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Zylinderspule Eine ist eine Spule bei der die Drahtwicklung auf einem Zylindermantel liegt also dünn gegenüber dem Zylin

Zylinderspule

Eine Zylinderspule ist eine Spule, bei der die Drahtwicklung auf einem Zylindermantel liegt, also dünn gegenüber dem Zylinderdurchmesser ist. In der Regel ist sie einlagig. Einlagige Zylinderspulen haben einen helixförmigen Verlauf des Drahtes.

Zylinderspule

Eine Zylinderspule hat üblicherweise einen im Verhältnis zum Durchmesser kleinen Abstand der Drahtwindungen voneinander und damit eine vergleichsweise hohe Anzahl von Windungen pro Länge.

Eine Zylinderspule mit einem großen Verhältnis Länge zu Durchmesser ist zum Erzeugen eines homogenen Magnetfeldes in ihrer Mitte geeignet (solenoidales Magnetfeld) und wird manchmal auch als Solenoid bezeichnet.

Bauformen von Zylinderspulen sind unter Luftspule beschrieben.

Im Grenzfall einer sehr kurzen Länge geht die Zylinderspule in eine kreisförmige Leiterschleife über.

Technische Bedeutung Bearbeiten

Zylinderspulen haben neben der einfachen Berechenbarkeit folgende Merkmale:

  • besonders für hohe Frequenzen geeignet und hohe Eigenresonanzfrequenz wegen der geringen kapazitiven Kopplung zwischen den Windungen und Anschlüssen im Vergleich zu mehrlagigen Spulen oder Toroidspulen
  • für hohe Spannungen besser geeignet wegen der entfallenden Lagenisolation
  • größere Abmessungen, jedoch bessere Abführung der Verlustwärme als mehrlagige Spulen gleicher Induktivität

Ausgehend von diesen Eigenschaften werden Zylinderspulen als Hochfrequenzdrossel („UKW-Drossel“) und allgemein zur Herstellung von Induktivitäten bei hohen Frequenzen eingesetzt.

Zylinderspulen lassen sich abgleichen, indem ihre Windungen auseinandergebogen oder -gezogen werden. Wird ein Aluminium- oder Ferrit- bzw. Eisenpulverkern eingeschoben (siehe auch Variometer), ist der damit erreichbare Variationsbereich höher als bei einer kurzen, mehrlagigen Spule.

Übereinander, jeweils als Zylinderspule ausgebildete Wicklungen von Transformatoren sind durch eine geringe Selbstinduktion (Streuinduktivität) geprägt und sind nicht vom Proximity-Effekt betroffen.

Der Teilchendetektor Compact Muon Solenoid (CMS) am CERN ist ein Beispiel für eine besonders große Zylinderspule.

Magnetfeld Bearbeiten

Magnetfeld einer Zylinderspule (im Querschnitt). Die Drahtwicklungen sind durch „ד (Strom fließt in die Bildebene hinein) und „·“ (Strom fließt aus der Bildebene heraus) markiert.
Magnetfeld einer Zylinderspule mit zehn Windungen. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum.
Magnetfeld |B| einer idealen Zylinderspule. Die Schnittebene verläuft axial durch das Zentrum. An den Endkanten divergiert das radiale Feld.

Das Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule kann durch Integration des Biot-Savart-Gesetzes berechnet werden. Die Spule habe die Windungszahl N, Stromstärke I, Länge l und Radius R. Wir bezeichnen die Zylinderachse durch den Einheitsvektor , wobei z vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der Korkenzieherregel gemessen wird. Der Abstand zur Zylinderachse sei ρ mit entsprechendem Einheitsvektor (Zylinderkoordinaten). Dann besitzt das erzeugte Feld nur eine axiale und radiale, aber keine azimutale Komponente:

Die Feldkomponenten betragen:

Der Inhalt der eckigen Klammern wird subtrahiert gemäß . Hierbei wurde die magnetische Feldkonstante μ0, die Substitutionen

sowie die vollständigen elliptischen Integrale erster (K), zweiter (E) und dritter Art (Π) verwendet:

Neben der Darstellung durch die klassischen elliptischen Integrale existieren auch alternative Ausdrücke mit verbesserter numerischer Stabilität und effizienter Berechenbarkeit, beispielsweise mit Carlson-Formen.

Entlang der Zylinderachse vereinfacht sich das Feld:

Im Zentrum der Spule beträgt das Feld exakt:

Für lange Spulen beträgt das Feld überall im Inneren, außer nahe den Enden

und sinkt und außerhalb weit weg von den Spulenenden schnell auf Null ab. Für große Abstände nähert sich das Feld einem Dipolfeld mit magnetischem Moment an:

Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderförmigen Stabmagneten mit Magnetisierung , wobei .

Induktivität Bearbeiten

Die Induktivität einer Zylinderspule im Vakuum beträgt

Hierbei ist cel das elliptische Bulirsch-Integral und ist die Magnetische Feldkonstante. Für konkrete Aspektverhältnisse ist dies:

0,01 0,1 0,5 1 2 5 10 100 ∞
0,0197 0,124 0,365 0,526 0,688 0,850 0,920 0,9916 1

Eine einfache Näherungsformel für nicht zu kurze Spulen ist

Diese Formel hat für weniger als 1 % Fehler.

Im Fall einer sehr langen Zylinderspule () mit Querschnittsfläche lässt sich die Näherung noch weiter vereinfachen:

Bei Spulen mit ferromagnetischem Kern ist die Formel nicht mehr anwendbar, da der äußere Teil des Feldes nun relevant wird. Handelt es sich jedoch um einen geschlossenen magnetischen Kreis in der Form eines hochpermeablen Rahmens, auf den die Spule gewickelt ist, kann statt der Spulenlänge dessen mittlerer Umfang – das ist die mittlere magnetische Weglänge – und statt des Spulenquerschnittes sein mittlerer Querschnitt eingesetzt werden. Die Induktivitätsberechnung erfordert dann noch die Multiplikation mit der Permeabilitätszahl des Kernmaterials.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. J. C. Maxwell: Electricity and Magnetism. Clarendon Press, Oxford, England 1873 (archive.org).
  2. Karl Friedrich Müller: Berechnung der Induktivität von Spulen. In: Archiv für Elektrotechnik. 17. Jahrgang, Nr. 3, 1. Mai 1926, ISSN 1432-0487, S. 336–353, doi:10.1007/BF01655986 (springer.com).
  3. Kuno Foelsch: Magnetfeld und Induktivität einer zylindrischen Spule. In: Archiv für Elektrotechnik. 30. Jahrgang, Nr. 3, 3. März 1936, ISSN 1432-0487, S. 139–157, doi:10.1007/BF01657310 (springer.com).
  4. E. E. Callaghan, S. H. Maslen: The Magnetic Field of a Finite Solenoid. In: NASA Technical Reports. NASA-TN-D-465, E-900, 1. Oktober 1960 (nasa.gov).
  5. M. W. Garrett: Calculation of Fields, Forces, and Mutual Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals. In: Journal of Applied Physics. 34. Jahrgang, Nr. 9, September 1963, S. 2567–2573, doi:10.1063/1.1729771.
  6. Herleitung: (Memento vom 19. Juli 2021 im Internet Archive; PDF), abgerufen am 10. Juli 2021.
  7. ↑ Norman Derby, Stanislaw Olbert: Cylindrical magnets and ideal solenoids. In: American Journal of Physics. 78. Jahrgang, Nr. 3, 2010, ISSN 0002-9505, S. 229–235, doi:10.1119/1.3256157, arxiv:0909.3880.
  8. H. A. Wheeler: Simple Inductance Formulas for Radio Coils. In: Proceedings of the Institute of Radio Engineers. Band 16, Nr. 10, 1928, S. 1398–1400, doi:10.1109/JRPROC.1928.221309.
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Eine Zylinderspule ist eine Spule bei der die Drahtwicklung auf einem Zylindermantel liegt also dunn gegenuber dem Zylinderdurchmesser ist In der Regel ist sie einlagig Einlagige Zylinderspulen haben einen helixformigen Verlauf des Drahtes ZylinderspuleEine Zylinderspule hat ublicherweise einen im Verhaltnis zum Durchmesser kleinen Abstand der Drahtwindungen voneinander und damit eine vergleichsweise hohe Anzahl von Windungen pro Lange Eine Zylinderspule mit einem grossen Verhaltnis Lange zu Durchmesser ist zum Erzeugen eines homogenen Magnetfeldes in ihrer Mitte geeignet solenoidales Magnetfeld und wird manchmal auch als Solenoid bezeichnet Bauformen von Zylinderspulen sind unter Luftspule beschrieben Im Grenzfall einer sehr kurzen Lange geht die Zylinderspule in eine kreisformige Leiterschleife uber Inhaltsverzeichnis 1 Technische Bedeutung 2 Magnetfeld 3 Induktivitat 4 EinzelnachweiseTechnische Bedeutung BearbeitenZylinderspulen haben neben der einfachen Berechenbarkeit folgende Merkmale besonders fur hohe Frequenzen geeignet und hohe Eigenresonanzfrequenz wegen der geringen kapazitiven Kopplung zwischen den Windungen und Anschlussen im Vergleich zu mehrlagigen Spulen oder Toroidspulen fur hohe Spannungen besser geeignet wegen der entfallenden Lagenisolation grossere Abmessungen jedoch bessere Abfuhrung der Verlustwarme als mehrlagige Spulen gleicher InduktivitatAusgehend von diesen Eigenschaften werden Zylinderspulen als Hochfrequenzdrossel UKW Drossel und allgemein zur Herstellung von Induktivitaten bei hohen Frequenzen eingesetzt Zylinderspulen lassen sich abgleichen indem ihre Windungen auseinandergebogen oder gezogen werden Wird ein Aluminium oder Ferrit bzw Eisenpulverkern eingeschoben siehe auch Variometer ist der damit erreichbare Variationsbereich hoher als bei einer kurzen mehrlagigen Spule Ubereinander jeweils als Zylinderspule ausgebildete Wicklungen von Transformatoren sind durch eine geringe Selbstinduktion Streuinduktivitat gepragt und sind nicht vom Proximity Effekt betroffen Der Teilchendetektor Compact Muon Solenoid CMS am CERN ist ein Beispiel fur eine besonders grosse Zylinderspule Magnetfeld Bearbeiten nbsp Magnetfeld einer Zylinderspule im Querschnitt Die Drahtwicklungen sind durch Strom fliesst in die Bildebene hinein und Strom fliesst aus der Bildebene heraus markiert nbsp Magnetfeld einer Zylinderspule mit zehn Windungen Die Schnittebene verlauft axial durch das Zentrum nbsp Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule Die Schnittebene verlauft axial durch das Zentrum An den Endkanten divergiert das radiale Feld Das Magnetfeld B einer idealen Zylinderspule kann durch Integration des Biot Savart Gesetzes berechnet werden Die Spule habe die Windungszahl N Stromstarke I Lange l und Radius R Wir bezeichnen die Zylinderachse durch den Einheitsvektor z displaystyle hat z nbsp wobei z vom Mittelpunkt der Spule in Richtung der Korkenzieherregel gemessen wird Der Abstand zur Zylinderachse sei r mit entsprechendem Einheitsvektor r displaystyle hat rho nbsp Zylinderkoordinaten Dann besitzt das erzeugte Feld nur eine axiale und radiale aber keine azimutale Komponente B r r z z B r r z r B z r z z displaystyle vec B rho hat rho z hat z B rho rho z hat rho B z rho z hat z nbsp Die Feldkomponenten betragen 1 2 3 4 5 6 B r m 0 4 p N I l 1 r r R 2 z 2 2 m K m 2 E m z z l 2 z z l 2 displaystyle B rho frac mu 0 4 pi frac NI l frac 1 rho left sqrt rho R 2 zeta 2 Bigl 2 m K m 2 E m Bigr right zeta z l 2 zeta z l 2 nbsp B z m 0 2 p N I l z r R 2 z 2 r R r R P n m K m z z l 2 z z l 2 displaystyle B z frac mu 0 2 pi frac NI l left frac zeta sqrt rho R 2 zeta 2 left frac rho R rho R Pi n m K m right right zeta z l 2 zeta z l 2 nbsp Der Inhalt der eckigen Klammern wird subtrahiert gemass f x x a x b f b f a displaystyle f x x a x b f b f a nbsp Hierbei wurde die magnetische Feldkonstante m0 die Substitutionen m 4 R r r R 2 z 2 displaystyle m 4R rho left rho R 2 zeta 2 right nbsp n 4 R r r R 2 displaystyle n 4R 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NI sqrt 2R 2 l 2 nbsp Fur lange Spulen l 2 R displaystyle l gg 2R nbsp betragt das Feld uberall im Inneren ausser nahe den Enden B z m 0 N I l displaystyle vec B approx hat z mu 0 frac NI l nbsp und sinkt und ausserhalb weit weg von den Spulenenden schnell auf Null ab Fur grosse Abstande r 2 z 2 R 2 l 2 2 displaystyle rho 2 z 2 gg R 2 l 2 2 nbsp nahert sich das Feld einem Dipolfeld mit magnetischem Moment m N I R 2 p z displaystyle vec m NIR 2 pi hat z nbsp an 7 B r r z z m 0 4 N I R 2 3 r z r 2 z 2 r 2 z r 2 z 2 5 displaystyle vec B rho hat rho z hat z approx frac mu 0 4 NIR 2 frac 3 rho z hat rho 2z 2 rho 2 hat z sqrt rho 2 z 2 5 nbsp Das Magnetfeld der Zylinderspule entspricht exakt dem eines homogen magnetisierten zylinderformigen Stabmagneten mit Magnetisierung M displaystyle M nbsp wobei N I M l displaystyle NI widehat Ml nbsp 7 Induktivitat BearbeitenDie Induktivitat einer Zylinderspule im Vakuum betragt 7 L 8 m 0 N 2 R 2 3 l 1 2 k cel k 1 1 2 k 2 R l k l 2 R 2 l 2 2 displaystyle L frac 8 mu 0 N 2 R 2 3 l left frac 1 2k operatorname cel left k 1 1 2k 2 right frac R l right quad k frac l 2 sqrt R 2 l 2 2 nbsp Hierbei ist cel das elliptische Bulirsch Integral und m 0 displaystyle mu 0 nbsp ist die Magnetische Feldkonstante Fur konkrete Aspektverhaltnisse ist dies l R displaystyle l R nbsp 0 01 0 1 0 5 1 2 5 10 100 L m 0 N 2 R 2 p l displaystyle L bigg frac mu 0 N 2 R 2 pi l nbsp 0 0197 0 124 0 365 0 526 0 688 0 850 0 920 0 9916 1Eine einfache Naherungsformel fur nicht zu kurze Spulen ist L m 0 N 2 R 2 p l 0 9 R displaystyle L approx frac mu 0 N 2 R 2 pi l 0 9 cdot R nbsp Diese Formel hat fur l gt 0 8 R displaystyle l gt 0 8R nbsp weniger als 1 Fehler 8 Im Fall einer sehr langen Zylinderspule l R displaystyle l gg R nbsp mit Querschnittsflache A R 2 p displaystyle A R 2 pi nbsp lasst sich die Naherung noch weiter vereinfachen L m 0 N 2 A l displaystyle L approx frac mu 0 N 2 A l nbsp Bei Spulen mit ferromagnetischem Kern ist die Formel nicht mehr anwendbar da der aussere Teil des Feldes nun relevant wird Handelt es sich jedoch um einen geschlossenen magnetischen Kreis in der Form eines hochpermeablen Rahmens auf den die Spule gewickelt ist kann statt der Spulenlange dessen mittlerer Umfang das ist die mittlere magnetische Weglange und statt des Spulenquerschnittes sein mittlerer Querschnitt eingesetzt werden Die Induktivitatsberechnung erfordert dann noch die Multiplikation mit der Permeabilitatszahl m r displaystyle mu r nbsp des Kernmaterials Einzelnachweise Bearbeiten J C Maxwell Electricity and Magnetism Clarendon Press Oxford England 1873 archive org Karl Friedrich Muller Berechnung der Induktivitat von Spulen In Archiv fur Elektrotechnik 17 Jahrgang Nr 3 1 Mai 1926 ISSN 1432 0487 S 336 353 doi 10 1007 BF01655986 springer com Kuno Foelsch Magnetfeld und Induktivitat einer zylindrischen Spule In Archiv fur Elektrotechnik 30 Jahrgang Nr 3 3 Marz 1936 ISSN 1432 0487 S 139 157 doi 10 1007 BF01657310 springer com E E Callaghan S H Maslen The Magnetic Field of a Finite Solenoid In NASA Technical Reports NASA TN D 465 E 900 1 Oktober 1960 nasa gov M W Garrett Calculation of Fields Forces and Mutual Inductances of Current Systems by Elliptic Integrals In Journal of Applied Physics 34 Jahrgang Nr 9 September 1963 S 2567 2573 doi 10 1063 1 1729771 Herleitung Finite length Solenoid potential and field Memento vom 19 Juli 2021 im Internet Archive PDF abgerufen am 10 Juli 2021 a b c d Norman Derby Stanislaw Olbert Cylindrical magnets and ideal solenoids In American Journal of Physics 78 Jahrgang Nr 3 2010 ISSN 0002 9505 S 229 235 doi 10 1119 1 3256157 arxiv 0909 3880 H A Wheeler Simple Inductance Formulas for Radio Coils In Proceedings of the Institute of Radio Engineers Band 16 Nr 10 1928 S 1398 1400 doi 10 1109 JRPROC 1928 221309 Normdaten Sachbegriff GND 4191387 5 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zylinderspule amp oldid 235446906