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Stabilitätsgebiet In der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ist das eines Verfahrens zur Lösung eines Anfangsw

Stabilitätsgebiet

In der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ist das Stabilitätsgebiet eines Verfahrens zur Lösung eines Anfangswertproblems definiert als die Menge der komplexen Zahlen mit und , für die das numerische Verfahren bei der Lösung der dahlquistschen Testgleichung

bei fester Schrittweite eine monoton fallende Folge von Näherungen liefert. Dies impliziert, dass das numerische Verfahren für diese Gleichung und diese Schrittweite stabil ist.

Mit Hilfe der Stabilitätsfunktion eines Verfahrens

mit

ist das Stabilitätsgebiet daher gegeben durch:

Besonders interessant ist der Fall, wenn das Stabilitätsgebiet die komplette linke Halbebene enthält, dann heißt das Verfahren A-stabil.

Beispiele Bearbeiten

Für das explizite Euler-Verfahren: , mit Stabilitätsfunktion: , liegt im Stabilitätsgebiet falls

womit das Stabilitätsgebiet allen Punkten im Inneren eines Kreises mit Mittelpunkt und Radius  in der komplexen Zahlenebene entspricht. Dieses Stabilitätsgebiet ist (wie auch jenes anderer expliziter Verfahren) beschränkt. Daher wird man, auch wenn dies die Genauigkeit gar nicht verlangen würde, zu einer Einschränkung der Schrittweite gezwungen. Dies hat zur Folge, dass implizite Verfahren beim Lösen steifer Differentialgleichungen bevorzugt werden.

Literatur Bearbeiten

  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag
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In der Numerik gewohnlicher Differentialgleichungen ist das Stabilitatsgebiet eines Verfahrens zur Losung eines Anfangswertproblems definiert als die Menge der komplexen Zahlen z l h displaystyle z lambda h mit l C displaystyle lambda in mathbb C und R e l lt 0 displaystyle Re lambda lt 0 fur die das numerische Verfahren bei der Losung der dahlquistschen Testgleichung y l y R e l lt 0 displaystyle y lambda y quad Re lambda lt 0 y t 0 y 0 displaystyle y t 0 y 0 bei fester Schrittweite h displaystyle h eine monoton fallende Folge von Naherungen liefert Dies impliziert dass das numerische Verfahren fur diese Gleichung und diese Schrittweite stabil ist Mit Hilfe der Stabilitatsfunktion eines VerfahrensS C C displaystyle S mathbb C longrightarrow mathbb C mit y N S l h N y 0 displaystyle y N S lambda h N y 0 ist das Stabilitatsgebiet daher gegeben durch z C S z lt 1 displaystyle z in mathbb C S z lt 1 Besonders interessant ist der Fall wenn das Stabilitatsgebiet die komplette linke Halbebene enthalt dann heisst das Verfahren A stabil Beispiele BearbeitenFur das explizite Euler Verfahren y n 1 y n h f t n y n displaystyle y n 1 y n hf t n y n nbsp mit Stabilitatsfunktion S z z 1 displaystyle S z z 1 nbsp liegt z C displaystyle z in mathbb C nbsp im Stabilitatsgebiet falls z 1 lt 1 z 1 2 lt 1 z 3 x i y C x 1 2 y 2 lt 1 displaystyle z 1 lt 1 Leftrightarrow z 1 2 lt 1 Leftrightarrow z in xi x iy in mathbb C x 1 2 y 2 lt 1 nbsp womit das Stabilitatsgebiet allen Punkten im Inneren eines Kreises mit Mittelpunkt 1 displaystyle 1 nbsp und Radius 1 displaystyle 1 nbsp in der komplexen Zahlenebene entspricht Dieses Stabilitatsgebiet ist wie auch jenes anderer expliziter Verfahren beschrankt Daher wird man auch wenn dies die Genauigkeit gar nicht verlangen wurde zu einer Einschrankung der Schrittweite h displaystyle h nbsp gezwungen Dies hat zur Folge dass implizite Verfahren beim Losen steifer Differentialgleichungen bevorzugt werden Literatur BearbeitenE Hairer G Wanner Solving Ordinary Differential Equations II Stiff problems Springer Verlag Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stabilitatsgebiet amp oldid 213659581