Trapez Methode Das implizite Trapez Verfahren ist ein Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswert Problems y t f

Trapez-Methode

Das implizite Trapez-Verfahren ist ein Verfahren zur numerischen Lösung eines Anfangswert-Problems

Es lässt sich sowohl den Runge-Kutta-Verfahren als auch den Adams-Moulton-Verfahren zuordnen. Das Trapezverfahren ist A-stabil mit der Besonderheit, dass für die Schwingungsgleichung kein Amplitudenfehler auftritt. Das Verfahren lässt sich aus der Trapezregel herleiten:

mit

Herleitung Bearbeiten

Für die Herleitung von Einschrittverfahren wird das Anfangswertproblem meist in der zu ihr äquivalenten Integralgleichung umgeformt

Nun besteht die Idee bei der impliziten Trapez-Methode eine simple Quadraturformel für das Integral zu benutzen: die Trapezregel. Man approximiert in jedem -ten Schritt den Integranden wie folgt

Zusammen ergibt dies die Trapez-Methode

Lösungsmethode Bearbeiten

Zur Lösung dieses, in der Regel nichtlinearen, Gleichungssystems können verschiedene numerische Verfahren genutzt werden. Für das quadratisch konvergente Newton-Verfahren ergibt sich konkret:

Man erhält also ein lineares Gleichungssystem

wobei J die Jacobi-Matrix

die Einheitsmatrix und der Iterationsschritt ist.

Stabilität Bearbeiten

Mit der Testgleichung bekommt man die Stabilitätsfunktion

Auf der imaginären Achse gilt , daher ist die Trapezmethode A-stabil.

Schrittweite h Bearbeiten

Die (variable) Schrittweite kann aus folgender Beziehung berechnet werden:

bezeichnet den zugelassenen lokalen Diskretisierungsfehler. Der Ansatz liefert für die implizite Trapez-Methode

Dabei ist der Betrag des betragsmäßig größten Eigenwerts der Jacobi-Matrix (Spektralradius). Die numerische Bestimmung der Eigenwerte ist sehr zeitaufwendig; für den Zweck der Schrittweitenberechnung ist es im Allgemeinen ausreichend die Gesamtnorm heranzuziehen, die immer größer oder gleich der Spektralnorm ist. N ist der Rang der Jacobi-Matrix und deren Elemente.

Literatur Bearbeiten

Hans R. Schwarz, Norbert Köckler: Numerische Mathematik. 5. Auflage, Teubner, Stuttgart 2004, ISBN 3-519-42960-8, S. 343.

Einzelnachweise Bearbeiten

M. Kloker: Numerische Löser (Zeitintegrationsverfahren) für die Gewöhnliche Modelldifferentialgleichung y'=αy (PDF; 2,2 MB), Universität Stuttgart, 1996
Reusken, Arnold.: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-25544-3, S. 378.
Reusken, Arnold.: Numerik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Springer, Berlin 2006, ISBN 3-540-25544-3, S. 383.

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Veröffentlichungsdatum: Februar 19, 2024, 10:29 am

Das implizite Trapez Verfahren ist ein Verfahren zur numerischen Losung eines Anfangswert Problems y t f t y t y t 0 y 0 displaystyle y t f left t y t right quad y t 0 y 0 Es lasst sich sowohl den Runge Kutta Verfahren als auch den Adams Moulton Verfahren zuordnen Das Trapezverfahren ist A stabil mit der Besonderheit dass fur die Schwingungsgleichung y i a y displaystyle y mathrm i alpha y kein Amplitudenfehler auftritt 1 Das Verfahren lasst sich aus der Trapezregel herleiten y n 1 y n h 2 f n 1 f n displaystyle y n 1 y n frac h 2 f n 1 f n mit f n f t n y n displaystyle f n f t n y n Inhaltsverzeichnis 1 Herleitung 2 Losungsmethode 3 Stabilitat 4 Schrittweite h 5 Literatur 6 EinzelnachweiseHerleitung BearbeitenFur die Herleitung von Einschrittverfahren wird das Anfangswertproblem meist in der zu ihr aquivalenten Integralgleichung umgeformt 2 y f t y y t 0 y 0 y t y 0 t 0 t f s y s d s displaystyle begin aligned dot y amp f t y qquad y t 0 y 0 Longleftrightarrow quad y t amp y 0 int t 0 t f s y s mathrm d s end aligned nbsp Nun besteht die Idee bei der impliziten Trapez Methode eine simple Quadraturformel fur das Integral zu benutzen die Trapezregel Man approximiert in jedem k displaystyle k nbsp ten Schritt den Integranden wie folgt t k t k 1 f s y s d s h 2 f t k y k f t k 1 y k 1 displaystyle int t k t k 1 f s y s mathrm d s approx frac h 2 Big f t k y k f t k 1 y k 1 Big nbsp Zusammen ergibt dies die Trapez Methode 3 y t k 1 y t k t k t k 1 f s y s d s y k h 2 f t k y k f t k 1 y k 1 y k 1 displaystyle y t k 1 y t k int t k t k 1 f s y s mathrm d s approx y k frac h 2 Big f t k y k f t k 1 y k 1 Big y k 1 nbsp Losungsmethode BearbeitenZur Losung dieses in der Regel nichtlinearen Gleichungssystems konnen verschiedene numerische Verfahren genutzt werden Fur das quadratisch konvergente Newton Verfahren ergibt sich konkret y n 1 k 1 y n 1 k I h 2 f n 1 k y n 1 k 1 y n 1 k y n h 2 f n 1 k f n displaystyle y n 1 k 1 y n 1 k left I frac h 2 frac partial f n 1 k partial y n 1 k right 1 left y n 1 k y n frac h 2 f n 1 k f n right nbsp Man erhalt also ein lineares Gleichungssystem I h 2 J k y n 1 k 1 h 2 J k y n 1 k y n h 2 f n 1 k f n displaystyle I frac h 2 J k y n 1 k 1 frac h 2 J k y n 1 k y n frac h 2 f n 1 k f n nbsp wobei J die Jacobi Matrix J k f y n 1 k displaystyle J k left frac partial f partial y right n 1 k nbsp I displaystyle I nbsp die Einheitsmatrix und k displaystyle k nbsp der Iterationsschritt ist Stabilitat BearbeitenMit der Testgleichung y t l y t displaystyle y t lambda y t nbsp bekommt man die Stabilitatsfunktion R z 2 z 2 z z h l C displaystyle R z frac 2 z 2 z quad z h lambda in mathbb C nbsp Auf der imaginaren Achse z i h displaystyle z i eta nbsp gilt R i h 1 displaystyle R i eta 1 nbsp daher ist die Trapezmethode A stabil Schrittweite h BearbeitenDie variable Schrittweite kann aus folgender Beziehung berechnet werden R h l e h l 1 d displaystyle left vert frac R h lambda mathrm e h lambda 1 right vert delta nbsp d displaystyle delta nbsp bezeichnet den zugelassenen lokalen Diskretisierungsfehler Der Ansatz y n 1 y n h 2 f n 1 f n R h l y n displaystyle y n 1 y n frac h 2 f n 1 f n R h lambda y n nbsp liefert fur die implizite Trapez Methode R h l 2 h l 2 h l displaystyle R h lambda frac 2 h lambda 2 h lambda nbsp Dabei ist l max j l j displaystyle lambda max j lambda j nbsp der Betrag des betragsmassig grossten Eigenwerts der Jacobi Matrix Spektralradius Die numerische Bestimmung der Eigenwerte ist sehr zeitaufwendig fur den Zweck der Schrittweitenberechnung ist es im Allgemeinen ausreichend die Gesamtnorm l N max i j a i j displaystyle lambda N cdot max i j a ij nbsp heranzuziehen die immer grosser oder gleich der Spektralnorm ist N ist der Rang der Jacobi Matrix und a i j displaystyle a ij nbsp deren Elemente Literatur BearbeitenHans R Schwarz Norbert Kockler Numerische Mathematik 5 Auflage Teubner Stuttgart 2004 ISBN 3 519 42960 8 S 343 Einzelnachweise Bearbeiten M Kloker Numerische Loser Zeitintegrationsverfahren fur die Gewohnliche Modelldifferentialgleichung y ay PDF 2 2 MB Universitat Stuttgart 1996 Reusken Arnold Numerik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Springer Berlin 2006 ISBN 3 540 25544 3 S 378 Reusken Arnold Numerik fur Ingenieure und Naturwissenschaftler Springer Berlin 2006 ISBN 3 540 25544 3 S 383 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Trapez Methode amp oldid 223087709