In der Mathematik ist das Corona Theorem ein Satz aus der Funktionentheorie Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Funktionalanalytische Interpretation 3 Geschichte 4 WeblinksSatz BearbeitenSei H displaystyle H infty nbsp der Hardy Raum also die Banach Algebra der beschrankten holomorphen Funktionen f D C displaystyle f colon D to mathbb C nbsp auf der Kreisscheibe D z C z lt 1 displaystyle D left z in mathbb C colon vert z vert lt 1 right nbsp Sei d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp und seien f 1 f n H displaystyle f 1 ldots f n in H infty nbsp so dass f 1 z f n z d displaystyle vert f 1 z vert ldots vert f n z vert geq delta nbsp fur alle z D displaystyle z in D nbsp Dann gibt es g 1 g n H displaystyle g 1 ldots g n in H infty nbsp so dass f 1 z g 1 z f n z g n z 1 displaystyle f 1 z g 1 z ldots f n z g n z 1 nbsp fur alle z D displaystyle z in D nbsp Funktionalanalytische Interpretation BearbeitenSei D displaystyle Delta nbsp die Menge der multiplikativen linearen Funktionale auf H displaystyle H infty nbsp und M displaystyle mathcal M nbsp die Menge der Maximalideale des Hardy Raums H displaystyle H infty nbsp Durch ϕ ker ϕ displaystyle phi to ker phi nbsp hat man eine Bijektion D M displaystyle Delta to mathcal M nbsp Jedem f H displaystyle f in H infty nbsp kann man durch f ϕ ϕ f displaystyle hat f phi phi f nbsp eine Funktion f D C displaystyle hat f colon Delta to mathbb C nbsp oder vermittels obiger Bijektion dann eine Funktion f M C displaystyle hat f colon mathcal M to mathbb C nbsp zuordnen Als Gelfand Topologie bezeichnet man die schwachste Topologie auf M displaystyle mathcal M nbsp mit der alle f displaystyle hat f nbsp stetig sind Mit dieser Topologie ist M displaystyle mathcal M nbsp ein kompakter Hausdorff Raum Man kann D displaystyle D nbsp als Unterraum von M displaystyle mathcal M nbsp auffassen indem man z D displaystyle z in D nbsp das Maximalideal M z f H f z 0 displaystyle M z left f in H infty colon f z 0 right nbsp zuordnet Das Corona Theorem ist dann aquivalent dazu dass D displaystyle D nbsp dicht in M displaystyle mathcal M nbsp ist Geschichte BearbeitenDas Corona Theorem in seiner funktionalanalytischen Formulierung wurde 1941 von Shizuo Kakutani vermutet und 1962 von Lennart Carleson bewiesen Der Name bezieht sich darauf dass die Corona von H D displaystyle H infty D nbsp durch M H D D displaystyle mathcal M H infty D setminus overline D nbsp definiert wird und es nach dem Theorem also keine Corona gibt Einen elementaren Beweis gab 1979 Thomas Wolff unter Benutzung von H 2 displaystyle H 2 nbsp Carleson Massen und Littlewood Paley Theorie Weblinks BearbeitenCorona Theorem Lexikon der Mathematik Spektrum der Wissenschaft B Wick The Corona Problem Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Corona Theorem amp oldid 215044316
