Als Zufallszahl wird das Ergebnis einer speziellen Berechnung oder eines speziellen Zufallsexperimentes bezeichnet. Mit Methoden der Zufallszahlenerzeugung werden Zufallszahlen so erzeugt, dass sie als Realisierung einer Zufallsvariablen mit vorgegebener Wahrscheinlichkeitsverteilung gelten können. Bei Standardzufallszahlen ist diese Wahrscheinlichkeitsverteilung die Gleichverteilung auf dem Einheitsintervall. Aufeinanderfolgender Zufallszahlen sollen dabei als Realisierungen stochastisch unabhängiger und identisch verteilter Zufallsvariablen mit der vorgegebenen Wahrscheinlichkeitsverteilung gelten können.
Von Programmen erzeugte Zufallszahlen werden auch als Pseudozufallszahlen bezeichnet. Gemessene Ergebnisse realer Experimente, wie die Anzahl der durch einen Geigerzähler erfassten radioaktiver Zerfälle in einer Zeiteinheit, werden manchmal auch als echte Zufallszahlen bezeichnet.
Zufallszahlen werden bei verschiedenen Methoden der Statistik benötigt, z. B. bei der Auswahl einer Stichprobe aus einer Grundgesamtheit, bei der zufälligen Verteilung von Versuchstieren auf verschiedene Versuchsgruppen (Randomisierung), bei der Monte-Carlo-Simulation u. a.
Zur Erzeugung von Zufallszahlen gibt es verschiedene Verfahren. Programme zur Berechnung oder Experimente zur Erzeugung von Zufallszahlen heißen Zufallszahlengeneratoren. Ein entscheidendes Kriterium für Zufallszahlen ist, ob das Ergebnis der Generierung als unabhängig von früheren Ergebnissen angesehen werden kann oder nicht.
Echte Zufallszahlen Bearbeiten
Echte Zufallszahlen werden mithilfe physikalischer Phänomene erzeugt: Münzwurf, Würfel, Roulette, Rauschen elektronischer Bauelemente, radioaktive Zerfallsprozesse oder quantenphysikalische Effekte. Diese Verfahren nennen sich physikalische Zufallszahlengeneratoren, sind jedoch zeitlich oder technisch recht aufwendig.
Für manche Zwecke, z. B. bei der Erzeugung kryptographischer Schlüssel, werden echte Zufallszahlen benötigt.
Pseudozufallszahlen Bearbeiten
In der realen Anwendung genügt häufig eine Folge von Pseudozufallszahlen, das sind scheinbar zufällige Zahlen, die nach einem festen, reproduzierbaren Verfahren erzeugt werden. Sie sind also nicht zufällig, da sie sich vorhersagen lassen, haben aber ähnliche statistische Eigenschaften (gleichmäßige Häufigkeitsverteilung, geringe Korrelation) wie echte Zufallszahlenfolgen. Solche Verfahren nennt man Pseudozufallszahlengeneratoren.
Die meisten höheren Programmiersprachen stellen Funktionen zum Erzeugen von Pseudozufallszahlen bereit.
Standardzufallszahlen Bearbeiten
Standardzufallszahlen sollen als Realisationen unabhängiger, auf gleichverteilter Zufallsvariablen gelten können.
Ein Verfahren zur Erzeugung solcher Sequenzen heißt Standardzufallszahlengenerator. Solche Generatoren sollten schnell und die erzeugten Folgen auf unproblematische Weise leicht reproduzierbar sein. Meistens handelt es sich bei Standardzufallszahlengeneratoren um Kongruenzgeneratoren.
Zufallszahlen mit vorgegebener Verteilung Bearbeiten
Die Inversionsmethode ermöglicht zumindest prinzipiell die Erzeugung von Zufallszahlen aus jeder univariaten Wahrscheinlichkeitsverteilung mit gegebener Verteilungsfunktion durch eine geeignete Transformation von Standardzufallszahlen. Dazu werden Standardzufallszahlen mit der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion in die Zufallszahlen
transformiert. Die resultierenden Zufallszahlen können dann als Realisationen unabhängig und identisch verteilter Zufallsvariablen mit der Verteilungsfunktion gelten.
Es wurden verschiedene Ansätze zur Vereinfachung oder Beschleunigung der Zufallszahlenerzeugung für spezielle Verteilungen oder Verteilungsfamilien entwickelt, z. B. die Verwerfungsmethode, die Kompositionsmethode und verschiedene direkte Verfahren.
Einzelnachweise Bearbeiten
- Horst Rinne: Taschenbuch der Statistik. 4. Auflage. Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2008, ISBN 978-3-8171-1827-4, S. 208–213.
Siehe auch Bearbeiten
Literatur Bearbeiten
- Luc Devroye: Non-Uniform Random Variate Generation. Springer, New York 1986, ISBN 0-387-96305-7, doi:10.1007/978-1-4613-8643-8 (http://luc.devroye.org/nonuniformrandomvariates.zip Zip-Datei aller Buchkapitel).
- P. H. Müller (Hrsg.): Lexikon der Stochastik – Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. 5. Auflage. Akademie-Verlag, Berlin 1991, ISBN 978-3-05-500608-1, Zufallszahlen (random numbers), S. 520–521.
- Christian P. Robert, George Casella: Monte Carlo Statistical Methods (= Springer Texts in Statistics). 2. Auflage. Springer, 2004, ISBN 0-387-21239-6, doi:10.1007/978-1-4757-4145-2.