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Verformungsenergie Die Formänderungsenergie Verzerrungsenergie oder elastische Energie englisch strain energy 1 oder auc

Verformungsenergie

Die Verformungsenergie, Formänderungsenergie, Verzerrungsenergie oder elastische Energie (englisch strain energy oder auch stored energy function) tritt bei einer Verformung eines Körpers auf und wird dabei in ihm gespeichert. Sie ist der Energie­betrag, der in Materialien aufgebracht werden muss, um die Abweichungen von der idealen, energieärmsten Materialstruktur zu realisieren.

Ein an einer elastischen Feder (grau) aufgehängtes Gewicht (gelb) findet ein Gleichgewicht, wo die Abnahme an Lageenergie im Schwerefeld gleich der Zunahme an elastischer Energie in der Feder ist

Die Verformungsenergie ist eine Form der Lageenergie in elastischen Systemen, siehe Bild. Dort findet ein an einer elastischen Feder im Schwerefeld der Erde aufgehängtes Gewicht ein Gleichgewicht, in dem die Abnahme an Lageenergie im Schwerefeld gleich der Zunahme an elastischer Energie in der Feder ist:

Wird ein weiteres Gewicht angehängt, so wird die Feder weiter ausgelenkt; wird das zusätzliche Gewicht wieder entfernt, so kehrt sie in die vorherige Lage zurück.

Bei linearer Elastizität ist die elastische Energie W der Feder proportional zur Federkonstanten D und zum Quadrat der Auslenkung u (bzw. x im Bild) aus der Ruhelage:

In anderen Strukturbauteilen existieren vergleichbare Formeln, siehe #Berechnung.

Der Auslenkungsprozess ist näherungsweise umkehrbar, solange die Feder nicht überdehnt wird. Es entsteht wie bei jedem Kreisprozzes reibungswärme.

Verformungsarbeit und Verformungsenergie Bearbeiten

Wenn die Feder von der Kraft über ihre Elastizitätsgrenze hinaus belastet wird (Überdehnung), wird ein Teil der Verformungsarbeit in einem irreversiblen Prozess verbraucht, z. B. bei:

In diesen Fällen kann bei Wegnahme der Kraft von der Verformungsarbeit nur derjenige Anteil der mechanischen Energie vom Körper zurückgegeben werden, der bis zum Erreichen der Elastizitätsgrenze als Formänderungsenergie gespeichert wurde; der restliche Anteil ist in andere Energieformen umgewandelt worden und damit für die Rückumwandlung in Lageenergie „verloren“.

Wenn nur Teile des Körpers über die Elastizitätsgrenze hinaus verformt werden, kann es vorkommen, dass sich nicht alle elastisch verformten Bereiche nach einer Entlastung wieder entspannen und stattdessen Gebiete mit Eigenspannungen zurückbleiben.

Berechnung Bearbeiten

Die Formänderungsenergie berechnet sich als Volumenintegral der Formänderungsenergiedichte U bzw. der Spannungsarbeit über den ganzen Körper:

Aus der Formänderungsenergiedichte ergeben sich die Spannungen σij als partielle Ableitung nach den Dehnungen εij:

Die Spannungsarbeit der Komponente ij ist das Produkt

Dies lässt sich summiert über alle Komponenten ij symbolisch und für beliebige Koordinatensysteme schreiben als Matrizenprodukt:

Bei Hyperelastizität ergeben sich die Spannungen koordinatenunabhängig aus

womit auch die Kurvenintegrale bei der Spannungsarbeit wegunabhängig werden.

Mit Ansätzen für die Verschiebung und Verzerrung ergeben sich in der linearen Elastizität mit Elastizitätsmodul E und Schubmodul G für den schlanken Stab und Balken der Länge l in x-Richtung die Formeln

Wegen der angenommenen Linearität können die Formänderungsenergien durch mehrere dieser Belastungsarten zur resultierenden Formänderungsenergie addiert werden.

Siehe auch Bearbeiten

Fußnoten Bearbeiten

  1. ↑ P. Haupt: Continuum Mechanics and Theory of Materials. Springer, 2002, ISBN 978-3-642-07718-0, S. 347, 349, 360, 366, 381, 517, 589, doi:10.1007/978-3-662-04775-0.
  2. Philippe Ciarlet: Mathematical Elasticity. Band 1: Three-Dimensional Elasticity. North-Holland, Amsterdam 1988, ISBN 0-444-70259-8, S. 132.
  3. Elastische-Energie. In: Lexikon der Physik. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 1998 (spektrum.de).
  4. Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 211, doi:10.1007/978-3-642-55485-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  5. Die Fréchet-Ableitung einer skalaren Funktion nach einem Tensor ist der Tensor , für den – sofern er existiert – gilt: Darin ist s ∈ ℝ und ":" das Frobenius-Skalarprodukt. Dann wird auch geschrieben:
  6. ↑ Bernd Markert: Mechanik 2 Elastostatik – Statik deformierbarer Körper. Hrsg.: Institut für Allgemeine Mechanik Aachen. 2. Auflage. Aachen 2015.
  7. Russel C. Hibbeler: Technische Mechanik 2. Festigkeitslehre. 8. Auflage. Pearson Deutschland, München 2013, ISBN 978-3-86894-126-5.

Literatur Bearbeiten

  • Elastische Energie. In: Lexikon der Physik. spektrum.de, 1998;.
  • Ralf Greve: Kontinuumsmechanik. Ein Grundkurs für Ingenieure und Physiker. Springer, Berlin u. a. 2003, ISBN 978-3-642-62463-6, S. 211, doi:10.1007/978-3-642-55485-8 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Holm Altenbach: Kontinuumsmechanik. Einführung in die materialunabhängigen und materialabhängigen Gleichungen. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg 2012, ISBN 978-3-642-24118-5, S. 259, doi:10.1007/978-3-642-24119-2.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Verformungsenergie Formanderungsenergie Verzerrungsenergie oder elastische Energie englisch strain energy 1 oder auch stored energy function 2 W e l displaystyle mathsf W el tritt bei einer Verformung eines Korpers auf und wird dabei in ihm gespeichert Sie ist der Energie betrag der in Materialien aufgebracht werden muss um die Abweichungen von der idealen energiearmsten Materialstruktur zu realisieren Ein an einer elastischen Feder grau aufgehangtes Gewicht gelb findet ein Gleichgewicht wo die Abnahme an Lageenergie im Schwerefeld gleich der Zunahme an elastischer Energie in der Feder istDie Verformungsenergie ist eine Form der Lageenergie in elastischen Systemen 3 siehe Bild Dort findet ein an einer elastischen Feder im Schwerefeld der Erde aufgehangtes Gewicht ein Gleichgewicht in dem die Abnahme an Lageenergie im Schwerefeld D W L a g e displaystyle mathsf Delta W Lage gleich der Zunahme an elastischer Energie in der Feder D W e l displaystyle mathsf Delta W el ist D W L a g e D W e l displaystyle mathsf Delta W Lage Delta W el Wird ein weiteres Gewicht angehangt so wird die Feder weiter ausgelenkt wird das zusatzliche Gewicht wieder entfernt so kehrt sie in die vorherige Lage zuruck Bei linearer Elastizitat ist die elastische Energie W der Feder proportional zur Federkonstanten D und zum Quadrat der Auslenkung u bzw x im Bild aus der Ruhelage W D 2 u 2 displaystyle mathsf W frac D 2 u 2 In anderen Strukturbauteilen existieren vergleichbare Formeln siehe Berechnung Der Auslenkungsprozess ist naherungsweise umkehrbar solange die Feder nicht uberdehnt wird Es entsteht wie bei jedem Kreisprozzes reibungswarme Inhaltsverzeichnis 1 Verformungsarbeit und Verformungsenergie 2 Berechnung 3 Siehe auch 4 Fussnoten 4 1 LiteraturVerformungsarbeit und Verformungsenergie BearbeitenWenn die Feder von der Kraft uber ihre Elastizitatsgrenze hinaus belastet wird Uberdehnung wird ein Teil der Verformungsarbeit in einem irreversiblen Prozess verbraucht z B bei Plastifizierungen Knete Bruch Steinbruch oder Warmeerzeugung Viskositat innere Reibung Reibungsarbeit In diesen Fallen kann bei Wegnahme der Kraft von der Verformungsarbeit nur derjenige Anteil der mechanischen Energie vom Korper zuruckgegeben werden der bis zum Erreichen der Elastizitatsgrenze als Formanderungsenergie gespeichert wurde der restliche Anteil ist in andere Energieformen umgewandelt worden und damit fur die Ruckumwandlung in Lageenergie verloren Wenn nur Teile des Korpers uber die Elastizitatsgrenze hinaus verformt werden kann es vorkommen dass sich nicht alle elastisch verformten Bereiche nach einer Entlastung wieder entspannen und stattdessen Gebiete mit Eigenspannungen zuruckbleiben Berechnung BearbeitenDie Formanderungsenergie berechnet sich als Volumenintegral der Formanderungsenergiedichte U bzw der Spannungsarbeit l displaystyle l nbsp uber den ganzen Korper W V U d V displaystyle W int V mathsf U mathrm d V nbsp Aus der Formanderungsenergiedichte ergeben sich die Spannungen sij als partielle Ableitung nach den Dehnungen eij 4 1 s i j U e i j displaystyle sigma ij frac partial mathsf U partial varepsilon ij nbsp dd Die Spannungsarbeit der Komponente ij ist das Produkt l i i j e i j 0 e i j 1 s i j d e i j displaystyle l i ij int varepsilon ij 0 varepsilon ij 1 sigma ij mathrm d varepsilon ij nbsp dd Dies lasst sich summiert uber alle Komponenten ij symbolisch und fur beliebige Koordinatensysteme schreiben als Matrizenprodukt l i e 0 e 1 s d e displaystyle l i int boldsymbol varepsilon 0 boldsymbol varepsilon 1 boldsymbol sigma cdot mathrm d boldsymbol varepsilon nbsp dd Bei Hyperelastizitat ergeben sich die Spannungen koordinatenunabhangig aus 5 s U e displaystyle boldsymbol sigma frac partial mathsf U partial boldsymbol varepsilon nbsp dd womit auch die Kurvenintegrale bei der Spannungsarbeit wegunabhangig werden Mit Ansatzen fur die Verschiebung und Verzerrung ergeben sich in der linearen Elastizitat mit Elastizitatsmodul E und Schubmodul G fur den schlanken Stab und Balken der Lange l in x Richtung die Formeln 6 fur den geraden Stab unter Normalkraft N W N 0 l N 2 2 E A d x displaystyle mathsf W N int 0 l frac N 2 2EA dx nbsp mit der Querschnittsflache A unter Torsionsmoment MT W T 0 l M T 2 2 G J P d x displaystyle mathsf W T int 0 l frac M T 2 2GJ P dx nbsp mit dem polaren Flachentragheitsmoment JP 7 fur den geraden Balken unter Biegemoment M W B 0 l M 2 2 E J d x displaystyle mathsf W B int 0 l frac M 2 2EJ dx nbsp mit dem axialen Flachentragheitsmoment J in Richtung der Balkenachse unter Querkraft Q W V 0 l x s Q 2 2 G A d x displaystyle mathsf W V int 0 l frac chi s Q 2 2GA dx nbsp mit dem Formfaktor x s A J A S 2 t 2 d A displaystyle mathsf chi s frac A J int A frac S 2 t 2 dA nbsp in dem das statische Moment S und die Breite bzw Wandstarke t enthalten sind Wegen der angenommenen Linearitat konnen die Formanderungsenergien durch mehrere dieser Belastungsarten zur resultierenden Formanderungsenergie addiert werden 6 Siehe auch BearbeitenSpannenergie Formanderungsenergie KompressionsarbeitFussnoten Bearbeiten a b P Haupt Continuum Mechanics and Theory of Materials Springer 2002 ISBN 978 3 642 07718 0 S 347 349 360 366 381 517 589 doi 10 1007 978 3 662 04775 0 Philippe Ciarlet Mathematical Elasticity Band 1 Three Dimensional Elasticity North Holland Amsterdam 1988 ISBN 0 444 70259 8 S 132 Elastische Energie In Lexikon der Physik Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 1998 spektrum de Ralf Greve Kontinuumsmechanik Ein Grundkurs fur Ingenieure und Physiker Springer Berlin u a 2003 ISBN 978 3 642 62463 6 S 211 doi 10 1007 978 3 642 55485 8 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Die Frechet Ableitung einer skalaren Funktion U T displaystyle mathsf U mathbf T nbsp nach einem Tensor T displaystyle mathbf T nbsp ist der Tensor A displaystyle mathbf A nbsp fur den sofern er existiert gilt A H d d s U T s H s 0 lim s 0 U T s H U T s H displaystyle mathbf A mathbf H left frac mathrm d mathrm d s mathsf U mathbf T s mathbf H right s 0 lim s rightarrow 0 frac mathsf U mathbf T s mathbf H mathsf U mathbf T s quad forall mathbf H nbsp Darin ist s ℝ und das Frobenius Skalarprodukt Dann wird auch geschrieben U T A displaystyle frac partial mathsf U partial mathbf T mathbf A nbsp a b Bernd Markert Mechanik 2 Elastostatik Statik deformierbarer Korper Hrsg Institut fur Allgemeine Mechanik Aachen 2 Auflage Aachen 2015 Russel C Hibbeler Technische Mechanik 2 Festigkeitslehre 8 Auflage Pearson Deutschland Munchen 2013 ISBN 978 3 86894 126 5 Literatur Bearbeiten Elastische Energie In Lexikon der Physik spektrum de 1998 abgerufen am 7 September 2018 Ralf Greve Kontinuumsmechanik Ein Grundkurs fur Ingenieure und Physiker Springer Berlin u a 2003 ISBN 978 3 642 62463 6 S 211 doi 10 1007 978 3 642 55485 8 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Holm Altenbach Kontinuumsmechanik Einfuhrung in die materialunabhangigen und materialabhangigen Gleichungen Springer Verlag Berlin Heidelberg 2012 ISBN 978 3 642 24118 5 S 259 doi 10 1007 978 3 642 24119 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Verformungsenergie amp oldid 233267055