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Zweizustandssystem Ein Zwei Zustands System oder auch Zwei Niveau System in der Quantenmechanik ist ein einfaches aber w

Zweizustandssystem

Ein Zwei-Zustands-System oder auch Zwei-Niveau-System in der Quantenmechanik ist ein einfaches, aber wichtiges Modellsystem, das zur Beschreibung vieler Situationen herangezogen werden kann. Das System kann sich nur in einem von zwei möglichen Zuständen, und benannt, oder in einer Superposition dieser zwei Zustände befinden (Bra-Ket-Notation). Diese zwei Zustände haben dabei üblicherweise unterschiedliche Energien und . Ein Beispiel ist etwa ein an ein Atom gebundenes Elektron, das eines von zwei Niveaus des Atomspektrums besetzen kann (Grundzustand, angeregter Zustand, siehe Abbildung rechts). Oft wird auch das Modellsystem eines quantenmechanischen Spins-1/2 (Drehimpulses) benutzt, der sich nur in zwei Einstellungen befinden kann. Zwischen den Niveaus existiert ein Übergang (z. B. ein optischer Übergang, der durch sichtbares Licht angeregt werden kann). Befindet sich das System einmal in einem der beiden Zustände, so bleibt es für immer dort, zumindest solange man das System nicht stört. Wird eine Störung in dem System eingeschaltet, so kann man beobachten, dass die Zustände ineinander übergehen können:

schematische Darstellung eines Zwei-Zustands-Systems mit Absorption und Emission eines Energiequants

Befindet sich z. B. ein Elektron im Zustand (der energetisch niedriger liege als ), so kann es durch einen resonant eingestrahlten Laser-Puls in den Zustand übergehen. Ein Elektron im Zustand kann durch Emission eines Photons, das die Differenzenergie zwischen den Zuständen trägt, in den Zustand zurückfallen. Die nebenstehende Abbildung zeigt das schematisch.

Liegt die Störung längere Zeit an, so oszilliert die Wahrscheinlichkeit, das Atom in einem der Zustände zu finden. Nach einer halben Oszillationsdauer ist die Wahrscheinlichkeit hoch, das Atom im angeregten Zustand vorzufinden, nach einer ganzen Dauer ist es höchstwahrscheinlich wieder im Grundzustand usw. Dieses Phänomen entspricht den Rabi-Oszillationen.

Mathematische Beschreibung im Rahmen der Quantenmechanik Bearbeiten

Statische Behandlung Bearbeiten

Zum gegebenen System gehört ein Hamiltonoperator . Die Zustände sind Eigenzustände dieses Hamiltonians zu den Eigenwerten :

Wird zusätzlich zu eine hermitesche Störung eingeschaltet, so sind nicht mehr die Eigenzustände des neuen Hamiltonians . Die neuen Eigenzustände seien mit und die neuen Eigenenergien mit bezeichnet. Man erhält in der -Basis folgende Darstellung für :

  • Ist , so verschieben sich lediglich die Energieeigenwerte; die Eigenzustände bleiben gleich. Es gilt dann:
Energie-Verschiebung im gestörten Zwei-Zustands-System
  • Im Falle nehmen wir der übersichtlicheren Darstellung wegen hier an, dass und erhalten dann:
Dabei wurden folgende Definitionen verwendet:
Man sieht, dass in diesem Fall die Energie-Eigenwerte so verschoben werden, dass ihr Abstand größer wird:
Dieses Phänomen nennt man auch vermiedene Kreuzung (Englisch: avoided crossing oder avoided level crossing, manchmal auch level repulsion, Abstoßung der Energieniveaus), da die Energieniveaus ohne die Störung durch zwei sich kreuzende Linien dargestellt werden, während im gestörten System die Niveaus sich zwar annähern, aber nicht mehr kreuzen.
Oszillationen im QM-Zweizustandssystem

Zeitentwicklung Bearbeiten

Wird das System zum Zeitpunkt im Eigenzustand präpariert, so bleibt es für alle Zeiten in diesem Zustand. Wird nun aber die Störung (mit nichtverschwindenden Nebendiagonal-Elementen) zugeschaltet, so ist die Wahrscheinlichkeit , das System zum Zeitpunkt t im Zustand zu finden, nicht mehr 0. Dies ist im Wesentlichen darauf zurückzuführen, dass die Zustände und keine Eigenzustände des Systems mehr sind. Aus der etwas umfangreichen Rechnung erhält man:

Diese Oszillationen zwischen den Zuständen, wie sie auch die nebenstehende Abbildung zeigt, werden auch als Rabioszillationen bzw. als Rabiflops bezeichnet.

Literatur Bearbeiten

  • Claude Cohen-Tannoudji, Bernard Diu, Franck Laloë: Quantenmechanik 1/2. 2. Auflage. Walter de Gruyter, Berlin – New York, S. 649 ff.

Weblinks Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Ein Zwei Zustands System oder auch Zwei Niveau System in der Quantenmechanik ist ein einfaches aber wichtiges Modellsystem das zur Beschreibung vieler Situationen herangezogen werden kann Das System kann sich nur in einem von zwei moglichen Zustanden 1 displaystyle left 1 right rangle und 2 displaystyle left 2 right rangle benannt oder in einer Superposition dieser zwei Zustande befinden Bra Ket Notation Diese zwei Zustande haben dabei ublicherweise unterschiedliche Energien E 1 displaystyle E 1 und E 2 displaystyle E 2 Ein Beispiel ist etwa ein an ein Atom gebundenes Elektron das eines von zwei Niveaus des Atomspektrums besetzen kann Grundzustand angeregter Zustand siehe Abbildung rechts Oft wird auch das Modellsystem eines quantenmechanischen Spins 1 2 Drehimpulses benutzt der sich nur in zwei Einstellungen befinden kann Zwischen den Niveaus existiert ein Ubergang z B ein optischer Ubergang der durch sichtbares Licht angeregt werden kann Befindet sich das System einmal in einem der beiden Zustande so bleibt es fur immer dort zumindest solange man das System nicht stort Wird eine Storung in dem System eingeschaltet so kann man beobachten dass die Zustande ineinander ubergehen konnen schematische Darstellung eines Zwei Zustands Systems mit Absorption und Emission eines EnergiequantsBefindet sich z B ein Elektron im Zustand 1 displaystyle left 1 right rangle der energetisch niedriger liege als 2 displaystyle left 2 right rangle so kann es durch einen resonant eingestrahlten Laser Puls in den Zustand 2 displaystyle left 2 right rangle ubergehen Ein Elektron im Zustand 2 displaystyle left 2 right rangle kann durch Emission eines Photons das die Differenzenergie D E E 2 E 1 ℏ w displaystyle Delta E E 2 E 1 hbar omega zwischen den Zustanden tragt in den Zustand 1 displaystyle left 1 right rangle zuruckfallen Die nebenstehende Abbildung zeigt das schematisch Liegt die Storung langere Zeit an so oszilliert die Wahrscheinlichkeit das Atom in einem der Zustande zu finden Nach einer halben Oszillationsdauer ist die Wahrscheinlichkeit hoch das Atom im angeregten Zustand vorzufinden nach einer ganzen Dauer ist es hochstwahrscheinlich wieder im Grundzustand usw Dieses Phanomen entspricht den Rabi Oszillationen Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung im Rahmen der Quantenmechanik 1 1 Statische Behandlung 1 2 Zeitentwicklung 2 Literatur 3 WeblinksMathematische Beschreibung im Rahmen der Quantenmechanik BearbeitenStatische Behandlung Bearbeiten Zum gegebenen System gehort ein Hamiltonoperator H 0 displaystyle hat H 0 nbsp Die Zustande 1 2 displaystyle left 1 right rangle left 2 right rangle nbsp sind Eigenzustande dieses Hamiltonians zu den Eigenwerten E 1 E 2 displaystyle E 1 E 2 nbsp H 0 n E n n n 1 2 displaystyle hat H 0 left n right rangle E n cdot left n right rangle n in left 1 2 right nbsp Wird zusatzlich zu H 0 displaystyle hat H 0 nbsp eine hermitesche Storung W displaystyle hat W nbsp eingeschaltet so sind 1 2 displaystyle left 1 right rangle left 2 right rangle nbsp nicht mehr die Eigenzustande des neuen Hamiltonians H H 0 W displaystyle hat H hat H 0 hat W nbsp Die neuen Eigenzustande seien mit displaystyle left right rangle left right rangle nbsp und die neuen Eigenenergien mit E E displaystyle E E nbsp bezeichnet Man erhalt in der 1 2 displaystyle left 1 right rangle left 2 right rangle nbsp Basis folgende Darstellung fur H displaystyle hat H nbsp H E 1 W 11 W 12 W 21 E 2 W 22 W 12 W 21 displaystyle hat H begin pmatrix E 1 W 11 amp W 12 W 21 amp E 2 W 22 end pmatrix W 12 W 21 nbsp Ist W 12 W 21 0 displaystyle W 12 W 21 0 nbsp so verschieben sich lediglich die Energieeigenwerte die Eigenzustande bleiben gleich Es gilt dann E E 1 W 11 E E 2 W 22 displaystyle E E 1 W 11 E E 2 W 22 nbsp 1 2 displaystyle left right rangle left 1 right rangle left right rangle left 2 right rangle nbsp dd nbsp Energie Verschiebung im gestorten Zwei Zustands SystemIm Falle W 12 W 21 0 displaystyle W 12 W 21 neq 0 nbsp nehmen wir der ubersichtlicheren Darstellung wegen hier an dass W 11 W 22 0 displaystyle W 11 W 22 0 nbsp und erhalten dann E E m D 2 W 12 2 displaystyle E pm E m pm sqrt Delta 2 W 12 2 nbsp cos 8 2 e i f 2 1 sin 8 2 e i f 2 2 displaystyle left right rangle cos frac theta 2 cdot e i varphi 2 cdot left 1 right rangle sin frac theta 2 cdot e i varphi 2 cdot left 2 right rangle nbsp sin 8 2 e i f 2 1 cos 8 2 e i f 2 2 displaystyle left right rangle sin frac theta 2 cdot e i varphi 2 cdot left 1 right rangle cos frac theta 2 cdot e i varphi 2 cdot left 2 right rangle nbsp dd Dabei wurden folgende Definitionen verwendet E m E 1 E 2 2 D E 1 E 2 2 tan 8 W 12 D H 12 H 12 e i f displaystyle E m frac E 1 E 2 2 Delta frac E 1 E 2 2 tan theta frac W 12 Delta H 12 H 12 cdot e i varphi nbsp dd Man sieht dass in diesem Fall die Energie Eigenwerte so verschoben werden dass ihr Abstand grosser wird E E gt E 2 E 1 displaystyle E E gt E 2 E 1 nbsp dd Dieses Phanomen nennt man auch vermiedene Kreuzung Englisch avoided crossing oder avoided level crossing manchmal auch level repulsion Abstossung der Energieniveaus da die Energieniveaus ohne die Storung durch zwei sich kreuzende Linien dargestellt werden wahrend im gestorten System die Niveaus sich zwar annahern aber nicht mehr kreuzen nbsp Oszillationen im QM ZweizustandssystemZeitentwicklung Bearbeiten Wird das System zum Zeitpunkt t 0 displaystyle t 0 nbsp im Eigenzustand 1 displaystyle left 1 right rangle nbsp prapariert so bleibt es fur alle Zeiten in diesem Zustand Wird nun aber die Storung W displaystyle hat W nbsp mit nichtverschwindenden Nebendiagonal Elementen zugeschaltet so ist die Wahrscheinlichkeit P 12 t displaystyle P 12 t nbsp das System zum Zeitpunkt t im Zustand 2 displaystyle left 2 right rangle nbsp zu finden nicht mehr 0 Dies ist im Wesentlichen darauf zuruckzufuhren dass die Zustande 1 displaystyle left 1 right rangle nbsp und 2 displaystyle left 2 right rangle nbsp keine Eigenzustande des Systems mehr sind Aus der etwas umfangreichen Rechnung erhalt man P 12 t W 12 2 W 12 2 D 2 sin 2 t W 12 2 D 2 ℏ displaystyle P 12 t frac W 12 2 W 12 2 Delta 2 cdot sin 2 left frac t cdot sqrt W 12 2 Delta 2 hbar right nbsp Diese Oszillationen zwischen den Zustanden wie sie auch die nebenstehende Abbildung zeigt werden auch als Rabioszillationen bzw als Rabiflops bezeichnet Literatur BearbeitenClaude Cohen Tannoudji Bernard Diu Franck Laloe Quantenmechanik 1 2 2 Auflage Walter de Gruyter Berlin New York S 649 ff Weblinks BearbeitenJan Krieger Theoretische Quantenmechanik und Anwendungen 2007 PDF Datei 4 26 MB Normdaten Sachbegriff GND 4253007 6 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Zweizustandssystem amp oldid 238107520