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A Stabilität Ein numerisches Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen heißt A stabil wenn sein Stabilitätsgebiet di

A-Stabilität

Ein numerisches Verfahren zur Lösung von Anfangswertproblemen heißt A-stabil, wenn sein Stabilitätsgebiet die komplette linke Halbebene der komplexen Zahlenebene enthält.

Anders formuliert bedeutet dies, dass das numerische Verfahren bei der Lösung der dahlquistschen Testgleichung

für alle komplexen mit negativem Realteil bei beliebiger Schrittweite eine monoton fallende Folge von Näherungen liefert. Dies impliziert, dass das Verfahren unabhängig von der rechten Seite der Differentialgleichung stabil ist und keine Oszillationen entwickelt. Diese Eigenschaft ist wichtig bei der Lösung von steifen Anfangswertproblemen.

Beispiele von A-stabilen Verfahren sind das implizite Euler-Verfahren, das implizite Trapez-Verfahren, sowie BDF(2).

Der Begriff wurde 1963 von Germund Dahlquist eingeführt. Das A wählte er, da ihm Attribute wie „stark“ oder „super“ als zu abgedroschen vorkamen. Er bewies auch die zweite Dahlquist-Barriere, nach der A-stabile lineare Mehrschrittverfahren nicht von höherer Ordnung als 2 sein können. Implizite Runge-Kutta-Verfahren können dagegen auch bei höherer Ordnung A-stabil sein.

Explizite Runge-Kutta-Verfahren, ebenso wie explizite lineare Mehrschritt-Verfahren haben immer ein beschränktes Stabilitätsgebiet, sind also nie A-stabil.

L-Stabilität Bearbeiten

Fordert man bei einem Verfahren zusätzlich, dass die Stabilitätsfunktion folgende Gleichung erfüllt, nennt man das Verfahren L-stabil:

Dies ist relevant, um Oszillationen schnell dämpfen zu können.

Varianten Bearbeiten

Ein Verfahren heißt A()-stabil, falls das Stabilitätsgebiet den Winkel , ausgehend vom Nullpunkt mit der negativen reellen Achse als Winkelhalbierende, enthält. Damit gibt es rechte Seiten, die dem Verfahren Probleme machen, je nach Größe des Winkels sind dies jedoch sehr wenige, für alle anderen ist der Zeitschritt nicht beschränkt.

BDF-Verfahren sind von Ordnung 3 bis zur Ordnung 6 A()-stabil, wobei der Winkel kleiner wird mit höherer Ordnung.

Literatur Bearbeiten

  • G. Dahlquist: A Special Stability Problem for Linear Multistep Methods in BIT 3 (1), 27–43, 1963
  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag ISBN 3-540-60452-9
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Ein numerisches Verfahren zur Losung von Anfangswertproblemen heisst A stabil wenn sein Stabilitatsgebiet die komplette linke Halbebene der komplexen Zahlenebene enthalt Anders formuliert bedeutet dies dass das numerische Verfahren bei der Losung der dahlquistschen Testgleichung y l y y 0 1 displaystyle y lambda y quad y 0 1 fur alle komplexen l displaystyle lambda mit negativem Realteil bei beliebiger Schrittweite D t displaystyle Delta t eine monoton fallende Folge von Naherungen liefert Dies impliziert dass das Verfahren unabhangig von der rechten Seite der Differentialgleichung stabil ist und keine Oszillationen entwickelt Diese Eigenschaft ist wichtig bei der Losung von steifen Anfangswertproblemen Beispiele von A stabilen Verfahren sind das implizite Euler Verfahren das implizite Trapez Verfahren sowie BDF 2 Der Begriff wurde 1963 von Germund Dahlquist eingefuhrt Das A wahlte er da ihm Attribute wie stark oder super als zu abgedroschen vorkamen Er bewies auch die zweite Dahlquist Barriere nach der A stabile lineare Mehrschrittverfahren nicht von hoherer Ordnung als 2 sein konnen Implizite Runge Kutta Verfahren konnen dagegen auch bei hoherer Ordnung A stabil sein Explizite Runge Kutta Verfahren ebenso wie explizite lineare Mehrschritt Verfahren haben immer ein beschranktes Stabilitatsgebiet sind also nie A stabil L Stabilitat BearbeitenFordert man bei einem Verfahren zusatzlich dass die Stabilitatsfunktion R z displaystyle R z nbsp folgende Gleichung erfullt nennt man das Verfahren L stabil lim Re z R z 0 displaystyle lim operatorname Re z to infty R z 0 nbsp Dies ist relevant um Oszillationen schnell dampfen zu konnen Varianten BearbeitenEin Verfahren heisst A a displaystyle alpha nbsp stabil falls das Stabilitatsgebiet den Winkel a displaystyle alpha nbsp ausgehend vom Nullpunkt mit der negativen reellen Achse als Winkelhalbierende enthalt Damit gibt es rechte Seiten die dem Verfahren Probleme machen je nach Grosse des Winkels sind dies jedoch sehr wenige fur alle anderen ist der Zeitschritt nicht beschrankt BDF Verfahren sind von Ordnung 3 bis zur Ordnung 6 A a displaystyle alpha nbsp stabil wobei der Winkel kleiner wird mit hoherer Ordnung Literatur BearbeitenG Dahlquist A Special Stability Problem for Linear Multistep Methods in BIT 3 1 27 43 1963 E Hairer G Wanner Solving Ordinary Differential Equations II Stiff problems Springer Verlag ISBN 3 540 60452 9 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title A Stabilitat amp oldid 192177486