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Runge Kutta Verfahren Die nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta benannten s displaystyle s stufigen sind Einschrittve

Runge-Kutta-Verfahren

Die nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta benannten -stufigen Runge-Kutta-Verfahren sind Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung von Anfangswertproblemen in der numerischen Mathematik. Wenn von dem Runge-Kutta-Verfahren gesprochen wird, ist in der Regel das klassische Runge-Kutta-Verfahren gemeint; dieses bildet jedoch nur einen Spezialfall dieser Familie von Verfahren.

Einige Runge-Kutta-Verfahren im Vergleich.

Allgemeine Formulierung Bearbeiten

Gegeben sei ein Anfangswertproblem:

mit exakter Lösung . Die exakte Lösung kann im Allgemeinen nicht oder nicht effizient angegeben werden, weshalb man sich mit einer Näherung an diskreten Stellen begnügt. Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung dieser Näherung, zum Beispiel Einschrittverfahren, wie diese Runge-Kutta-Verfahren, oder Mehrschrittverfahren.

Die -stufigen Runge-Kutta-Verfahren sind Einschrittverfahren, die durch Ausdrücke der folgenden Art gegeben sind:

Dabei bezeichnet die Schrittweite zwischen den aufeinanderfolgenden Stützstellen und . Die Koeffizienten definieren das jeweilige Verfahren und können als Gewichte der Quadraturformel für das Integral interpretiert werden. Die Größen bezeichnet man als Zwischenschritte, sie entsprechen Auswertungen der rechten Seite an bestimmten Knoten:

Die und sind weitere für das Verfahren charakteristische Koeffizienten und können als Knoten und Gewichte der Quadraturformeln zur Berechnung der verstanden werden.

Ein allgemeines Runge-Kutta-Verfahren ist implizit, es müssen also zur Bestimmung der (lineare oder nichtlineare, je nach Aufbau von ) Gleichungssysteme gelöst werden, weil in der Formel für sowohl links wie auch rechts alle vorkommen. Gilt aber für alle , dann ist das Verfahren explizit, d. h. man muss kein Gleichungssystem lösen: Denn dann kann man jedes aus den vorher bestimmten mit ermitteln.

Die Steuerung der Schrittweite ist von besonderem Interesse. Man kann sich leicht vorstellen, dass die Funktion in Bereichen, in denen nur geringe Änderungen zwischen und vorliegen, mit weniger Rechenschritten auskommt als in solchen, in denen schnelle Änderungen vorliegen.

Beispiel Bearbeiten

Ein Beispiel ist das dreistufige Runge-Kutta-Verfahren: mit den Zwischenstufen

Butcher-Tableau Bearbeiten

Man kann die charakteristischen Koeffizienten , , übersichtlich im Runge-Kutta-Tableau (auch Butcher-Schema, -Tableau oder engl. Butcher array genannt) anordnen. Hierbei ist die Matrix A bei einem expliziten Verfahren eine strikte untere Dreiecksmatrix (Nilpotente Dreiecksmatrix).

Konsistenzordnung und Konvergenzordnung Bearbeiten

Eine wichtige Eigenschaft zum Vergleich von Verfahren ist die Konsistenzordnung, die auf dem Begriff des lokalen Diskretisierungsfehlers beruht. Dabei ist die numerische Lösung nach einem Schritt und die exakte Lösung. Ein Einschrittverfahren heißt konsistent von der Ordnung (hat Konsistenzordnung ), falls für den lokalen Diskretisierungsfehler gilt:

Die Konsistenzordnung kann durch Taylorentwicklung von oder der exakten und numerischen Lösung bestimmt werden. Allgemein gilt:

Bei Einschrittverfahren wie den Runge-Kutta-Verfahren gilt sogar, sofern und die Verfahrensvorschrift Lipschitz-stetig sind:

Aus der Konsistenzbedingung (z. B. soll das Verfahren Ordnung 4 haben) ergeben sich Konsistenzgleichungen (engl. conditions) für die Koeffizienten des Runge-Kutta-Verfahrens. Die Gleichungen und ihre Anzahl können mit Hilfe von Taylorentwicklung oder der Theorie der Butcher-Bäume ermittelt werden. Mit zunehmender Ordnung wächst die Zahl der zu lösenden nicht-linearen Konsistenzgleichungen schnell an. Das Aufstellen der Konsistenzgleichungen ist bereits nicht einfach, kann jedoch mit Hilfe der Butcher-Bäume von Computeralgebrasystemen erledigt werden. Das Lösen ist allerdings noch schwieriger und bedarf Erfahrung und Fingerspitzengefühl, um „gute“ Koeffizienten zu erhalten.

Ein explizites -stufiges Runge-Kutta-Verfahren hat höchstens Konvergenzordnung , ein implizites dagegen bis zu .

Um die Genauigkeit eines Ergebnisses zu verbessern, gibt es zwei Möglichkeiten:

  1. Man kann die Schrittweite verkleinern, das heißt, man erhöht die Anzahl der Diskretisierungspunkte.
  2. Man kann Verfahren höherer Konvergenzordnung wählen.

Welche Strategie die bessere ist, hängt von der konkreten Problemstellung ab, die Erhöhung der Konvergenzordnung ist allerdings nur bis zu einer bestimmten Grenze sinnvoll, da wegen der Butcher-Schranken die Stufenzahl schneller wächst als die Ordnung . Für existiert beispielsweise kein explizites -stufiges RKV der Konvergenzordnung .

Implizite Runge-Kutta-Verfahren Bearbeiten

Explizite Verfahren haben den Vorteil, dass die Stufen durch sukzessives Einsetzen berechenbar sind, beim impliziten Verfahren muss dagegen je nach Form der rechten Seite ein lineares oder nichtlineares Gleichungssystem mit Unbekannten gelöst werden, was pro Zeitschritt einen wesentlich höheren Aufwand darstellt. Der Grund, warum implizite Verfahren überhaupt in Betracht gezogen werden, ist, dass explizite Runge-Kutta-Verfahren stets ein beschränktes Stabilitätsgebiet haben, während implizite Runge-Kutta-Verfahren für praktisch beliebig hohe Ordnungen A-stabil sein können und damit Einschränkungen an den Zeitschritt nur aufgrund von Genauigkeitsüberlegungen und nicht aufgrund von Stabilitätsbeschränkungen notwendig sind. Dies ist insbesondere bei steifen Anfangswertproblemen und differentiell-algebraischen Gleichungen interessant.

Die maximale Ordnung eines -stufigen Runge-Kutta-Verfahrens ist . Diese wird ausschließlich durch die Gauß-Legendre-Verfahren erzielt, bei denen die Quadraturformeln zur Konstruktion des Runge-Kutta-Verfahren den Gauß-Legendre-Formeln entsprechen. Ordnung wird etwa mittels Radau-Formeln erzielt, die Runge-Kutta-Verfahren heißen dann Radau-Verfahren, während Ordnung über Lobatto-Formeln erzielt wird, die Verfahren heißen dann Lobatto-Verfahren.

Um die Lösung eines Gleichungssystems mit Unbekannten zu umgehen, werden häufig Diagonal Implizite Runge-Kutta-Verfahren (kurz DIRK) genutzt. Dabei hat die Matrix im Butcher-Array Dreieckform, alle Einträge rechts oberhalb der Diagonalen sind also Null. Dies entkoppelt das große Gleichungssystem in eine Sequenz von Gleichungssystemen. Ist darüber hinaus der Koeffizient auf der Diagonalen konstant, spricht man von einem SDIRK-Verfahren (für singly diagonal). Sind die Koeffizienten in der letzten Zeile von identisch mit denen des Vektors , so wird etwas Aufwand gespart, insbesondere sind die Verfahren dann aber auch L-stabil. Diese Vereinfachung geschieht auf Kosten der maximalen Ordnung: -stufige DIRK-Verfahren haben maximal Ordnung , wobei dieses Maximum nicht für beliebige Stufen erreicht werden kann. Die in der Praxis verwandten Verfahren haben in der Regel Ordnung oder weniger.

Als Alternative zu DIRK-Verfahren haben sich noch die linear impliziten Verfahren etabliert, insbesondere die Rosenbrock-Wanner-Verfahren, bei denen die nichtlinearen Gleichungen durch lineare angenähert werden.

Zeitschrittweitensteuerung: Eingebettete Verfahren Bearbeiten

Um die Effizienz der Verfahren zu erhöhen, ist es sinnvoll, den Zeitschritt einer Fehlertoleranz anzupassen. Runge-Kutta-Verfahren bieten hierzu über eingebettete Verfahren eine relativ einfache Möglichkeit. Diese bestehen aus einem zweiten Satz an Koeffizienten für ein zweites Verfahren:

wobei die Koeffizienten so gewählt werden, dass sich ein schlechteres Verfahren, konkret ein Verfahren von niedrigerer Ordnung ergibt als das ursprüngliche. Dann ist die Differenz

eine Schätzung des lokalen Fehlers des ursprünglichen Verfahrens von der Ordnung wie das eingebettete Verfahren. Zur Berechnung sind keine neuen Funktionsauswertungen notwendig, sondern nur Linearkombinationen der bereits berechneten . Die Bestimmung einer neuen Zeitschrittweite aus dem Fehlerschätzer kann über verschiedene Schrittweitensteuerungen erfolgen.

Im expliziten Fall sind die bekanntesten eingebetteten Verfahren die Runge-Kutta-Fehlberg- sowie die Dormand-Prince-Formeln (DOPRI).

Geschichte Bearbeiten

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Einzelnachweis für Anzahl der Stufen (10 oder 11?) für Hairers Verfahren, siehe Diskussion

Die ersten Runge-Kutta-Verfahren wurden um 1900 von Karl Heun, Martin Wilhelm Kutta, und Carl Runge entwickelt. In den 1960ern entwickelte John C. Butcher mit den vereinfachenden Bedingungen und dem Butcher-Tableau Werkzeuge, um Verfahren höherer Ordnung zu entwickeln. Ernst Hairer fand 1978 ein Verfahren 8. Ordnung mit zehn Stufen.

Beispiele Bearbeiten

Das explizite Euler-Verfahren (Ordnung 1):

Das implizite Euler-Verfahren (Ordnung 1):

Das Heun-Verfahren (Ordnung 2):

Das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 2:

Das implizite Trapez-Verfahren der Ordnung 2:

Das Runge-Kutta-Verfahren der Ordnung 3 (vgl. Simpsonregel):

Das Heun-Verfahren 3. Ordnung:

Das klassische Runge-Kutta-Verfahren (Ordnung 4):

Literatur Bearbeiten

  • Peter Albrecht: The Runge-Kutta Theory in a Nutshell. In: SIAM Journal on Numerical Analysis. 33, 5, October 1996, ISSN 0036-1429, S. 1712–1735.
  • John C. Butcher: The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations. Runge-Kutta and General Linear Methods. Wiley, Chichester u. a. 1987, ISBN 0-471-91046-5 (A Wiley-Interscience publication).
  • Peter Deuflhard, Folkmar Bornemann: Numerische Mathematik. Band 2: Gewöhnliche Differentialgleichungen. 2. vollständige überarbeitete und erweiterte Auflage. de Gruyter, Berlin 2002, ISBN 3-11-017181-3.
  • Ernst Hairer, Gerhard Wanner: Solving Ordinary Differential Equations. Band 1: Nonstiff Problems. 2. revised edition. Springer Verlag, Berlin u. a. 1993, ISBN 3-540-56670-8 (Springer series in computational mathematics 8), (Auch Nachdruck: ebenda 2008, ISBN 978-3-642-05163-0).
  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations. Band 2: Stiff and differential-algebraic problems. 2. revised edition. Corrected 2. print. Springer Verlag, Berlin u. a. 2002, ISBN 3-540-60452-9 (Springer series in computational mathematics 14), (Auch Nachdruck: ebenda 2010, ISBN 978-3-642-05220-0).
  • Martin Hermann: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen. Band 1: Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme. Walter de Gruyter Verlag, Berlin und Boston 2017, ISBN 978-3-11-050036-3.
  • M. Sofroniou: Symbolic Derivation of Runge-Kutta Methods. In: Journal of Symbolic Computation. 18, 3, September 1994, ISSN 0747-7171, S. 265–296.
  • Karl Strehmel, Rüdiger Weiner: Linear-implizite Runge-Kutta-Methoden und ihre Anwendung. Teubner, Stuttgart u. a. 1992, ISBN 3-8154-2027-X (Teubner-Texte zur Mathematik 127).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. K. Heun: Neue Methoden zur approximativen Integration der Differentialgleichungen einer unabhängigen Veränderlichen, Z. Math. Phys., Band 45, 1900, S. 23–38 (Heun-Verfahren)
  2. W. Kutta: Beitrag zur näherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen, Z. Math. Phys., Band 46, 1901, S. 435–453
  3. C. Runge: Über die numerische Auflösung von Differentialgleichungen, Math. Annalen, Band 46, 1895, S. 167–178, Online
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Die nach Carl Runge und Martin Wilhelm Kutta benannten s displaystyle s stufigen Runge Kutta Verfahren sind Einschrittverfahren zur naherungsweisen Losung von Anfangswertproblemen in der numerischen Mathematik Wenn von dem Runge Kutta Verfahren gesprochen wird ist in der Regel das klassische Runge Kutta Verfahren gemeint dieses bildet jedoch nur einen Spezialfall dieser Familie von Verfahren Einige Runge Kutta Verfahren im Vergleich Inhaltsverzeichnis 1 Allgemeine Formulierung 1 1 Beispiel 2 Butcher Tableau 3 Konsistenzordnung und Konvergenzordnung 4 Implizite Runge Kutta Verfahren 5 Zeitschrittweitensteuerung Eingebettete Verfahren 6 Geschichte 7 Beispiele 8 Literatur 9 Weblinks 10 EinzelnachweiseAllgemeine Formulierung BearbeitenGegeben sei ein Anfangswertproblem y t f t y t y t 0 y 0 y R R d displaystyle y t f left t y t right quad y t 0 y 0 quad y colon mathbb R to mathbb R d nbsp mit exakter Losung y t displaystyle y t nbsp Die exakte Losung kann im Allgemeinen nicht oder nicht effizient angegeben werden weshalb man sich mit einer Naherung y n displaystyle y n nbsp an diskreten Stellen t n displaystyle t n nbsp begnugt Es gibt verschiedene Methoden zur Berechnung dieser Naherung zum Beispiel Einschrittverfahren wie diese Runge Kutta Verfahren oder Mehrschrittverfahren Die s displaystyle s nbsp stufigen Runge Kutta Verfahren sind Einschrittverfahren die durch Ausdrucke der folgenden Art gegeben sind y n 1 y n h j 1 s b j k j displaystyle y n 1 y n h sum j 1 s b j k j nbsp Dabei bezeichnet h displaystyle h nbsp die Schrittweite zwischen den aufeinanderfolgenden Stutzstellen t n displaystyle t n nbsp und t n 1 displaystyle t n 1 nbsp Die Koeffizienten b j displaystyle b j nbsp definieren das jeweilige Verfahren und konnen als Gewichte der Quadraturformel fur das Integral t n t n 1 f t y t d t displaystyle textstyle int t n t n 1 f t y t mathrm d t nbsp interpretiert werden Die Grossen k j displaystyle k j nbsp bezeichnet man als Zwischenschritte sie entsprechen Auswertungen der rechten Seite f displaystyle f nbsp an bestimmten Knoten k j f t n h c j y n h l 1 s a j l k l j 1 s displaystyle k j f left t n hc j y n h sum l 1 s a jl k l right j 1 s nbsp Die c j displaystyle c j nbsp und a j l displaystyle a jl nbsp sind weitere fur das Verfahren charakteristische Koeffizienten und konnen als Knoten und Gewichte der Quadraturformeln zur Berechnung der k j displaystyle k j nbsp verstanden werden Ein allgemeines Runge Kutta Verfahren ist implizit es mussen also zur Bestimmung der k j displaystyle k j nbsp lineare oder nichtlineare je nach Aufbau von f displaystyle f nbsp Gleichungssysteme gelost werden weil in der Formel fur k j displaystyle k j nbsp sowohl links wie auch rechts alle k displaystyle k nbsp vorkommen Gilt aber a j l 0 displaystyle a jl 0 nbsp fur alle l j displaystyle l geq j nbsp dann ist das Verfahren explizit d h man muss kein Gleichungssystem losen Denn dann kann man jedes k j displaystyle k j nbsp aus den vorher bestimmten k l displaystyle k l nbsp mit l lt j displaystyle l lt j nbsp ermitteln Die Steuerung der Schrittweite h displaystyle h nbsp ist von besonderem Interesse Man kann sich leicht vorstellen dass die Funktion in Bereichen in denen nur geringe Anderungen zwischen y n 1 displaystyle y n 1 nbsp und y n displaystyle y n nbsp vorliegen mit weniger Rechenschritten auskommt als in solchen in denen schnelle Anderungen vorliegen Beispiel Bearbeiten Ein Beispiel ist das dreistufige Runge Kutta Verfahren y n 1 y n h 1 6 k 1 4 6 k 2 1 6 k 3 displaystyle textstyle y n 1 y n h cdot frac 1 6 k 1 frac 4 6 k 2 frac 1 6 k 3 nbsp mit den Zwischenstufen k 1 f t n y n displaystyle k 1 f t n y n quad nbsp k 2 f t n h 2 y n h 2 k 1 displaystyle k 2 f left t n frac h 2 y n frac h 2 k 1 right quad nbsp k 3 f t n h y n h k 1 2 h k 2 displaystyle k 3 f t n h y n hk 1 2hk 2 quad nbsp Butcher Tableau BearbeitenMan kann die charakteristischen Koeffizienten c j displaystyle c j nbsp b j displaystyle b j nbsp a j l displaystyle a jl nbsp ubersichtlich im Runge Kutta Tableau auch Butcher Schema Tableau oder engl Butcher array genannt anordnen Hierbei ist die Matrix A bei einem expliziten Verfahren eine strikte untere Dreiecksmatrix Nilpotente Dreiecksmatrix c A b T c 1 a 11 a 12 a 1 s c 2 a 21 a 22 a 2 s c s a s 1 a s 2 a s s b 1 b 2 b s displaystyle begin array c c mathbf c amp A hline amp mathbf b T end array begin array c cccc c 1 amp a 11 amp a 12 amp dots amp a 1s c 2 amp a 21 amp a 22 amp dots amp a 2s vdots amp vdots amp vdots amp ddots amp vdots c s amp a s1 amp a s2 amp dots amp a ss hline amp b 1 amp b 2 amp dots amp b s end array nbsp c c 1 c j c s b b 1 b j b s A a 11 a 1 l a 1 s a j 1 a j l a j s a s 1 a s l a s s displaystyle c begin bmatrix c 1 vdots c j vdots c s end bmatrix quad b begin bmatrix b 1 vdots b j vdots b s end bmatrix quad A begin bmatrix a 11 amp dots amp a 1l amp dots amp a 1s vdots amp ddots amp vdots amp ddots amp vdots a j1 amp dots amp a jl amp dots amp a js vdots amp ddots amp vdots amp ddots amp vdots a s1 amp dots amp a sl amp dots amp a ss end bmatrix nbsp Konsistenzordnung und Konvergenzordnung BearbeitenEine wichtige Eigenschaft zum Vergleich von Verfahren ist die Konsistenzordnung die auf dem Begriff des lokalen Diskretisierungsfehlers t y n 1 y t n 1 displaystyle tau y n 1 y t n 1 nbsp beruht Dabei ist y n 1 displaystyle y n 1 nbsp die numerische Losung nach einem Schritt und y t n 1 displaystyle y t n 1 nbsp die exakte Losung Ein Einschrittverfahren heisst konsistent von der Ordnung p displaystyle p nbsp hat Konsistenzordnung p displaystyle p nbsp falls fur den lokalen Diskretisierungsfehler gilt t O h p 1 displaystyle tau leq mathcal O h p 1 nbsp Zur Notation siehe Landau Symbole Die Konsistenzordnung kann durch Taylorentwicklung von t displaystyle tau nbsp oder der exakten und numerischen Losung bestimmt werden Allgemein gilt Konsistenzordnung p displaystyle p nbsp und Stabilitat displaystyle Rightarrow nbsp Konvergenzordnung p displaystyle p nbsp Bei Einschrittverfahren wie den Runge Kutta Verfahren gilt sogar sofern f displaystyle f nbsp und die Verfahrensvorschrift Lipschitz stetig sind Konsistenzordnung p displaystyle p nbsp displaystyle Rightarrow nbsp Konvergenzordnung p displaystyle p nbsp Aus der Konsistenzbedingung z B soll das Verfahren Ordnung 4 haben ergeben sich Konsistenzgleichungen engl conditions fur die Koeffizienten des Runge Kutta Verfahrens Die Gleichungen und ihre Anzahl konnen mit Hilfe von Taylorentwicklung oder der Theorie der Butcher Baume ermittelt werden Mit zunehmender Ordnung wachst die Zahl der zu losenden nicht linearen Konsistenzgleichungen schnell an Das Aufstellen der Konsistenzgleichungen ist bereits nicht einfach kann jedoch mit Hilfe der Butcher Baume von Computeralgebrasystemen erledigt werden Das Losen ist allerdings noch schwieriger und bedarf Erfahrung und Fingerspitzengefuhl um gute Koeffizienten zu erhalten Ein explizites s displaystyle s nbsp stufiges Runge Kutta Verfahren hat hochstens Konvergenzordnung s displaystyle s nbsp ein implizites dagegen bis zu 2 s displaystyle 2s nbsp Um die Genauigkeit eines Ergebnisses zu verbessern gibt es zwei Moglichkeiten Man kann die Schrittweite verkleinern das heisst man erhoht die Anzahl der Diskretisierungspunkte Man kann Verfahren hoherer Konvergenzordnung wahlen Welche Strategie die bessere ist hangt von der konkreten Problemstellung ab die Erhohung der Konvergenzordnung ist allerdings nur bis zu einer bestimmten Grenze sinnvoll da wegen der Butcher Schranken die Stufenzahl s displaystyle s nbsp schneller wachst als die Ordnung p displaystyle p nbsp Fur s 5 displaystyle s geq 5 nbsp existiert beispielsweise kein explizites s displaystyle s nbsp stufiges RKV der Konvergenzordnung q s displaystyle q s nbsp Implizite Runge Kutta Verfahren BearbeitenExplizite Verfahren haben den Vorteil dass die Stufen durch sukzessives Einsetzen berechenbar sind beim impliziten Verfahren muss dagegen je nach Form der rechten Seite f R d displaystyle f in mathbb R d nbsp ein lineares oder nichtlineares Gleichungssystem mit s d displaystyle s cdot d nbsp Unbekannten gelost werden was pro Zeitschritt einen wesentlich hoheren Aufwand darstellt Der Grund warum implizite Verfahren uberhaupt in Betracht gezogen werden ist dass explizite Runge Kutta Verfahren stets ein beschranktes Stabilitatsgebiet haben wahrend implizite Runge Kutta Verfahren fur praktisch beliebig hohe Ordnungen A stabil sein konnen und damit Einschrankungen an den Zeitschritt nur aufgrund von Genauigkeitsuberlegungen und nicht aufgrund von Stabilitatsbeschrankungen notwendig sind Dies ist insbesondere bei steifen Anfangswertproblemen und differentiell algebraischen Gleichungen interessant Die maximale Ordnung eines s displaystyle s nbsp stufigen Runge Kutta Verfahrens ist 2 s displaystyle 2s nbsp Diese wird ausschliesslich durch die Gauss Legendre Verfahren erzielt bei denen die Quadraturformeln zur Konstruktion des Runge Kutta Verfahren den Gauss Legendre Formeln entsprechen Ordnung 2 s 1 displaystyle 2s 1 nbsp wird etwa mittels Radau Formeln erzielt die Runge Kutta Verfahren heissen dann Radau Verfahren wahrend Ordnung 2 s 2 displaystyle 2s 2 nbsp uber Lobatto Formeln erzielt wird die Verfahren heissen dann Lobatto Verfahren Um die Losung eines Gleichungssystems mit s d displaystyle s cdot d nbsp Unbekannten zu umgehen werden haufig Diagonal Implizite Runge Kutta Verfahren kurz DIRK genutzt Dabei hat die Matrix A displaystyle A nbsp im Butcher Array Dreieckform alle Eintrage rechts oberhalb der Diagonalen sind also Null Dies entkoppelt das grosse Gleichungssystem in eine Sequenz von s displaystyle s nbsp Gleichungssystemen Ist daruber hinaus der Koeffizient auf der Diagonalen konstant spricht man von einem SDIRK Verfahren fur singly diagonal Sind die Koeffizienten in der letzten Zeile von A displaystyle A nbsp identisch mit denen des Vektors b displaystyle b nbsp so wird etwas Aufwand gespart insbesondere sind die Verfahren dann aber auch L stabil Diese Vereinfachung geschieht auf Kosten der maximalen Ordnung s displaystyle s nbsp stufige DIRK Verfahren haben maximal Ordnung s 1 displaystyle s 1 nbsp wobei dieses Maximum nicht fur beliebige Stufen erreicht werden kann Die in der Praxis verwandten Verfahren haben in der Regel Ordnung s displaystyle s nbsp oder weniger Als Alternative zu DIRK Verfahren haben sich noch die linear impliziten Verfahren etabliert insbesondere die Rosenbrock Wanner Verfahren bei denen die nichtlinearen Gleichungen durch lineare angenahert werden Zeitschrittweitensteuerung Eingebettete Verfahren BearbeitenUm die Effizienz der Verfahren zu erhohen ist es sinnvoll den Zeitschritt einer Fehlertoleranz anzupassen Runge Kutta Verfahren bieten hierzu uber eingebettete Verfahren eine relativ einfache Moglichkeit Diese bestehen aus einem zweiten Satz an Koeffizienten b displaystyle hat b nbsp fur ein zweites Verfahren y n 1 y n h j 1 s b j k j displaystyle hat y n 1 y n h sum j 1 s hat b j k j nbsp wobei die Koeffizienten so gewahlt werden dass sich ein schlechteres Verfahren konkret ein Verfahren von niedrigerer Ordnung ergibt als das ursprungliche Dann ist die Differenz y n 1 y n 1 h j 1 s b j b j k j displaystyle y n 1 hat y n 1 h sum j 1 s b j hat b j k j nbsp eine Schatzung des lokalen Fehlers des ursprunglichen Verfahrens von der Ordnung wie das eingebettete Verfahren Zur Berechnung sind keine neuen Funktionsauswertungen notwendig sondern nur Linearkombinationen der bereits berechneten k j displaystyle k j nbsp Die Bestimmung einer neuen Zeitschrittweite aus dem Fehlerschatzer kann uber verschiedene Schrittweitensteuerungen erfolgen Im expliziten Fall sind die bekanntesten eingebetteten Verfahren die Runge Kutta Fehlberg sowie die Dormand Prince Formeln DOPRI Geschichte Bearbeiten nbsp Dieser Artikel oder nachfolgende Abschnitt ist nicht hinreichend mit Belegen beispielsweise Einzelnachweisen ausgestattet Angaben ohne ausreichenden Beleg konnten demnachst entfernt werden Bitte hilf Wikipedia indem du die Angaben recherchierst und gute Belege einfugst Einzelnachweis fur Anzahl der Stufen 10 oder 11 fur Hairers Verfahren siehe Diskussion Die ersten Runge Kutta Verfahren wurden um 1900 von Karl Heun 1 Martin Wilhelm Kutta 2 und Carl Runge 3 entwickelt In den 1960ern entwickelte John C Butcher mit den vereinfachenden Bedingungen und dem Butcher Tableau Werkzeuge um Verfahren hoherer Ordnung zu entwickeln Ernst Hairer fand 1978 ein Verfahren 8 Ordnung mit zehn Stufen Beispiele BearbeitenDas explizite Euler Verfahren Ordnung 1 0 1 displaystyle begin array c c 0 hline amp 1 end array nbsp Das implizite Euler Verfahren Ordnung 1 1 1 1 displaystyle begin array c c 1 amp 1 hline amp 1 end array nbsp Das Heun Verfahren Ordnung 2 0 1 1 1 2 1 2 displaystyle begin array c cc 0 1 amp 1 hline amp frac 1 2 amp frac 1 2 end array nbsp Das Runge Kutta Verfahren der Ordnung 2 0 1 2 1 2 0 1 displaystyle begin array c cc 0 frac 1 2 amp frac 1 2 hline amp 0 amp 1 end array nbsp Das implizite Trapez Verfahren der Ordnung 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 displaystyle begin array c cc 0 1 amp frac 1 2 amp frac 1 2 hline amp frac 1 2 amp frac 1 2 end array nbsp Das Runge Kutta Verfahren der Ordnung 3 vgl Simpsonregel 0 1 2 1 2 1 1 2 1 6 4 6 1 6 displaystyle begin array c ccc 0 frac 1 2 amp frac 1 2 1 amp 1 amp 2 hline amp frac 1 6 amp frac 4 6 amp frac 1 6 end array nbsp Das Heun Verfahren 3 Ordnung 0 1 3 1 3 2 3 0 2 3 1 4 0 3 4 displaystyle begin array c ccc 0 frac 1 3 amp frac 1 3 frac 2 3 amp 0 amp frac 2 3 hline amp frac 1 4 amp 0 amp frac 3 4 end array nbsp Das klassische Runge Kutta Verfahren Ordnung 4 0 1 2 1 2 1 2 0 1 2 1 0 0 1 1 6 1 3 1 3 1 6 displaystyle begin array c cccc 0 amp amp amp amp frac 1 2 amp frac 1 2 amp amp amp frac 1 2 amp 0 amp frac 1 2 amp amp 1 amp 0 amp 0 amp 1 amp hline amp frac 1 6 amp frac 1 3 amp frac 1 3 amp frac 1 6 end array nbsp Literatur BearbeitenPeter Albrecht The Runge Kutta Theory in a Nutshell In SIAM Journal on Numerical Analysis 33 5 October 1996 ISSN 0036 1429 S 1712 1735 John C Butcher The Numerical Analysis of Ordinary Differential Equations Runge Kutta and General Linear Methods Wiley Chichester u a 1987 ISBN 0 471 91046 5 A Wiley Interscience publication Peter Deuflhard Folkmar Bornemann Numerische Mathematik Band 2 Gewohnliche Differentialgleichungen 2 vollstandige uberarbeitete und erweiterte Auflage de Gruyter Berlin 2002 ISBN 3 11 017181 3 Ernst Hairer Gerhard Wanner Solving Ordinary Differential Equations Band 1 Nonstiff Problems 2 revised edition Springer Verlag Berlin u a 1993 ISBN 3 540 56670 8 Springer series in computational mathematics 8 Auch Nachdruck ebenda 2008 ISBN 978 3 642 05163 0 E Hairer G Wanner Solving Ordinary Differential Equations Band 2 Stiff and differential algebraic problems 2 revised edition Corrected 2 print Springer Verlag Berlin u a 2002 ISBN 3 540 60452 9 Springer series in computational mathematics 14 Auch Nachdruck ebenda 2010 ISBN 978 3 642 05220 0 Martin Hermann Numerik gewohnlicher Differentialgleichungen Band 1 Anfangswertprobleme und lineare Randwertprobleme Walter de Gruyter Verlag Berlin und Boston 2017 ISBN 978 3 11 050036 3 M Sofroniou Symbolic Derivation of Runge Kutta Methods In Journal of Symbolic Computation 18 3 September 1994 ISSN 0747 7171 S 265 296 Karl Strehmel Rudiger Weiner Linear implizite Runge Kutta Methoden und ihre Anwendung Teubner Stuttgart u a 1992 ISBN 3 8154 2027 X Teubner Texte zur Mathematik 127 Weblinks BearbeitenHolistic Numerical Methods Institute Runge Kutta Verfahren vierter Ordnung Runge Kutta methods auf Scholarpedia com von John C Butcher Genauigkeit numerischer Integrationsverfahren auf beltoforion deEinzelnachweise Bearbeiten K Heun Neue Methoden zur approximativen Integration der Differentialgleichungen einer unabhangigen Veranderlichen Z Math Phys Band 45 1900 S 23 38 Heun Verfahren W Kutta Beitrag zur naherungsweisen Integration totaler Differentialgleichungen Z Math Phys Band 46 1901 S 435 453 C Runge Uber die numerische Auflosung von Differentialgleichungen Math Annalen Band 46 1895 S 167 178 Online Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Runge Kutta Verfahren amp oldid 228850454