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R sub ξ sub Eichung Die Rξ Eichungen sind eine Klasse von Eichungen in der Quantenfeldtheorie Für Eichtheorien existiere

Rξ-Eichung

Die Rξ-Eichungen sind eine Klasse von Eichungen in der Quantenfeldtheorie. Für Eichtheorien existieren unendlich viele mathematisch verschiedene Ausdrücke, die physikalisch äquivalent sind. Für eine physikalische Beschreibung der Wirklichkeit durch Pfadintegrale muss eine noch nicht näher spezifizierte Eichung ausgewählt werden. Die Rξ-Eichungen sind gebräuchliche Eichungen, da sie Lorentz-invariant sind, das heißt, mit Einsteins Spezieller Relativitätstheorie verträglich in jedem Inertialsystem dieselbe Form haben, und darüber hinaus in den Bewegungsgleichungen für die Quantenfelder der Eichbosonen in der Quantenelektrodynamik die Bewegungsgleichungen in der Lorenz-Eichung der klassischen Elektrodynamik reproduzieren.

Die bedeutendsten Rξ-Eichungen sind Feynman- oder Feynman-’t-Hooft-Eichung, Yennie- oder Fried-Yennie-Eichung und, im weiteren Sinne, unitäre Eichung sowie Landau-Eichung.

Mathematische Formulierung Bearbeiten

Masseloser Fall Bearbeiten

Die Lagrangedichte eines Eichfelds ist in der Quantenelektrodynamik

Nach einer Fourier-Transformation kann die Lagrangedichte auch als

geschrieben werden. Der Propagator , bildlich die Ausbreitungswahrscheinlichkeit eines Quantenfeldes von einem Punkt zu einem anderen, ist die Inverse des Terms in der Klammer; dieser besitzt im Fall der Eichfelder jedoch die Determinante Null und daher keine Inverse.

Die Rξ-Eichungen führen in der Lagrangedichte den zusätzlichen Term, genannt Eichfixierungsterm,

beziehungsweise im Fourierraum

ein. Dabei ist ein freier Eichparameter, der der Rξ-Eichung den Namen gibt. Mithilfe dieses zusätzlichen Terms lautet die Lagrangedichte im Fourierraum

die die Inverse

besitzt. Obgleich für diese Ausführungen der Problematik und ihrer Lösung die Quantenelektrodynamik als einfachstes Beispiel einer im Standardmodell der Elementarteilchenphysik realisierten Eichtheorie verwendet wurde, lassen sich diese Ausführungen auf nichtabelsche Eichtheorien mit masselosen Eichbosonen verallgemeinern, wobei im Allgemeinen Faddejew-Popow-Geister auftreten.

Massiver Fall Bearbeiten

Im Fall massiver Eichtheorien mit spontan gebrochener Symmetrie wie in der elektroschwachen Wechselwirkung treten aufgrund des Goldstonetheorems immer zu den Eichbosonen korrespondierende Goldstone-Bosonen auf. Diese müssen im Eichfixierungsterm berücksichtigt werden. Dieser wird dann zu

Die in ihm auftretenden Mischterme proportional zu heben die aus der spontanen Symmetriebrechung entstehenden unphysikalischen Mischterme genau auf. Dann ist der Propagator

Vergleich zur klassischen Physik Bearbeiten

Die Bewegungsgleichungen (im Ortsraum) für das Eichfeld ergeben sich im Fall der Quantenelektrodynamik mittels der Lagrange-Gleichung aus der Lagrangedichte zu

In der klassischen Elektrodynamik ist die Bewegungsgleichung für das Vektorpotential, hier notiert als ,

Diese ergibt sich im Limes , was gleichbedeutend mit dem Verschwinden des Eichterms ist. Andererseits würde im (masselosen) Quantenfall dann jedoch der Propagator divergieren.

Eine Lorentz-invariante Eichung in der klassischen Physik ist die Lorenz-Eichung, die fordert, sodass die Bewegungsgleichung kompakt

als Wellengleichung geschrieben werden kann. Die Erzwingung des quantenmechanischen geschieht durch die Forderung , sodass der gesamte Eichfixierungsterm nicht divergiert. Andererseits kann die klassische Wellengleichung auch durch das Setzen von erreicht werden.

Diese drei Wahlen, heißen Landau-, Feynman- und unitäre Eichung.

Spezielle Eichungen Bearbeiten

Landau-Eichung Bearbeiten

Die Landau-Eichung, nach Lew Landau, setzt . Die Landau-Eichung besitzt den Vorteil, dass der Propagator rein transversal wird, das bedeutet, es gilt . In der Landau-Eichung wechselwirken deshalb skalare und pseudoskalare Bosonen wie das Higgs-Boson und die Goldstone-Bosonen nicht mit den Faddejew-Popow-Geistern, da ihre Kopplungsstärke proportional zum Eichparameter ist.

Eine weitere Eigenschaft der Landau-Eichung ist, dass die Goldstone-Bosonen in ihr masselos sind, da deren Masse von der verwendeten Eichung abhängt.

Feynman-Eichung Bearbeiten

Die Feynman- oder Feynman-’t-Hooft-Eichung, nach Richard Feynman und Gerardus ’t Hooft, setzt . Dadurch erhalten die Propagatoren ihre kompakteste Form, da alle Terme, die nicht proportional zur Metrik sind, entfallen. In Bezug auf die Goldstone-Bosonen führt die Feynman-Eichung dazu, dass sie dieselbe Masse besitzen wie ihre korrespondierenden Eichbosonen. In Feynman-Eichung wird daher das Goldstone-Boson-Äquivalenztheorem offensichtlich.

Yennie-Eichung Bearbeiten

Die Yennie- oder Fried-Yennie-Eichung, nach Herbert Fried und Donald Yennie, setzt . Diese Eichung scheint weder aus der Warte der klassischen Physik noch für konkrete Rechnungen einen Vorteil zu bringen. Ihr Vorteil liegt an der Einfachheit der Ergebnisse: Aufgrund des Kinoshita-Lee-Nauenberg-Theorems sind Quantenfeldtheorien infrarot-sicher, das bedeutet, verschiedene divergierende Beiträge im Grenzfall niedriger Energien heben sich gegenseitig weg, sodass ihre Summe insgesamt endlich bleibt. Die Yennie-Eichung führt dazu, dass viele Beiträge erst gar nicht divergieren.

Unitäre Eichung Bearbeiten

Die unitäre Eichung setzt . Dies führt zwar zu Divergenzen im Propagator für masselose Eichbosonen, jedoch nicht für die massiven Eichbosonen. In der unitären Eichung entkoppeln die Goldstone-Bosonen; sie erhalten eine unendlich große Masse und propagieren deswegen nicht. Weiterhin treten in der unitären Eichung keine Faddejew-Popow-Geister auf. Die unitäre Eichung eignet sich besonders für Rechnungen in Theorien mit spontaner Symmetriebrechung in führender Ordnung der Störungstheorie.

Literatur Bearbeiten

  • Michael E. Peskin und Daniel V. Schroeder: An Introduction to Quantum Field Theory. Perseus Books, Reading 1995, ISBN 0-201-50397-2 (englisch).
  • Mattew D. Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model. Cambridge University Press, Cambridge 2014, ISBN 978-1-107-03473-0 (englisch).
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Veröffentlichungsdatum:
Die R3 Eichungen sind eine Klasse von Eichungen in der Quantenfeldtheorie Fur Eichtheorien existieren unendlich viele mathematisch verschiedene Ausdrucke die physikalisch aquivalent sind Fur eine physikalische Beschreibung der Wirklichkeit durch Pfadintegrale muss eine noch nicht naher spezifizierte Eichung ausgewahlt werden Die R3 Eichungen sind gebrauchliche Eichungen da sie Lorentz invariant sind das heisst mit Einsteins Spezieller Relativitatstheorie vertraglich in jedem Inertialsystem dieselbe Form haben und daruber hinaus in den Bewegungsgleichungen fur die Quantenfelder der Eichbosonen in der Quantenelektrodynamik die Bewegungsgleichungen in der Lorenz Eichung der klassischen Elektrodynamik reproduzieren Die bedeutendsten R3 Eichungen sind Feynman oder Feynman t Hooft Eichung Yennie oder Fried Yennie Eichung und im weiteren Sinne unitare Eichung sowie Landau Eichung Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Formulierung 1 1 Masseloser Fall 1 2 Massiver Fall 2 Vergleich zur klassischen Physik 3 Spezielle Eichungen 3 1 Landau Eichung 3 2 Feynman Eichung 3 3 Yennie Eichung 3 4 Unitare Eichung 4 LiteraturMathematische Formulierung BearbeitenMasseloser Fall Bearbeiten Die Lagrangedichte L displaystyle mathcal L nbsp eines Eichfelds A displaystyle A nbsp ist in der Quantenelektrodynamik L 1 4 m A n n A m 2 displaystyle mathcal L frac 1 4 partial mu A nu partial nu A mu 2 nbsp Nach einer Fourier Transformation kann die Lagrangedichte auch als L 1 2 A m k 2 g m n k m k n A n displaystyle mathcal L frac 1 2 A mu k 2 g mu nu k mu k nu A nu nbsp geschrieben werden Der Propagator G displaystyle G nbsp bildlich die Ausbreitungswahrscheinlichkeit eines Quantenfeldes von einem Punkt zu einem anderen ist die Inverse des Terms in der Klammer dieser besitzt im Fall der Eichfelder jedoch die Determinante Null und daher keine Inverse Die R3 Eichungen fuhren in der Lagrangedichte den zusatzlichen Term genannt Eichfixierungsterm m A m 2 2 3 displaystyle frac partial mu A mu 2 2 xi nbsp beziehungsweise im Fourierraum A m k m k n A n 2 3 displaystyle frac A mu k mu k nu A nu 2 xi nbsp ein Dabei ist 3 displaystyle xi nbsp ein freier Eichparameter der der R3 Eichung den Namen gibt Mithilfe dieses zusatzlichen Terms lautet die Lagrangedichte im Fourierraum L 1 2 A m k 2 g m n 1 1 3 k m k n A n displaystyle mathcal L frac 1 2 A mu left k 2 g mu nu left 1 frac 1 xi right k mu k nu right A nu nbsp die die Inverse G m n g m n 1 3 k m k n k 2 k 2 displaystyle G mu nu frac g mu nu 1 xi frac k mu k nu k 2 k 2 nbsp besitzt Obgleich fur diese Ausfuhrungen der Problematik und ihrer Losung die Quantenelektrodynamik als einfachstes Beispiel einer im Standardmodell der Elementarteilchenphysik realisierten Eichtheorie verwendet wurde lassen sich diese Ausfuhrungen auf nichtabelsche Eichtheorien mit masselosen Eichbosonen verallgemeinern wobei im Allgemeinen Faddejew Popow Geister auftreten Massiver Fall Bearbeiten Im Fall massiver Eichtheorien mit spontan gebrochener Symmetrie wie in der elektroschwachen Wechselwirkung treten aufgrund des Goldstonetheorems immer zu den Eichbosonen A displaystyle A nbsp korrespondierende Goldstone Bosonen ϕ A displaystyle phi A nbsp auf Diese mussen im Eichfixierungsterm berucksichtigt werden Dieser wird dann zu m A m 3 m ϕ A 2 2 3 displaystyle frac partial mu A mu xi m phi A 2 2 xi nbsp Die in ihm auftretenden Mischterme proportional zu m A m ϕ A displaystyle partial mu A mu phi A nbsp heben die aus der spontanen Symmetriebrechung entstehenden unphysikalischen Mischterme genau auf Dann ist der Propagator G m n g m n 1 3 k m k n k 2 3 m 2 k 2 m 2 displaystyle G mu nu frac g mu nu 1 xi frac k mu k nu k 2 xi m 2 k 2 m 2 nbsp Vergleich zur klassischen Physik BearbeitenDie Bewegungsgleichungen im Ortsraum fur das Eichfeld ergeben sich im Fall der Quantenelektrodynamik mittels der Lagrange Gleichung aus der Lagrangedichte zu m m A n 1 1 3 n m A m 0 displaystyle partial mu partial mu A nu left 1 frac 1 xi right partial nu partial mu A mu 0 nbsp In der klassischen Elektrodynamik ist die Bewegungsgleichung fur das Vektorpotential hier notiert als A klass displaystyle A text klass nbsp m m A klass n n m A klass m 0 displaystyle partial mu partial mu A text klass nu partial nu partial mu A text klass mu 0 nbsp Diese ergibt sich im Limes 3 displaystyle xi to infty nbsp was gleichbedeutend mit dem Verschwinden des Eichterms ist Andererseits wurde im masselosen Quantenfall dann jedoch der Propagator divergieren Eine Lorentz invariante Eichung in der klassischen Physik ist die Lorenz Eichung die m A klass m 0 displaystyle partial mu A text klass mu 0 nbsp fordert sodass die Bewegungsgleichung kompakt m m A klass n 0 displaystyle partial mu partial mu A text klass nu 0 nbsp als Wellengleichung geschrieben werden kann Die Erzwingung des quantenmechanischen m A m 0 displaystyle partial mu A mu 0 nbsp geschieht durch die Forderung 3 0 displaystyle xi 0 nbsp sodass der gesamte Eichfixierungsterm nicht divergiert Andererseits kann die klassische Wellengleichung auch durch das Setzen von 3 1 displaystyle xi 1 nbsp erreicht werden Diese drei Wahlen 3 0 1 displaystyle xi 0 1 infty nbsp heissen Landau Feynman und unitare Eichung Spezielle Eichungen BearbeitenLandau Eichung Bearbeiten Die Landau Eichung nach Lew Landau setzt 3 0 displaystyle xi 0 nbsp Die Landau Eichung besitzt den Vorteil dass der Propagator rein transversal wird das bedeutet es gilt k m G m n 0 displaystyle k mu G mu nu 0 nbsp In der Landau Eichung wechselwirken deshalb skalare und pseudoskalare Bosonen wie das Higgs Boson und die Goldstone Bosonen nicht mit den Faddejew Popow Geistern da ihre Kopplungsstarke proportional zum Eichparameter 3 displaystyle xi nbsp ist Eine weitere Eigenschaft der Landau Eichung ist dass die Goldstone Bosonen in ihr masselos sind da deren Masse von der verwendeten Eichung abhangt Feynman Eichung Bearbeiten Die Feynman oder Feynman t Hooft Eichung nach Richard Feynman und Gerardus t Hooft setzt 3 1 displaystyle xi 1 nbsp Dadurch erhalten die Propagatoren ihre kompakteste Form da alle Terme die nicht proportional zur Metrik g m n displaystyle g mu nu nbsp sind entfallen In Bezug auf die Goldstone Bosonen fuhrt die Feynman Eichung dazu dass sie dieselbe Masse besitzen wie ihre korrespondierenden Eichbosonen In Feynman Eichung wird daher das Goldstone Boson Aquivalenztheorem offensichtlich Yennie Eichung Bearbeiten Die Yennie oder Fried Yennie Eichung nach Herbert Fried und Donald Yennie setzt 3 3 displaystyle xi 3 nbsp Diese Eichung scheint weder aus der Warte der klassischen Physik noch fur konkrete Rechnungen einen Vorteil zu bringen Ihr Vorteil liegt an der Einfachheit der Ergebnisse Aufgrund des Kinoshita Lee Nauenberg Theorems sind Quantenfeldtheorien infrarot sicher das bedeutet verschiedene divergierende Beitrage im Grenzfall niedriger Energien heben sich gegenseitig weg sodass ihre Summe insgesamt endlich bleibt Die Yennie Eichung fuhrt dazu dass viele Beitrage erst gar nicht divergieren Unitare Eichung Bearbeiten Die unitare Eichung setzt 3 displaystyle xi infty nbsp Dies fuhrt zwar zu Divergenzen im Propagator fur masselose Eichbosonen jedoch nicht fur die massiven Eichbosonen In der unitaren Eichung entkoppeln die Goldstone Bosonen sie erhalten eine unendlich grosse Masse und propagieren deswegen nicht Weiterhin treten in der unitaren Eichung keine Faddejew Popow Geister auf Die unitare Eichung eignet sich besonders fur Rechnungen in Theorien mit spontaner Symmetriebrechung in fuhrender Ordnung der Storungstheorie Literatur BearbeitenMichael E Peskin und Daniel V Schroeder An Introduction to Quantum Field Theory Perseus Books Reading 1995 ISBN 0 201 50397 2 englisch Mattew D Schwartz Quantum Field Theory and the Standard Model Cambridge University Press Cambridge 2014 ISBN 978 1 107 03473 0 englisch Abgerufen von https de wikipedia org w index php title R3 Eichung amp oldid 225256570 Unitare Eichung