T A displaystyle e k e 0 cdot T A e 1 cdot T A e 2 cdot T A e 3 cdot T A dots nbsp fortlaufend mit jeder Abtastung unbegrenzt Der Mikrocomputer verarbeitet mit Hilfe eines Abtasters und A D Wandlers aus der analogen Regelabweichung Folgeglieder der Eingangsfolge die zeitsynchron mit der Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp abgetastet und berechnet werden Die Berechnung der Eingangsfolge mit Differenzengleichungen ergibt die Ausgangsfolge u k u 0 T A u 1 T A u 2 T A u 3 T A displaystyle u k u 0 cdot T A u 1 cdot T A u 2 cdot T A u 3 cdot T A dots nbsp Da die Regelstrecke meistens ein kontinuierliches analoges Verhalten hat erfolgt am Mikrocomputer Ausgang eine D A Wandlung der digitalen Ausgangsgrosse mit nachgeschaltetem Halteglied der Dauer T A displaystyle T A nbsp Damit entsteht im Abstand T A displaystyle T A nbsp aus den errechneten Folgegliedern als Stellgrosse ein quasi stetiges gestuftes analoges Signal Jede Abtastung wie auch der Rechenvorgang selbst benotigt eine endliche Zeit bis eine Steuerung oder Berechnung innerhalb der Abtastfolge durchgefuhrt werden kann Damit ergibt sich durch dieses Zeitverhalten gegenuber dem Originalverlauf der Eingangsgrosse eine nacheilende Zeitverschiebung die sich als Totzeit bemerkbar macht Ob diese Totzeit vernachlassigbar ist hangt von der Grosse der dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke ab Der Vorteil der zunehmend eingesetzten digitalen Regler gegenuber analogen Reglern ist Einmaliger Entwicklungsaufwand der Hardware vielseitige Anpassung an beliebige komplexe Regelaufgaben per Software Vorteil der komplexen Reglerstrukturen Zustandsregler adaptive Regler Pradiktorregler dead beat Regler Multitasking mit einem Regler fur verschiedene Regelstrecken grosse statische Genauigkeit realisierbar falls gefordert Kosten Nutzen Vorteil insbesondere in Anlagen hoher Stuckzahlen die bei Parameter oder Strukturanderungen keine Hardware Anderungen erforderlich machen Hochintegrierte Microcomputer fur die Anwendung regelungstechnischer Aufgaben mit den Funktionen wie Abtastgliedern A D Wandlern D A Wandlern und Haltestufen sind bereits kommerziell verfugbar Nachteile der digitalen Regler Quantisierungsfehler konnen auftreten durch Abtastung und Rechenzeit verbundene Totzeit Material und Zeitaufwand bei kleiner Stuckzahl Begriffsklarung der numerischen Berechnung Bearbeiten nbsp Einfluss der Grosse des Zeitintervalls t auf die Berechnung Euler Ruckwarts eines Regelkreises mit Differenzengleichungen Diskrete Zeit Bearbeiten Es werden hier zur Kennzeichnung der physikalischen Unterschiede der Zeitdiskretisierung folgende Definitionen festgelegt D t displaystyle Delta t nbsp ist ein Parameter der diskreten Zeit keine reale Zeit D t displaystyle Delta t nbsp wird z B bei der Berechnung der Differenzengleichungen verwendet T A displaystyle T A nbsp auch T 0 displaystyle T 0 nbsp oder T displaystyle T nbsp ist eine reale Zeit mit der ein kontinuierliches Signal im Takt von T A displaystyle T A nbsp abgetastet wird Die Zeitdiskretisierung eines dynamischen zeitinvarianten Ubertragungssystems bedeutet der Ubergang der Berechnung eines kontinuierlichen Systems f t displaystyle f t nbsp mit unendlicher hoher Auflosung zu einem System f k D t displaystyle f k Delta t nbsp mit einer endlichen Auflosung eines fortlaufenden konstanten Zeitintervalls D t displaystyle Delta t nbsp Die Folge k 0 1 2 3 k m a x displaystyle k 0 1 2 3 dots k mathrm max nbsp beschreibt eine endliche Zahl der Folgeglieder fur eine numerische Berechnung Simulation am Computer Das Zeitintervall D t displaystyle Delta t nbsp muss genugend klein sein damit dominante Systembewegungen auch erfasst werden konnen bzw der Approximationsfehler gegenuber dem Verlauf der analytischen Funktion gering ist Das Intervall D t displaystyle Delta t nbsp muss kleiner sein als der Parameter der kleinsten Systemzeitkonstante T m i n displaystyle T mathrm min nbsp anderenfalls ergeben sich Berechnungsfehler D t displaystyle Delta t nbsp sollte ein Hundertstel bis ein Tausendstel der dominanten Systemzeitkonstante betragen Regelalgorithmus digitaler Standardregler Euler Ruckwarts Bearbeiten In der Offline und Online Anwendung fur die Standardregler konnen die Differenzengleichungen der einfachsten Form nach dem Streckenzugverfahren Euler Ruckwarts angewendet werden Dieses Verfahren hat den Vorteil mit einfachen Differenzengleichungen zu operieren hat aber den Nachteil bei der Online Anwendung dass mit kleiner werdender Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp und steigender geforderter Genauigkeit die Anzahl der rekursiven Berechnungen fur einen festen Beobachtungszeitraum umgekehrt proportional grosser wird Unabhangig davon vergrossert sich mit der kleiner werdenden Abtastzeit das Verhaltnis zur Ersatztotzeit Digitalisierung Rechenzeit Halteglied der Hardware Schnittstellen Ob damit ein Zeit und Kostenproblem vorliegt hangt davon ab wie gross die dominante Streckenzeitkonstante die Abtastzeit der Regelabweichung und die Reaktionszeit der verwendeten Hardware Bauelemente des Reglers sind Numerische Stabilitat Bearbeiten Fur die numerische Stabilitat und der Berechnungsgenauigkeit der Simulation gelten zwei Bedingungen Zur Vermeidung der numerischen Instabilitat kann die Verstarkung nicht unbegrenzt hoch gewahlt werden wenn es auch theoretisch bei stetig wirkenden Regelkreisen bis zu zwei Verzogerungsgliedern moglich ware Bedingung Bei sehr grosser Kreisverstarkung K displaystyle K nbsp einer Regelkreisnachbildung muss D t displaystyle Delta t nbsp kleiner als T D K displaystyle T D K nbsp sein K displaystyle K nbsp ist das Produkt aller Einzelverstarkungen T D displaystyle T D nbsp ist die dominante Systemzeitkonstante T m i n displaystyle T mathrm min nbsp ist die kleinste Systemzeitkonstante Genauigkeit der numerischen Simulation Bearbeiten Die Genauigkeit der numerischen Berechnung eines dynamischen Systems gegenuber der analytischen Funktion bei Anwendung des Euler Ruckwarts Verfahrens steigt linear mit dem kleiner werdenden Zeitintervall D t displaystyle Delta t nbsp im Verhaltnis zur dominanten Systemzeitkonstante T D displaystyle T D nbsp Der Approximationsfehler F A displaystyle F A nbsp im Vergleich zur analytische Funktion betragt F A D t 100 T D displaystyle F A approx frac Delta t cdot 100 T D nbsp Das Zeitintervall D t displaystyle Delta t nbsp muss kleiner als die kleinste zu berechnende Systemzeitkonstante betragen Anderenfalls treten zusatzliche Fehler auf D t T D D t lt T m i n displaystyle Delta t ll T D qquad Delta t lt T mathrm min nbsp Differenzengleichungen linearer zeitinvarianter Ubertragungssysteme BearbeitenGrundlagen Systemverhalten Bearbeiten Ein System ist eine Funktionseinheit mit mindestens einem Signaleingang und einem Signalausgang Hat das System ein zeitliches Verhalten durch meist konzentrierte Energiespeicher wird es als dynamisches System bezeichnet Statische Systeme haben keine Energiespeicher und damit kein Zeitverhalten Dynamische Systeme werden durch verschiedene Formen von Differentialgleichungen beschrieben Nicht alle Differentialgleichungen sind einfach analytisch losbar Technische Systeme konnen sich zeitabhangig zeitunabhangig linear nichtlinear kontinuierlich und diskontinuierlich verhalten Das gut angenaherte Eingangs und Ausgangsverhalten dieser Systeme kann durch Differenzengleichungen numerisch relativ einfach mit Computern gelost werden Handelt es sich um kontinuierliche dynamische Systeme wird das Zeitverhalten mit Hilfe von Differenzengleichungen durch zeitdiskretes Verhalten ersetzt Durch die Diskretisierung der Signale entstehen mittels punktueller Abtastung die Eingangs und Ausgangswertefolgen im zeitlichen Abstand D t displaystyle Delta t nbsp Differenzengleichungen beziehen sich allgemein auf die Differentialquotienten einer gewohnlichen Differentialgleichung die durch Differenzenquotienten D y D t displaystyle Delta y Delta t nbsp ersetzt werden und damit entsteht eine numerisch losbare Differenzengleichung in Annaherung an die Differentialgleichung Nichtlineare und lineare dynamische Systeme konnen mit geeigneten Differenzengleichungen kombiniert werden Die Nichtlinearitat wird durch logische Funktionen oder Tabellenwerte definiert Differenzengleichungen konnen sich auch auf statische zeitunabhangige Systeme beziehen in dem die Systemeingangsgrosse diskretisiert und das Systemausgangsverhalten durch logische Funktionen berechnet wird Beispiele von linearen nichtlinearen und zeitunabhangigen Systemen SprungantwortLineares System 1 Ordnung Pol negativ real SprungantwortLineares System 2 Ordnungmit konjugiert komplexen Polen Nichtlineares System Schaltregler mit Hysterese und lineares System 1 Ordnung Zeitunabhangiges System Dreipunktregler mit Hysterese und Totzone nbsp nbsp nbsp nbsp Losung mit Differenzengleichung1 Ordnung Losung mit Differenzengleichung2 Ordnung Berechnung mit log Befehlen undDifferenzengleichung 1 Ordnung Berechnung mit log Befehlen WENN DANN SONST AnweisungGrundlagen der Differenzengleichungen linearer zeitinvarianter Systeme Bearbeiten Es bestehen verschiedene mathematische Verfahren zeitkontinuierliche Systeme in zeitdiskrete Systeme zu beschreiben und umzuwandeln Differenzengleichungen entstehen meist aus einer systembeschreibenden gewohnlichen Differenzialgleichung deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden Die kontinuierlichen mathematischen Operationen der Integration und Differentiation werden zeitdiskret durch Summen und Differenzenbildung angenahert Differenzengleichungen berechnen in Abhangigkeit von einer Eingangswertefolge und dem dynamischen System die Ausgangswertefolge mit der Folge k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots nbsp die eine Nummerierung der Werte darstellt Zu unterscheiden ist die Anwendung einer Simulation eines zeitdiskreten dynamischen Systems in Abhangigkeit von einem Eingangssignal und die Anwendung eines realen Hardwaresystems dessen Eingangssignal im zeitlichen Abstand T A displaystyle T A nbsp abgetastet wird Simulation Fur die Anwendung einer Simulation am Digitalrechner wird das Eingangssignal fur den Zeitparameter D t displaystyle Delta t nbsp diskretisiert und mit der Differenzengleichung des dynamischen Systems wird die Ausgangsfolge fur k D t displaystyle k Delta t nbsp berechnet Diese rekursive Differenzengleichung bezieht sich immer auf zuruckliegende Ausgangswertefolgen und wird beliebig oft je nach geforderter Genauigkeit neu berechnet Das Ergebnis ist eine tabellarisch im Rechner gespeicherte Folge von Werten Berechnungspunkte im zeitlichen Abstand D t displaystyle Delta t nbsp welche auch grafisch als Funktion des diskreten Eingangssignals und des Systemubertragungsverhaltens dargestellt werden kann Signalabtastung Bei einem gegebenen Hardwaresystem wird das Eingangssignal im zeitlichen Abstand der Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp abgetastet digitalisiert und als Eingangswertefolge in einen Mikrorechner geleitet Meist handelt es sich bei diesem System um den Regelalgorithmus als Differenzengleichung Die Ausgangsfolge wird analogisiert und in ein Halteglied z B nullter Ordnung geleitet Damit entsteht ein gestuftes quasi stetiges Signal das als Stellgrosse von einer kontinuierlich wirkenden Regelstrecke verarbeitet werden kann Die Differenzengleichungen beschreiben mit dem Approximationsalgorithmus fur ein kleines Zeitintervall D t displaystyle Delta t nbsp die Signalanderungen am Ausgang eines Systems y k D t displaystyle y k Delta t nbsp vereinfachte Schreibweise y k displaystyle y k nbsp nach jedem Zeitintervall als Funktion des betreffenden Systems z B Linearfaktoren im s Bereich und des Eingangssignals u k displaystyle u k nbsp Mit der fortlaufenden Wiederholung der Berechnung mit dem Zeitintervall D t displaystyle Delta t nbsp und Addition der Anderungsergebnisse zum vorherigen Ergebnis y k 1 displaystyle y k 1 nbsp ergibt sich der Signalverlauf eines Systems y k displaystyle y k nbsp uber die Zeit k m a x D t displaystyle k mathrm max cdot Delta t nbsp Die Losung des Systemverhaltens eines dynamischen Systems mit Differenzengleichungen entspricht immer der Gesamtlosung als Addition der homogenen und partikularen Losung Ohne Anfangswerte handelt es sich um die partikulare Losung Sind Anfangswerte des Systems vorhanden kann die Regelungsnormalform der Zustandsraumdarstellung zur Losung mit Differenzengleichungen des Systems herangezogen werden In den Differenzengleichungen ohne Anfangswerte ist die Losungsvorschrift bereits enthalten Differenzengleichungen konnen auch mit Hilfe der z Transformation entstehen Linearfaktoren der Ubertragungsfunktion G s Bearbeiten Differenzengleichungen der einfachsten Art beziehen sich auf die den Linearfaktoren der Ubertragungsfunktion G s zugehorigen Differenzialgleichungen erster Ordnung deren Differentialquotienten durch Differenzenquotienten ersetzt werden Linearfaktoren entstehen durch Nullstellenzerlegung von Polynomen des Zahlers und Nenners einer Ubertragungsfunktion G s als gebrochen rationale Funktion Diese Beziehung ist von grosser Bedeutung weil insgesamt nur drei verschiedene Formen von Linearfaktoren erster und zweiter Ordnung auftreten und Systeme hoherer Ordnung nur Kombinationen davon enthalten Mittels der Nullstellenbestimmung konnen die Polynome der Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp in eine Produktform Linearfaktoren im Zahler und Nenner gebracht werden Die Pole Nullstellen des Nenners oder Nullstellen Nullstellen des Zahlers sind entweder Null reell oder konjugiert komplex Die Produktdarstellung im Zahler und Nenner der Ubertragungsfunktion G s displaystyle G s nbsp ist mathematisch identisch mit der Polynomdarstellung im Zahler und Nenner Fur die Nullstellenbestimmung eines Polynoms bis 4 Ordnung sind im Internet fertige Programme unter dem Aufruf Nullstellen Losungen von Polynomen bestimmen zu finden Fur Systeme 2 Ordnung kann die pq Formel x 2 p x q 0 displaystyle x 2 px q 0 nbsp verwendet werden zur Berechnung von x 1 x 2 displaystyle x 1 x 2 nbsp der konjugiert komplexen Nullstellen Linearfaktoren der Pol NullstellendarstellungBeispiel der Zerlegung der Polynome der Ubertragungsfunktion durch die Pol Nullstellungbestimmung in reelle Linearfaktoren G s Y s U s b 0 b 1 s b 2 s 2 b m s m a 0 a 1 s a 2 s 2 a n s n k s s n 1 s s n 2 s s n m s s p 1 s s p 2 s s p n displaystyle G s frac Y s U s frac b 0 b 1 cdot s b 2 cdot s 2 cdots b m cdot s m a 0 a 1 cdot s a 2 cdot s 2 cdots a n cdot s n k cdot frac s s n1 s s n2 dotsm s s nm s s p1 s s p2 dotsm s s pn nbsp Da die Linearfaktoren des Zahlers und Nenners der Ubertragungsfunktion identisch sind werden die Nullstellen und Polstellen zur vereinfachten Darstellung mit s 0 displaystyle s 0 nbsp bezeichnet Negative Realteile der Pole und Nullstellen der Linearfaktoren bedeuteten stabile Elementarsysteme positive Realteile bedeuten instabile Elementarsysteme Bei Linearfaktoren 1 Ordnung sind die Nullstellen s n displaystyle s n nbsp oder Pole s p displaystyle s p nbsp reelle Zahlenwerte Stabile Systeme enthalten negative Realteile Linearfaktoren 2 Ordnung mit konjugiert komplexen Nullstellen oder Polen werden zur einfacheren Berechenbarkeit zu quadratischem Termen zusammengefasst in denen nur reelle Koeffizienten auftreten Linearfaktoren werden meist in die Zeitkonstanten Darstellung durch Reziprokbildung der Nullstellen und Pole umgerechnet Produktterm in der Zeitkonstanten Darstellung mit negativem Wert der Nullstelle s n displaystyle s n nbsp s s n Produktterm s a Produktterm a 1 a s 1 a ausgeklammert K T s 1 Zeitkonstanten Darstellung a n e g a t i v e r N u l l s t e l l e n w e r t displaystyle underbrace s s n text Produktterm underbrace s a text Produktterm underbrace a cdot frac 1 a cdot s 1 a text ausgeklammert quad underbrace K cdot T cdot s 1 text Zeitkonstanten Darstellung qquad bigg quad a negativerNullstellenwert nbsp In der linearen Regelungstechnik ist es eine willkommene Tatsache dass praktisch alle vorkommenden regularen phasenminimalen Ubertragungsfunktionen bzw Frequenzgange von Regelkreisgliedern auf folgende drei Grundformen Linearfaktoren geschrieben bzw zuruckgefuhrt werden konnen Sie haben eine vollig unterschiedliche Bedeutung je nachdem ob sie im Zahler differenzierendes Verhalten oder im Nenner verzogernd Integrierend einer Ubertragungsfunktion stehen In Abhangigkeit von den Zahlenwerten der Koeffizienten a und b der Polynom Darstellung konnen die Produkte folgende drei Formen in der Zeitkonstanten Darstellung annehmen Typ Linearfaktor Bedeutung im Zahler Bedeutung im NennerG 1 s T s displaystyle G 1 s T cdot s nbsp Nullstelle 0 Differenzierer D Glied Integrator I GliedG 2 s T s 1 displaystyle G 2 s T cdot s 1 nbsp Nullstelle reell PD Glied Verzogerung PT1 GliedG 3 s T 2 s 2 2 D T s 1 displaystyle G 3 s T 2 cdot s 2 2 cdot D cdot T cdot s 1 nbsp Nullstellen konjugiert komplex PD2 Glied fur 0 lt D lt 1 Schwingungsglied PT2 Glied fur 0 lt D lt 1Dabei ist T die Zeitkonstante s die komplexe Frequenz D der Dampfungsgrad Die Ubertragungsfunktion G s Y s U s Zahler s Nenner s displaystyle G s Y s U s text Zahler s text Nenner s nbsp eines dynamischen Ubertragungssystems kann einfache und mehrfache Linearfaktoren im Zahler und Nenner enthalten displaystyle to nbsp Weitere Vertiefung zu Differentialgleichungen Ubertragungsfunktionen Entstehung der Linearfaktoren siehe Regelungstechnik Grundlagen der Ubertragungsfunktion als Systembeschreibung Entstehung der Differenzengleichungen Bearbeiten nbsp Rechteck Approximation eines PT1 Gliedes durch Berechnung mit einer Differenzengleichung nach Euler Ruckwarts Obersumme Meistens wird zur Aufstellung der Differenzengleichungen das Differenzen Verfahren als einfachstes numerisches Verfahren verwendet Nach diesem Verfahren konnen aus den zugehorigen Differenzialgleichungen der 4 Elementarsysteme G s erster Ordnung der Ubertragungsfunktionen Differenzengleichungen gebildet werden indem an Stelle des Differenzialquotienten mit d y d t displaystyle dy dt nbsp der Differenzenquotient D y D t y k y k 1 D t displaystyle frac Delta y Delta t frac y k y k 1 Delta t nbsp naherungsweise eingefuhrt wird In der Regel wird davon ausgegangen dass die inneren Systemspeicher des Ubertragungssystems sich im Ruhezustand befinden und die Anfangswerte bei t 0 fur y 0 0 displaystyle y 0 0 nbsp und alle Ableitungen von y 0 displaystyle y 0 nbsp Null sind Die Ausgangsgrosse eines berechneten zeitdiskreten Systems mit Hilfe von Differenzengleichungen y k D t displaystyle y k cdot Delta t nbsp wird in vereinfachter Schreibweise der Indizierung als y k displaystyle y k nbsp benannt Bei der Offline Anwendung beispielsweise die Simulation eines Regelkreises mit u k displaystyle u k nbsp als Eingangsfolge und y k displaystyle y k nbsp als Ausgangsfolge sind die Folgeglieder der Wertefolge auf eine bestimmte Anzahl k m a x displaystyle k mathrm max nbsp begrenzt und beziehen sich auf den Zeitraum k max D t displaystyle k text max cdot Delta t nbsp Nach der Berechnung der Folgeglieder der Eingangsfolge u k displaystyle u k nbsp mit Differenzengleichungen entsteht die Ausgangsfolge mit ihren Folgegliedern y k y 0 D t y 1 D t y 2 D t y 3 D t y k m a x D t displaystyle y k y 0 cdot Delta t y 1 cdot Delta t y 2 cdot Delta t y 3 cdot Delta t dots y k mathrm max cdot Delta t nbsp als Losung in Annaherung an die zugehorige Differenzialgleichung Die Folgeglieder entstehen ohne Abtastung Durch die rekursive Anwendung der Differenzengleichung bezieht sich jede Berechnung y k displaystyle y k nbsp auf das zuruckliegende Ergebnis y k 1 displaystyle y k 1 nbsp Die wiederholte Anwendung der gleichen Differenzengleichungen endet bei k m a x displaystyle k mathrm max nbsp Bei der Online Anwendung mit einem digitalen Regler wird die abgetastete Eingangsfolge e k displaystyle e k nbsp mit Differenzengleichungen berechnet dann entstehen die Folgeglieder der Ausgangsfolge des Reglers u k u 0 T A u 1 T A u 2 T A u 3 T A displaystyle u k u 0 cdot T A u 1 cdot T A u 2 cdot T A u 3 cdot T A dots nbsp Die Berechnung erfolgt mit digitalisierten Werten zeitsynchron im Takt von T A displaystyle T A nbsp Meist wird fur die Regelstrecke ein kontinuierliches Stellsignal benotigt Wertefolgen konnen mit Hilfe eines A D Wandlers und eines Haltegliedes zu einem gestuften quasi kontinuierlichen Signal gewandelt werden Der Nachteil des Differenzenverfahrens ist fur schnelle Regelstrecken bei guter Approximation an die analytische Systemfunktion die hohe Zahl der Abtastfolgen die in der Offline Simulation eines dynamischen Systems mit einem Digitalrechner keine Rolle spielt dafur aber im Online Betrieb Mit steigender Genauigkeit der Approximation an das Ubertragungsverhalten des Systems muss die Periodendauer der Abtastung kleiner werden und die Rechenleistung steigt linear an Andere Methoden der numerischen Berechnung bedienen sich zur besseren Approximation z B an Stelle des Differenzenverfahrens des Trapezflachenverfahrens Heun Verfahren des Mehrschrittverfahrens Runge Kutta Verfahren und anderer Verfahren Grund der aufwendigeren Approximationsverfahren und damit der umfangreicheren Differenzengleichungen ist die erzielbare hohere Genauigkeit und damit Reduzierung der Rekursionsfolgen was bei langsamen Mikrocomputern und dessen Schnittstellen bei Echtzeitberechnungen erforderlich sein kann Beispiel der Entstehung einer Differenzengleichung der Integration I Glied aus der Differenzialgleichung Die Ubertragungsfunktion des I Gliedes lautet G s Y s U s 1 T I s displaystyle G s frac Y s U s frac 1 T I cdot s nbsp Die zugehorige Differenzialgleichung lautet T I y t u t displaystyle T I cdot dot y t u t nbsp Der Differenzenquotient wird an Stelle des Differenzialquotienten y t displaystyle dot y t nbsp eingesetzt T I y k y k 1 D t u k displaystyle T I cdot frac y k y k 1 Delta t u k nbsp Damit lautet die nach y k displaystyle y k nbsp umgestellte Differenzengleichung des I Gliedes nach dem Ruckwarts Differenzenquotient y k y k 1 u k D t T I displaystyle y k y k 1 u k cdot frac Delta t T I nbsp In gleicher Weise konnen die Differenzengleichungen der Standardregler aus den zugehorigen Differenzialgleichungen abgeleitet werden Tabelle der Differenzengleichungen Ruckwarts Differenzenquotient der Elementarsysteme G s erster Ordnung Elementarsysteme Ubertragungsfunktion DifferenzengleichungenP Glied Y U s K displaystyle frac Y U s K nbsp y k K u k displaystyle y k K cdot u k nbsp I Glied Y U s 1 T s displaystyle frac Y U s frac 1 T cdot s nbsp y k y k 1 u k D t T displaystyle y k y k 1 u k cdot frac Delta t T nbsp D Glied Y U s T s displaystyle frac Y U s T cdot s nbsp y k u k u k 1 T D t displaystyle y k u k u k 1 cdot frac T Delta t nbsp PD1 Glied Y U s K T s 1 displaystyle frac Y U s K cdot T cdot s 1 nbsp y k K P D 1 u k u k u k 1 T D t displaystyle y k K PD1 cdot left u k u k u k 1 cdot frac T Delta t right nbsp PT1 Glied Y U s K T s 1 displaystyle frac Y U s frac K T cdot s 1 nbsp y k y k 1 K P T 1 u k y k 1 D t T D t displaystyle y k y k 1 K PT1 cdot u k y k 1 cdot frac Delta t T Delta t nbsp Mit K Verstarkungsfaktor y k displaystyle y k nbsp aktuelle zeitdiskrete Ausgangsgrosse y k y k 1 displaystyle y k y k 1 nbsp vorherige Ausgangsgrosse T Zeitkonstante u k displaystyle u k nbsp aktuelle zeitdiskrete Eingangsgrosse Diese Differenzengleichungen von Elementarsystemen konnen beliebig multiplikativ additiv oder zuruckgekoppelt vermascht sein Jede Gleichung eines Gesamtsystems wird hintereinander berechnet Bei Reihenschaltungen von Teilsystemen ist die berechnete Ausgangsgrosse y k displaystyle y k nbsp die Eingangsgrosse u k displaystyle u k nbsp des folgenden Teilsystems Bei Parallelschaltungen von Teilsystemen werden die Ergebnisse der Ausgangsgrossen additiv zusammengefuhrt Bestimmung der Differenzengleichungen aus der Regler Ubertragungsfunktion G s Bearbeiten Die Ubertragungsfunktionen G R s displaystyle G R s nbsp der Regler und die zugehorigen elementaren Differenzengleichungen konnen direkt zugeordnet werden Die Ubertragungsfunktionen eines Reglers konnen in der Reihen und Paralleldarstellung definiert werden Dies gilt auch fur die zugehorigen Differenzengleichungen in Operatorendarstellung y k displaystyle y k cdots nbsp Diese unterschiedlichen Gleichungen zur Berechnung der Regler Ausgangsgrosse fur je im s Bereich Y s und je im zeitdiskreten Bereich y k displaystyle y k nbsp sind mathematisch identisch Gewahlt wurde die Umsetzung der Ubertragungsfunktion in Operatorendarstellung Y s U s G s displaystyle Y s U s cdot G s nbsp der Reihendarstellung des Regelalgorithmus der Elementarsysteme weil die Reihendarstellung der PI und PID Regler je PD1 Glieder enthalten Fur den Reglerentwurf vereinfacht sich die Parameterbestimmung weil die PD1 Glieder des Reglers die Verzogerungen von PT1 Gliedern der Regelstrecke bei gleichen Zeitkonstanten direkt kompensieren konnen und damit die Regelstrecke vereinfachen T V s 1 T n s 1 1 fur T V T N displaystyle T V cdot s 1 T n cdot s 1 1 qquad text fur T V T N nbsp PI und PID Regler werden mit mehreren elementaren Differenzengleichungen im Zahler und Nenner beschrieben Deshalb ist es nicht moglich bei der Umsetzung vom s Bereich in den zeitdiskreten Bereich die Differenzengleichungen mit einer Gleichung zu beschreiben Diese Differenzengleichungen werden hintereinander berechnet Es ist zu beachten dass in der Reihendarstellung der Differenzengleichungen die Ausgangsgrosse der ersten Differenzengleichung die Eingangsgrosse der nachsten Differenzengleichung ist Definiert man im s Bereich einen PID Regler mit den Parametern K P I D T N displaystyle K PID T N nbsp und T V displaystyle T V nbsp der Paralleldarstellung erhalt man eine Summengleichung der Ubertragungsfunktion Wird diese Gleichung in einen gemeinsamen Zahler s und Nenner s umgeformt entsteht die Polynomdarstellung der Ubertragungsfunktion Mit der Nullstellenbestimmung im Zahler und Nenner kann diese Gleichung in die Produktdarstellung uberfuhrt werden und erkennbar wird eine Ubertragungsfunktion mit zwei PD1 Gliedern und einem I Glied Bedeutsam dabei ist dass die Parameter T N displaystyle T N nbsp und T V displaystyle T V nbsp verschwunden sind und die Zeitkonstanten der beiden PD Glieder durch andere z B T 1 displaystyle T 1 nbsp und T 2 displaystyle T 2 nbsp bestimmt werden Fur die Praxis der PID Reglerauslegung eignet sich besser die Ubertragungsfunktion des PI Reglers der Reihendarstellung dem multiplikativ ein weiteres PD Glied mit der Zeitkonstante T V displaystyle T V nbsp zugeordnet wird Damit werden komplizierte Umrechnungen der Parameter vermieden Die den Komponenten der Ubertragungsfunktion G s zugehorigen Differenzengleichungen werden in der nachfolgenden Tabelle dargestellt Die bisherigen Signalbezeichnungen mit der Eingangsgrosse U s displaystyle U s nbsp und der Ausgangsgrosse Y s displaystyle Y s nbsp entsprechen den gebrauchlichen Bezeichnungen der Systemtheorie Fur den Regler gilt das Eingangssignal bei Differenzengleichungen e k displaystyle e k nbsp und das Ausgangssignale u k displaystyle u k nbsp Die Reglerausgangsgrosse nach der D A Schnittstelle lautet fur das gestufte quasikontinuierliche Signal u t displaystyle u t nbsp Die Verstarkungsfaktoren K P I displaystyle K PI nbsp der Reglerkomponenten der Differenzengleichungen werden bei einem I Glied wie folgt berucksichtigt u k u k 1 K P I e k D t T N displaystyle u k u k 1 K PI cdot e k cdot Delta t T N nbsp Anmerkung Der Quotient 1 T N displaystyle 1 T N nbsp entspricht bereits einem Verstarkungsfaktor Der Verstarkungsfaktor K P D displaystyle K PD nbsp der Reglerkomponenten der Differenzengleichungen wird bei einem PD Glied wie folgt berucksichtigt u k K P D e k e k e k 1 T V D t displaystyle u k K PD cdot e k e k e k 1 cdot T V Delta t nbsp Differenzengleichungen der Standardregler Bearbeiten Tabelle der Differenzengleichungen der Standardregler Ruckwarts Differenzenquotient Regler Typund Testsignale Ubertragungsfunktion Differenzengleichung Ruckwarts Differenzenquotient TestsignalImpulsfunktion u e d t 1 D t displaystyle hat u e delta t frac 1 Delta t nbsp U s 1 Amplitude u k 0 1 D t displaystyle u k 0 frac 1 Delta t nbsp Amplitude u k gt 0 0 displaystyle u k gt 0 0 nbsp TestsignalSprungfunktion U s 1 s u k 1 displaystyle u k 1 nbsp TestsignalAnstiegsfunktion U s 1 s u k u k 1 c D t displaystyle u k u k 1 c cdot Delta t nbsp Anstiegskonstante c D u D tRegelabweichung E s W s Y s displaystyle E s W s Y s nbsp e k w k y k 1 displaystyle e k w k y k 1 nbsp P Regler U E s K displaystyle frac U E s K nbsp u k e k K displaystyle u k e k cdot K nbsp I Regler U E s 1 T N s displaystyle frac U E s frac 1 T N cdot s nbsp u k u k 1 e k D t T N displaystyle u k u k 1 e k cdot frac Delta t T N nbsp PI ReglerParallelstrukturPI ReglerReihenstruktur U E s K P I 1 1 T N s displaystyle frac U E s K PI cdot left 1 frac 1 T N cdot s right nbsp U E s K P I T N s 1 T N s displaystyle frac U E s K PI cdot frac T N cdot s 1 T N cdot s nbsp Darstellung der Regler Reihenstruktur I Glied e 1 k e 1 k 1 e k K P I D t T N displaystyle text I Glied quad e 1 k e 1 k 1 e k cdot K PI cdot Delta t T N nbsp PD Glied u k e 1 k e 1 k e 1 k 1 T N D t displaystyle text PD Glied quad u k e 1 k e 1 k e 1 k 1 cdot T N Delta t nbsp PD1 Regler Y U s K P D 1 T V s 1 displaystyle frac Y U s K PD1 cdot T V cdot s 1 nbsp u k K P D 1 e k e k e k 1 T V D t displaystyle u k K PD1 cdot left e k left e k e k 1 right cdot frac T V Delta t right nbsp PID ReglerParallelstrukturPID ReglerReihenstruktur U E s K P I D 1 1 T N s T V s displaystyle begin aligned frac U E s amp K PID cdot Big 1 frac 1 T N cdot s T V cdot s Big end aligned nbsp U E s K PID T 1 s 1 T 2 s 1 s displaystyle frac U E s K text PID cdot frac T 1 cdot s 1 T 2 cdot s 1 s nbsp Darstellung der Regler Reihenstruktur I Glied e 1 k e 1 k 1 e k K P I D t T N displaystyle text I Glied quad e 1 k e 1 k 1 e k cdot K PI cdot Delta t T N nbsp PD Glied 1 e 2 k e 1 k e 1 k e 1 k 1 T 1 D t displaystyle text PD Glied 1 quad e 2 k e 1 k e 1 k e 1 k 1 cdot T 1 Delta t nbsp PD Glied 2 u k e 2 k e 2 k e 2 k 1 T 2 D t displaystyle text PD Glied 2 quad u k e 2 k e 2 k e 2 k 1 cdot T 2 Delta t nbsp T N displaystyle T N nbsp Nachstellzeit T V displaystyle T V nbsp Vorhaltezeit K displaystyle K nbsp P Verstarkung D t T A displaystyle Delta t T A nbsp Diskrete Zeit bzw Abtastzeit displaystyle to nbsp Weitere Vertiefung zu Differenzengleichung siehe Artikel Differenzengleichung Differenzenverfahren Differenzengleichungen als Funktion der Ober und Untersumme Bearbeiten nbsp Definition der Obersumme und Untersumme der numerischen Integration In der numerischen Mathematik bedeuten die Flachen der Rechteckapproximation an eine gegebene analytische Funktion dann als Obersumme wenn die Oberkante der Rechtecke oberhalb der analytischen Funktion anstosst Umgekehrt handelt es sich um die Untersumme wenn die Oberkante der Rechtecke unterhalb der analytischen Funktion anstosst Fur die numerische Berechnung interessiert nicht die Flache der Rechtecke sondern die Lage des Verlaufs der Oberkante der Rechtapproximation Die mit Differenzengleichungen berechneten Folgeglieder der Ausgangsfolge lassen sich als Funktion der Obersumme und Untersumme definieren Die Ergebnisse von Differenzengleichungen sind Folgeglieder der Wertefolge im zeitlichen Abstand D t T A displaystyle Delta t T A nbsp und damit Berechnungspunkte einer Funktion bedeuten aber keinen geschlossenen Funktionsverlauf Erst bei einem Digitalregler bei dem je ein Folgeglied der Ausgangsfolge uber einen A D Wandler in ein Halteglied nullter Ordnung fur den Zeitraum T A displaystyle T A nbsp einfliesst wobei das Halteglied mit jedem Schritt geloscht wird entsteht ein geschlossener Funktionsverlauf Der Funktionsunterschied der Obersumme zur Untersumme bedeutet beispielsweise dass ein Eingangssignal als einzelner d displaystyle delta nbsp Impuls zum Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp und Folge k 0 displaystyle k 0 nbsp in einem zeitdiskreten dynamischen System fur den Zeitraum T A displaystyle T A nbsp also zwischen k 0 displaystyle k 0 nbsp und k 1 displaystyle k 1 nbsp wirksam wird Differenzengleichungen nach der Untersumme konnen diesen d displaystyle delta nbsp Impuls nicht erfassen Die Wertefolge der mit Differenzengleichungen berechneten Ausgangsfolge der Funktion der Untersumme unterscheiden sich von denen der Obersumme dass die Wertefolge der Untersumme um einen Folgeschritt verzogert ist Grundlagen der digitalen Regler mit Hilfe der z Transformation Online Prozess Bearbeiten Die Schnittstellen des Digitalreglers einschliesslich der Abtastung mit der Haltestufe sind identisch mit dem oben aufgefuhrten Verfahren Die z Transformation ist aus der Laplace Transformation entstanden um fur die digitale Systemberechnung Abtastfolgen zu transformieren und damit berechenbar zu machen Die z Transformation ist eine Transformation von Abtastfolgen die ahnliche Eigenschaften aufweist wie die Laplace Transformation zur Behandlung von Differenzialgleichungen Mit den Methoden der z Transformation lassen sich Differenzengleichungen von abgetasteten Signalfolgen ermitteln 4 Der digitale Regler wirkt in Verbindung mit den Schnittstellen zu einer meist kontinuierlich wirkenden analogen Regelstrecke als Computerprogramm das die Stellgrosse fortlaufend im Abstand der Abtastzeit TA die Stellgrosse fur die Regelstrecke berechnet Der Regleralgorithmus ist mit der Abtastfolge und Reglerfunktion als z Ubertragungsfunktion festgelegt Es handelt sich bei der Gewinnung des Regelalgorithmus mit Hilfe der z Ubertragungsfunktionen um ein vollig anderes Berechnungsverfahren als das der Rechteck Approximation nach Euler Ruckwarts zur Erstellung von Differenzengleichungen In der z Ubertragungsfunktion wird das diskrete abtastspezifische Zeitverhalten einer Abtastfolge wie Haltefunktionen D A Wandlung A D Wandlung und Rechenzeit mit dem gewunschten Regelalgorithmus zusammengefasst Die inverse z Transformation der z Ubertragungsfunktion ergibt die benotigte Differenzengleichung f k displaystyle f k nbsp Entsprechend den Eigenschaften der z Transformation F z displaystyle F z nbsp ergeben sich folgende Operationen Spezielle Rechenoperationen Rechtsverschiebung Linksverschiebung Differenzensatz Summensatz usw zuruckliegende Berechnungsfolgen sind zu speichern Uberfuhrung des dynamischen Systems als z Ubertragungsfunktion Eigenschaften des z Bildbereichs ahnlich der Laplace Transformation z Blockdarstellung von reihen und parallelgeschalteten Systemen Pol Nullstellenzerlegung Stabilitatsbetrachtung Berechnungsregeln und die Uberfuhrung vom z Bildbereich in den diskreten Zeitbereich f k displaystyle f k nbsp Die prinzipielle Anwendung der z Transformation fur den Regelalgorithmus lautet wie folgt Die Abtastfolgen mit Haltestufe des Eingangssignals werden transformiert als z Ubertragungsfunktion H z displaystyle H z nbsp Die Differenzengleichung f k T A displaystyle f k cdot T A nbsp des gewunschten Reglerverhaltens wird transformiert als z Ubertragungsfunktion G z displaystyle G z nbsp Die z transformierten Systeme werden algebraisch entsprechend den z Rechenregeln zusammengefasst Mit der inversen z Transformation des z Produktes von Signal und Regelalgorithmus entsteht der Berechnungsalgorithmus des digitalen Reglers Die Analyse und die Synthese diskreter Signale und Systeme lasst sich mit der z Transformation erleichtern setzt aber auch umfangreiches mathematisches Spezialwissen voraus dass zum Teil auf ahnliche Regeln wie bei der Laplace Transformation aufgebaut ist displaystyle to nbsp Siehe auch z Transformation Anwendung der z Ubertragungsfunktion fur einen digitalen PI Regler mit Abtastfunktion und Halteglied Strategie der Reglerparametrierung Bearbeiten Tabelle der Entwurfsstrategie von Regelkreisen bei Anwendung der Standardregler Funktion AusfuhrungIdentifikation der RegelstreckeSiehe Artikel Regelstrecke Normierte Sprungantwort oder normierte d displaystyle delta nbsp Impulsantwort der Regelstrecke grafisch aufzeichnen Mit Differenzengleichungen das Zeitverhalten fur Verzogerungsglieder erster Ordnung der aufgezeichneten Sprung oder Impulsantwort nachbilden Bei Regelstrecken mit Verzogerungen gt 2 Ordnung das Zeitverhalten als Totzeit nachbilden Bei Regelstrecken mit globalem I Verhalten Gradient feststellen und uber Differenzengleichung nachbilden Pol Nullstellen Kompensation Im s Bereich kompensieren PD1 Glieder des Reglers die PT1 Glieder der Regelstrecke bei gleichen Zeitkonstanten vollstandig Das gilt auch im zeitdiskreten Bereich fur die Systembeschreibung mit Differenzengleichungen Fur die PI und PID Reglerstrukturen empfehlen sich die Differenzengleichungen der Reihenstruktur weil diese PD Glieder enthalten Abweichungen der Zeitkonstanten der Teilsysteme des Reglers von den dominanten Teilsystemen der Regelstrecke mit ca 10 der Zeitkonstanten die durch materielle Alterung oder der schwierigen Identifikation des Streckenmodells herruhren konnen sind akzeptierbar P und PD Regler P und PD Regler sind schnelle Regler fur einfache Regelstrecken bzw Regelstrecken mit globalem I Verhalten Es ist zu beachten dass beim Einsatz von P und PD Reglern relativ hohe Verstarkungen gewahlt werden konnen ohne dass es im Regelkreis zur Schwingneigung kommen muss Selten konnen hohe P Verstarkungen bei gegebenen Regelstrecken realisiert werden was zur Stellgrossenbegrenzungen fuhrt Damit wird das Ubertragungsverhalten des Regelkreises trage und nichtlinear die Ubertragungsfunktion G s des geschlossenen Regelkreises ist damit ungultig In der numerischen Simulation der einzelnen Teilsysteme des Regelkreises mit der Schliessbedingung ist laut der gespeicherten tabellarischen Darstellung dieser Effekt sichtbar wenn bekannt ist ab welcher Hohe die Stellgrosse der Hardware Regelstrecke in die Begrenzung geht Die zulassige P Verstarkung bestimmt bei Strecken ohne I Verhalten die Grosse der statischen Regelabweichung Regler ohne statische Regelabweichung Soll die statische Regelabweichung gegen Null gehen benotigt der Regler einen I Anteil I PI und PID Regler sind keine schnellen Regler jedoch ist die P Verstarkung abhangig von den Verzogerungen der Regelstrecke und von der Grosse einer evtl vorhandenen Totzeit Bei Reglern mit I Anteil konnen selten hohe P Verstarkungen realisiert werden Der Regelkreis neigt wegen der zusatzlichen Polstelle mit 90 Phasenwinkel bei relativ kleiner P Verstarkung des Reglers leicht zum Schwingen Regelstrecken mit Totzeit Regelstrecken mit nennenswertem Anteil der Totzeit erfordern einen PI Regler oder im Extremfall einen I Regler Einstellung der P Verstarkung Die P Verstarkung des Regelkreises mit dem Faktor K kann durch Simulation mit dem gewahlten Regler und dem zu erfassendem Modell der Regelstrecke in einem Personal Computer gemass den gewunschten Kenngrossen der Ubergangsfunktion Sprungantwort der Regelgrosse eines gedampft schwingenden Systems bestimmt werden Digitale Regler bei schnellen Regelstrecken Bei der Simulation eines Regelkreises mit digitalen Reglern ist das Totzeitverhalten der Schnittstellen des Mikrocomputers zu berucksichtigen das der Regelstrecke zugeordnet werden kann Tabellarische Gegenuberstellung der Verfahren der numerischen Berechnung im Offline und Online Prozess Bearbeiten Mit diesen Angaben zeigt sich ein wesentlicher Unterschied zwischen dem Offline Prozess und dem Online Prozess Die Offline Berechnung eines dynamischen Systems beziehungsweise eines aus Regler und Regelstrecke bestehenden Regelkreises hat kein Zeitverhalten sie konnte auch mit einem Taschenrechner ohne Beeintrachtigung der Genauigkeit durchgefuhrt werden Fur die Offline Berechnung Simulation eines realen Regelkreises mit einem Digitalregler muss das Zeitverhalten der Schnittstellen des Digitalreglers als Totzeit berucksichtigt werden Die Online Berechnung des Digitalreglers hat innerhalb jeder Abtastfolge Totzeiten die sich durch die erforderlichen Schnittstellen der Signalwandlung im Eingang und Ausgang im Halteglied sowie durch die Rechenzeit der Berechnung der Differenzengleichungen ergeben Soweit es sich um die Regelung schneller Regelstrecken z B Dominante Zeitkonstante T D displaystyle T D nbsp 1 s der Regelstrecke handelt sind schnelle Komponenten der Wandler und des Mikrocomputers erforderlich um die Ersatztotzeit im Verhaltnis zur dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke und zur Abtastzeit klein zu halten Numerische Berechnung dynamischer Systeme Offline Prozess Differenzengleichungen nach dem Euler Ruckwartsverfahren Regelung mit Digitalreglern Online Prozess Differenzengleichungen nach dem Euler Ruckwartsverfahren Dynamisches System Steuerstrecke oder Regelkreis Gemischte lineare und nichtlineare Systeme lassen sich simulieren Dynamisches System Digitalregler wirkt auf eine analoge Regelstrecke Digitale Regler fur beliebige Anwendungen sind moglich System Eingangsgrosse Bei dynamischen Systemen als Testsignal u k Bei Regelkreisen die Fuhrungsgrosse als Testsignal w k System Eingangsgrosse Bei Vorgabe der analogen Regelabweichung e t w t y t e t wird als Eingangsfolge abgetastet und digitalisiert als e k System Ausgangsfolge y k Die Ausgangsfolge sind Zahlenwerte der Folge k y k displaystyle y k nbsp vereinfachte Schreibweise fur y k D t displaystyle y k cdot Delta t nbsp Reglerausgangsfolge u k u k sind Zahlenwerte der Folge k u k wird nach der D A Wandlung eine gestufte analoge Grosse u t Spannung Abtastfolge k bedeutet Nummerierung der Folgeglieder k 0 1 2 3 k m a x displaystyle k 0 1 2 3 dots k mathrm max nbsp im Abstand D t displaystyle Delta t nbsp Abtastfolge k bedeutet Nummerierung der Folgeglieder k 0 1 2 3 displaystyle k 0 1 2 3 dots infty nbsp im zeitlichen Abstand TA Diskrete Zeit D t displaystyle Delta t nbsp D t displaystyle Delta t nbsp ist ein Parameter der Zeit keine reale Zeit Abtastzeit T A displaystyle T A nbsp T A displaystyle T A nbsp ist eine reale Zeit Grosse der diskreten Zeit D t displaystyle Delta t nbsp Z B D t 1 100 b i s 1 1000 displaystyle Delta t 1 100 bis 1 1000 nbsp der dominanten Systemzeitkonstante Grosse der Abtastfolge TA T A D t displaystyle T A Delta t nbsp Z B T A 1 10 b i s 1 100 displaystyle T A 1 10 bis 1 100 nbsp der dominanten Zeitkonstante der Regelstrecke Differenzengleichungen z B Methode Euler Ruckwartsy k f Dyn System u k y k 1 k D t displaystyle y k f text Dyn System u k y k 1 k Delta t nbsp vorhergehende Rechenfolge y k 1 displaystyle y k 1 nbsp Benotigt werden Differenzengl der Teilsysteme von Regler und Strecke Differenzengleichungen z B Methode Euler Ruckwartsu k f Reglersystem e k u k 1 k D t displaystyle u k f text Reglersystem e k u k 1 k Delta t nbsp vorhergehende Rechenfolge u k 1 displaystyle u k 1 nbsp Benotigt werden die Differenzengleichungen der Teilsysteme des Digitalreglers Berechnungsvorgang tabellarischDen Ubertragungsfunktionen 1 Ordn sind Differenzengleichungenzugeordnet Jede Zeile berechnet die Differenzengleichungen allerTeilsysteme Es existieren kmax 1 Glieder Zeilen Ausgangsfolge Nur 2 wechselnde aktuelle Glieder der Ausgangsfolge sind relevant u k displaystyle u k nbsp und u k 1 displaystyle u k 1 nbsp Samtliche Zeilen werden als Protokoll gespeichert Berechnungsvorgang kontinuierlich Die Abtastfolge startet im zeitlichen Abstand TA die Berechnung der Teilsysteme des Digitalreglers mit den zugehorigen Differenzengleichungen Nur 2 wechselnde aktuelle Glieder der Ausgangsfolge sind relevant u k displaystyle u k nbsp und u k 1 displaystyle u k 1 nbsp Jedes Glied der Ausgangsfolge wird zu einer quasi analogen Stellgrosse f t verarbeitet Schnittstellen keineEingangssignal u k displaystyle u k nbsp oder w k displaystyle w k nbsp fur alle Folgen k 0 displaystyle k 0 nbsp bis k m a x displaystyle k mathrm max nbsp Ausgangssignal y k displaystyle y k nbsp fur alle Folgen k 0 displaystyle k 0 nbsp bis k m a x displaystyle k mathrm max nbsp Schnittstellen fur analoge Regelabweichung e t displaystyle e t nbsp Im Eingang AD Wandler kurze Halteglied Funktion fur Berechnungsdauer Im Ausgang DA Wandler mit Halteglied fur gestufte analoge Stellgrosse u t displaystyle u t nbsp Totzeit der numerischen Berechnung keine durch das Verfahren bedingt Gilt fur Euler Ruckwarts Verfahren der Obersumme Das Totzeitverhalten der Regelstrecke kann nachgebi |