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Steifes Anfangswertproblem Ein steifes Anfangswertproblem ist in der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ein An

Steifes Anfangswertproblem

Ein steifes Anfangswertproblem ist in der Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen ein Anfangswertproblem

bei dem explizite Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren wegen ihres beschränkten Stabilitätsgebiets erhebliche Schwierigkeiten haben. Dies ist dann der Fall, wenn die Konstante in der Lipschitzbedingung (vgl. Satz von Picard-Lindelöf)

große Werte annimmt, die Lösung aber recht glatt verläuft. In diesem Fall könnten numerische Verfahren diese Lösung mit relativ großen Schrittweiten genau approximieren, explizite Verfahren werden aber wegen des beschränkten Stabilitätsgebiets gezwungen, kleine Schrittweiten zu verwenden. Typischerweise treten steife Anfangswertprobleme bei der numerischen Approximation von parabolischen partiellen Differentialgleichungen nach erfolgter Diskretisierung im Ortsbereich auf. Ein Beispiel ist das Crank-Nicolson-Verfahren, bei dem im Ort eine Finite-Differenzen-Methode und in Zeitrichtung die implizite Trapez-Methode eingesetzt wird.

Beispiel Bearbeiten

Die Problematik wird mit dem expliziten und impliziten Eulerverfahren und Schrittweite anhand des linearen Anfangswertproblems

mit erläutert. Die exakte Lösung ist und für große ist die Lösung beinahe konstant, also sehr glatt.

Explizites Euler-Verfahren im Beispiel
Implizites Euler-Verfahren im Beispiel
  • Die beiden Diagramme zeigen jeweils die exakte Lösung in blau, eine Näherungslösung mit kleiner Schrittweite in grün und die Näherungslösungen mit in rot.

Beim expliziten Eulerverfahren wachsen die roten Näherungen immer weiter an, während auch diese groben Näherungen beim impliziten Eulerverfahren in der Nähe der exakten Lösung bleiben.

Erweiterte Stabilitätsbegriffe Bearbeiten

Für eine genauere Klassifikation numerischer Verfahren bei steifen Anfangswertproblemen wurden in der Literatur verschiedene Stabilitätsbegriffe eingeführt, die sich in der Regel an unterschiedlichen Testgleichungen orientieren. Dazu gehören die

  1. Gleichung von Dahlquist mit . Ihre Lösungen gehen alle gegen null für .
  2. Prothero-Robinson-Gleichung mit und einer glatten Funktion . Die Lösung dieser Gleichung ist . Für sehr kleine Realteile nähern sich alle Lösungen sehr schnell der Funktion an.
  3. Die nichtlineare dissipative Gleichung , bei der die rechte Seite eine einseitige Lipschitzbedingung erfüllt, Im Unterschied zur obigen Lipschitzbedingung sind bei der Konstanten auch negative Werte möglich. Eine Folge der einseitigen Lipschitzbedingung ist, dass für die Differenz von zwei Lösungen der Differentialgleichung die Schranke gilt, und sich diese für und wachsendes also immer weiter annähern.

Bei numerischen Verfahren ist es vorteilhaft, wenn sich die numerischen Approximationen bei Testgleichungen im Wesentlichen so wie die exakten Lösungen verhalten. Dementsprechend fordert der Begriff

  • A-Stabilität, dass Näherungslösungen bei der ersten Testgleichungen gegen Null gehen für ,
  • B-Stabilität, dass sich zwei Näherungslösungen der dritten Testgleichung mit nicht voneinander entfernen für .

Für implizite Runge-Kutta-Verfahren gibt es mit dem Begriff Algebraische Stabilität ein hinreichendes Kriterium für B-Stabilität.

Numerische Verfahren für steife Anfangswertprobleme Bearbeiten

Für steife Anfangswertprobleme sind implizite Verfahren effizienter als explizite (das kann man quasi auch als Definition des Begriffs „steif“ ansehen). Spezielle Klassen sind

Da bei impliziten Verfahren die Auflösung der nichtlinearen Gleichungssysteme einen hohen Aufwand erfordert, wurden auch linear-implizite Einschrittverfahren entwickelt wie die genannten Rosenbrock-Wanner-Verfahren (ROW-Methoden).

Literatur Bearbeiten

  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag
  • K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen, Springer Spektrum, 2012.
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Veröffentlichungsdatum:
Ein steifes Anfangswertproblem ist in der Numerik gewohnlicher Differentialgleichungen ein Anfangswertproblem y t f t y t t t 0 y t 0 y 0 displaystyle y t f t y t t geq t 0 quad y t 0 y 0 bei dem explizite Einschrittverfahren oder Mehrschrittverfahren wegen ihres beschrankten Stabilitatsgebiets erhebliche Schwierigkeiten haben Dies ist dann der Fall wenn die Konstante L displaystyle L in der Lipschitzbedingung vgl Satz von Picard Lindelof f t y 1 f t y 2 L y 1 y 2 displaystyle f t y 1 f t y 2 leq L y 1 y 2 grosse Werte L 1 displaystyle L gg 1 annimmt die Losung y t displaystyle y t aber recht glatt verlauft In diesem Fall konnten numerische Verfahren diese Losung mit relativ grossen Schrittweiten genau approximieren explizite Verfahren werden aber wegen des beschrankten Stabilitatsgebiets gezwungen kleine Schrittweiten zu verwenden Typischerweise treten steife Anfangswertprobleme bei der numerischen Approximation von parabolischen partiellen Differentialgleichungen nach erfolgter Diskretisierung im Ortsbereich auf Ein Beispiel ist das Crank Nicolson Verfahren bei dem im Ort eine Finite Differenzen Methode und in Zeitrichtung die implizite Trapez Methode eingesetzt wird Inhaltsverzeichnis 1 Beispiel 2 Erweiterte Stabilitatsbegriffe 3 Numerische Verfahren fur steife Anfangswertprobleme 4 LiteraturBeispiel BearbeitenDie Problematik wird mit dem expliziten und impliziten Eulerverfahren und Schrittweite h gt 0 displaystyle h gt 0 nbsp anhand des linearen Anfangswertproblems y t l y t 2 y 0 1 displaystyle y t lambda big y t 2 big quad y 0 1 nbsp mit l 4 displaystyle lambda 4 nbsp erlautert Die exakte Losung ist y t 2 e 4 t displaystyle y t 2 e 4t nbsp und fur grosse t displaystyle t nbsp ist die Losung beinahe konstant also sehr glatt nbsp Explizites Euler Verfahren im BeispielDas explizite Eulerverfahren berechnet mit y 0 1 displaystyle y 0 1 nbsp die Naherungeny k 1 1 h l y k 2 h l k 1 2 3 displaystyle y k 1 1 h lambda y k 2h lambda k 1 2 3 ldots nbsp Diese liefern aber nur dann brauchbare Werte wenn der Betrag des Vorfaktors von y k displaystyle y k nbsp kleiner eins ist 1 h l lt 1 displaystyle 1 h lambda lt 1 nbsp hier also fur h lt 1 2 displaystyle h lt 1 2 nbsp Fur h gt 1 2 displaystyle h gt 1 2 nbsp liegt dagegen das Produkt h l 4 h displaystyle h lambda 4h nbsp ausserhalb des Stabilitatsgebiets das bei 2 displaystyle 2 nbsp endet siehe Eulersches Polygonzugverfahren Eigenschaften Fur solche zu grossen Schrittweiten wachsen die Losungen unbegrenzt an vgl Grafik nbsp Implizites Euler Verfahren im BeispielDas implizite Eulerverfahren berechnet dagegen von y 0 1 displaystyle y 0 1 nbsp ausgehend die Naherungeny k 1 y k 2 h l 1 h l k 1 2 3 displaystyle y k 1 frac y k 2h lambda 1 h lambda k 1 2 3 ldots nbsp Fur jede positive Schrittweite h displaystyle h nbsp ist hier der Vorfaktor von y k displaystyle y k nbsp der Bruch 1 1 h l lt 1 displaystyle 1 1 h lambda lt 1 nbsp da l 4 displaystyle lambda 4 nbsp negativ ist Denn das Stabilitatsgebiet des impliziten Eulerverfahrens umfasst die ganze linke komplexe Halbebene das Verfahren ist A stabil Die beiden Diagramme zeigen jeweils die exakte Losung in blau eine Naherungslosung mit kleiner Schrittweite h 0 2 displaystyle h 0 2 nbsp in grun und die Naherungslosungen mit h 0 52 displaystyle h 0 52 nbsp in rot Beim expliziten Eulerverfahren wachsen die roten Naherungen immer weiter an wahrend auch diese groben Naherungen beim impliziten Eulerverfahren in der Nahe der exakten Losung bleiben Erweiterte Stabilitatsbegriffe BearbeitenFur eine genauere Klassifikation numerischer Verfahren bei steifen Anfangswertproblemen wurden in der Literatur verschiedene Stabilitatsbegriffe eingefuhrt die sich in der Regel an unterschiedlichen Testgleichungen orientieren Dazu gehoren die Gleichung von Dahlquist y t l y t displaystyle y t lambda y t nbsp mit Re l lt 0 displaystyle operatorname Re lambda lt 0 nbsp Ihre Losungen y t e l t t 0 y 0 displaystyle y t e lambda t t 0 y 0 nbsp gehen alle gegen null fur t displaystyle t to infty nbsp Prothero Robinson Gleichung y t l y t g t g t displaystyle y t lambda big y t g t big g t nbsp mit Re l lt 0 displaystyle operatorname Re lambda lt 0 nbsp und einer glatten Funktion g t displaystyle g t nbsp Die Losung dieser Gleichung ist y t g t e l t t 0 y 0 g t 0 displaystyle y t g t e lambda t t 0 y 0 g t 0 nbsp Fur sehr kleine Realteile Re l 1 displaystyle operatorname Re lambda ll 1 nbsp nahern sich alle Losungen sehr schnell der Funktion g t displaystyle g t nbsp an Die nichtlineare dissipative Gleichung y t f t y t displaystyle y t f big t y t big nbsp bei der die rechte Seite f displaystyle f nbsp eine einseitige Lipschitzbedingung erfullt y v T f t y f t v m y v 2 2 y v R n displaystyle y v T big f t y f t v big leq mu y v 2 2 quad y v in mathbb R n nbsp Im Unterschied zur obigen Lipschitzbedingung sind bei der Konstanten m displaystyle mu nbsp auch negative Werte moglich Eine Folge der einseitigen Lipschitzbedingung ist dass fur die Differenz von zwei Losungen y t v t displaystyle y t v t nbsp der Differentialgleichung die Schranke y t v t 2 e m t t 0 y t 0 v t 0 2 displaystyle y t v t 2 leq e mu t t 0 y t 0 v t 0 2 nbsp gilt und sich diese fur m lt 0 displaystyle mu lt 0 nbsp und wachsendes t displaystyle t to infty nbsp also immer weiter annahern Bei numerischen Verfahren ist es vorteilhaft wenn sich die numerischen Approximationen bei Testgleichungen im Wesentlichen so wie die exakten Losungen verhalten Dementsprechend fordert der Begriff A Stabilitat dass Naherungslosungen bei der ersten Testgleichungen gegen Null gehen fur t displaystyle t to infty nbsp B Stabilitat dass sich zwei Naherungslosungen der dritten Testgleichung mit m 0 displaystyle mu 0 nbsp nicht voneinander entfernen fur t displaystyle t to infty nbsp Fur implizite Runge Kutta Verfahren gibt es mit dem Begriff Algebraische Stabilitat ein hinreichendes Kriterium fur B Stabilitat Numerische Verfahren fur steife Anfangswertprobleme BearbeitenFur steife Anfangswertprobleme sind implizite Verfahren effizienter als explizite das kann man quasi auch als Definition des Begriffs steif ansehen Spezielle Klassen sind implizite Runge Kutta Verfahren Rosenbrock Wanner Verfahren BDF VerfahrenDa bei impliziten Verfahren die Auflosung der nichtlinearen Gleichungssysteme einen hohen Aufwand erfordert wurden auch linear implizite Einschrittverfahren entwickelt wie die genannten Rosenbrock Wanner Verfahren ROW Methoden Literatur BearbeitenE Hairer G Wanner Solving Ordinary Differential Equations II Stiff problems Springer Verlag K Strehmel R Weiner H Podhaisky Numerik gewohnlicher Differentialgleichungen Nichtsteife steife und differential algebraische Gleichungen Springer Spektrum 2012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Steifes Anfangswertproblem amp oldid 228918875