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Rosenbrock Wanner Verfahren Die oder ROW Methoden oft auch nur als Rosenbrock Verfahren bezeichnet sind in der Numerik s

Rosenbrock-Wanner-Verfahren

Die Rosenbrock-Wanner-Verfahren (oder ROW-Methoden, oft auch nur als Rosenbrock-Verfahren bezeichnet) sind in der Numerik spezielle Einschrittverfahren zur näherungsweisen Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen. Sie sind benannt nach Howard H. Rosenbrock und Gerhard Wanner.

Bei den Einschrittverfahren besitzen bestimmte implizite Runge-Kutta-Verfahren für steife Anfangswertprobleme sehr gute Stabilitätseigenschaften, ihre praktische Durchführung erfordert aber wegen der Lösung von nichtlinearen Gleichungen einen hohen Rechenaufwand. Aus diesem Grund betrachtet man linear-implizite Verfahren wie die Rosenbrock-Wanner-Verfahren.

Verfahrens-Struktur Bearbeiten

Wie bei Runge-Kutta-Verfahren besitzen die Verfahren verschiedene Stufen, welche die Lösung des Systems an Zwischenstellen eines Zeitschritts der Schrittweite approximieren. Im Unterschied zu Runge-Kutta-Verfahren sind aber nur lineare Gleichungssysteme zu lösen. Das Verfahren besitzt Koeffizientensätze , die Verfahrensgestalt ist

In jeder Stufe ist also ein lineares -System zu lösen, wenn ist. Die Matrix in den Stufensystemen ist die Jacobimatrix am Anfang des Zeitschritts, , zwischen den Verfahrenskoeffizienten fordert man die Beziehungen

Wenn alle gleich sind, ist beim Gauß-Algorithmus die teure LR-Zerlegung nur einmal zu berechnen. Die Verfahren können ebenfalls durch ein (erweitertes) Butcher-Tableau

beschrieben werden, wobei und untere Dreieckmatrizen sind. Eine ursprüngliche Form der Verfahren ohne die Zusatzterme mit , geht auf H.H. Rosenbrock (1963) zurück, die vollständige Form wurde 1977 von G. Wanner eingeführt.

Konsistenz und Stabilität Bearbeiten

Die ROW-Methoden lassen sich so interpretieren, dass man bei einem diagonal-impliziten Runge-Kutta-Verfahren genau einen Schritt des Newton-Verfahrens ausführt. Daher sind für ein Verfahren der Ordnung mindestens Stufen erforderlich. Bei geeigneter Wahl des Diagonalwerts existieren A-stabile Verfahren.

Beispiel-Verfahren Bearbeiten

Das zwei-stufige Verfahren mit dem Tableau

und besitzt Ordnung 3 und ist A-stabil. Es gibt eine effiziente ROW-Methode GRK4T von Kaps und Rentrop mit Stufen und Ordnung , bei dem über ein eingebettetes Verfahren auch eine Schrittweitensteuerung möglich ist.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Wenn man die Bedingung fallen lässt, bekommt man sogenannte W-Methoden, bei denen man eine grobe Approximation der Jacobimatrix von verwenden kann, etwa indem man die LR-Zerlegung von nicht in jedem Zeitschritt neu berechnet. Für diesen Typ existieren aber nur Verfahren geringer Ordnung.

Literatur Bearbeiten

  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff problems, Springer Verlag.
  • E. Hairer, G. Wanner: Solving Ordinary Differential Equations II, Stiff and Differential-Algebraic Problems. Second Revised Edition, Springer Verlag.
  • K. Strehmel, R. Weiner, H. Podhaisky: Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen – Nichtsteife, steife und differential-algebraische Gleichungen. Springer Spektrum, 2012.
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Die Rosenbrock Wanner Verfahren oder ROW Methoden oft auch nur als Rosenbrock Verfahren bezeichnet sind in der Numerik spezielle Einschrittverfahren zur naherungsweisen Losung gewohnlicher Differentialgleichungen Sie sind benannt nach Howard H Rosenbrock und Gerhard Wanner Bei den Einschrittverfahren besitzen bestimmte implizite Runge Kutta Verfahren fur steife Anfangswertprobleme sehr gute Stabilitatseigenschaften ihre praktische Durchfuhrung erfordert aber wegen der Losung von nichtlinearen Gleichungen einen hohen Rechenaufwand Aus diesem Grund betrachtet man linear implizite Verfahren wie die Rosenbrock Wanner Verfahren Inhaltsverzeichnis 1 Verfahrens Struktur 2 Konsistenz und Stabilitat 3 Beispiel Verfahren 4 Verallgemeinerungen 5 LiteraturVerfahrens Struktur BearbeitenWie bei Runge Kutta Verfahren besitzen die Verfahren s displaystyle s nbsp verschiedene Stufen welche die Losung y t displaystyle y t nbsp des Systems y t f t y t displaystyle y t f big t y t big nbsp an Zwischenstellen t n h n c i i 1 s displaystyle t n h n c i i 1 ldots s nbsp eines Zeitschritts der Schrittweite h h n displaystyle h h n nbsp approximieren Im Unterschied zu Runge Kutta Verfahren sind aber nur lineare Gleichungssysteme zu losen Das Verfahren besitzt Koeffizientensatze a i j g i j b i displaystyle a ij gamma ij b i nbsp die Verfahrensgestalt ist I h g i i T k i f t n h c i y n h j 1 i 1 a i j k j h T j 1 i 1 g i j k j h d i f t t n y n i 1 s displaystyle big I h gamma ii T big k i f Bigl t n hc i y n h sum j 1 i 1 a ij k j Bigr hT sum j 1 i 1 gamma ij k j hd i f t t n y n i 1 ldots s nbsp y n 1 y n h i 1 s b i k i displaystyle y n 1 y n h sum i 1 s b i k i nbsp In jeder Stufe ist also ein lineares d d displaystyle d times d nbsp System zu losen wenn f R R d R d displaystyle f mathbb R times mathbb R d to mathbb R d nbsp ist Die Matrix T displaystyle T nbsp in den Stufensystemen ist die Jacobimatrix am Anfang des Zeitschritts T f y t n y n displaystyle T f y t n y n nbsp zwischen den Verfahrenskoeffizienten fordert man die Beziehungen c i j 1 i 1 a i j d i j 1 i g i j displaystyle c i sum j 1 i 1 a ij quad d i sum j 1 i gamma ij nbsp Wenn alle g i i g displaystyle gamma ii equiv gamma nbsp gleich sind ist beim Gauss Algorithmus die teure LR Zerlegung nur einmal zu berechnen Die Verfahren konnen ebenfalls durch ein erweitertes Butcher Tableau c A G b displaystyle begin array c c c c amp A amp Gamma hline amp b amp end array nbsp beschrieben werden wobei A a i j displaystyle A a ij nbsp und G g i j displaystyle Gamma gamma ij nbsp untere Dreieckmatrizen sind Eine ursprungliche Form der Verfahren ohne die Zusatzterme mit g i j j lt i displaystyle gamma ij j lt i nbsp geht auf H H Rosenbrock 1963 zuruck die vollstandige Form wurde 1977 von G Wanner eingefuhrt Konsistenz und Stabilitat BearbeitenDie ROW Methoden lassen sich so interpretieren dass man bei einem diagonal impliziten Runge Kutta Verfahren genau einen Schritt des Newton Verfahrens ausfuhrt Daher sind fur ein Verfahren der Ordnung p displaystyle p nbsp mindestens s p 1 displaystyle s geq p 1 nbsp Stufen erforderlich Bei geeigneter Wahl des Diagonalwerts g g i i displaystyle gamma equiv gamma ii nbsp existieren A stabile Verfahren Beispiel Verfahren BearbeitenDas zwei stufige Verfahren mit dem Tableau 0 0 g 0 2 3 2 3 0 4 3 g g 1 4 3 4 displaystyle begin array c cc cc 0 amp 0 amp amp gamma amp 0 frac 2 3 amp frac 2 3 amp 0 amp frac 4 3 gamma amp gamma hline amp frac 1 4 amp frac 3 4 amp end array nbsp und g 1 1 3 2 displaystyle gamma 1 1 sqrt 3 2 nbsp besitzt Ordnung 3 und ist A stabil Es gibt eine effiziente ROW Methode GRK4T von Kaps und Rentrop mit s 4 displaystyle s 4 nbsp Stufen und Ordnung p 4 displaystyle p 4 nbsp bei dem uber ein eingebettetes Verfahren auch eine Schrittweitensteuerung moglich ist Verallgemeinerungen BearbeitenWenn man die Bedingung T f y t n y n displaystyle T f y t n y n nbsp fallen lasst bekommt man sogenannte W Methoden bei denen man eine grobe Approximation T displaystyle T nbsp der Jacobimatrix von f displaystyle f nbsp verwenden kann etwa indem man die LR Zerlegung von I h g T displaystyle I h gamma T nbsp nicht in jedem Zeitschritt neu berechnet Fur diesen Typ existieren aber nur Verfahren geringer Ordnung Literatur BearbeitenE Hairer G Wanner Solving Ordinary Differential Equations II Stiff problems Springer Verlag E Hairer G Wanner Solving Ordinary Differential Equations II Stiff and Differential Algebraic Problems Second Revised Edition Springer Verlag K Strehmel R Weiner H Podhaisky Numerik gewohnlicher Differentialgleichungen Nichtsteife steife und differential algebraische Gleichungen Springer Spektrum 2012 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Rosenbrock Wanner Verfahren amp oldid 189004666