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Unendlichdimensionales Lebesgue Maß Als unendlichdimensionales Lebesgue Maß bezeichnet man ein nicht triviales Analogon

Unendlichdimensionales Lebesgue-Maß

Als unendlichdimensionales Lebesgue-Maß bezeichnet man ein nicht-triviales Analogon des Lebesgue-Maßes auf unendlichdimensionalen Räumen. Auf polnischen Räumen, welche nicht lokalkompakt sind, existiert ein solches Maß nicht. Insbesondere gilt dies auch für unendlichdimensionale separable Banach-Räume, da dort der Satz von Heine-Borel nicht gilt, sind diese auch nicht lokalkompakt. Es lassen sich allerdings analoge Maße konstruieren, wenn man die Eigenschaften des Lebesgue-Maßes (σ-Endlichkeit, σ-Additivität usw.) abschwächt oder Translationen auf kleinere Räume beschränkt.

Das klassische Beispiel, welches kein Lebesgue-Maß besitzt, ist das abzählbar-unendliche Produkt

ausgestattet mit der Produkttopologie und der borelschen σ-Algebra . Dieser Raum wird auch häufig mit notiert. Möchte man nun das unendliche Produkt der Lebesgue-Maße definieren, so existiert dieses nicht.

Unendlichdimensionales Lebesgue-Maß Bearbeiten

Zur Erinnerung, wir nennen eine topologische Gruppe eine lokalkompakte Gruppe, wenn die Topologie hausdorff und lokalkompakt ist. Eine topologische Gruppe, welche zusätzlich ein polnischer Raum ist, nennt man polnische Gruppe.

mit der Produkttopologie ist ein Fréchet-Raum und zugleich ein polnischer Raum. Andererseits haben wir für topologische Vektorräume folgendes Resultat

Offensichtlich kann deshalb nicht gleichzeitig hausdorff und lokalkompakt sein.

Geschichte der invarianten Maße auf lokalkompakten Gruppen Bearbeiten

1933 bewies Alfréd Haar

für alle Borel-Mengen gilt.

Wenn abelsch ist, so ist auch rechts-invariant. 1936 bewies John von Neumann

1940 bewies dann André Weil die Umkehrung des Satzes von Haar

Ein ähnliches Resultat lieferte John C. Oxtoby 1946 für polnische Gruppen, welches er Stanisław Marcin Ulam zuschreibt

Dieser Satz impliziert folgendes

Unwissend über Oxtobys Resultat, bewies dann 1959 Wladimir N. Sudakow explizit

Der Satz von Weil gilt sogar für quasi-invariante Maße. Quasi-invariante Maße können auf nicht lokalkompakten unendlichdimensionalen Räumen existieren, wenn der Raum der zulässigen Translationen das Nullmaß hat, allerdings können solche Räume riesig sein, zum Beispiel unendlichdimensionale Banach-Räume. Dies ist zum Beispiel der Fall beim gaußschen Maß.

Direkter Beweis für separable unendlichdimensionale Banach-Räume Bearbeiten

Sei ein separabler unendlichdimensionaler Banach-Raum. Sei nun ein translations-invariantes Borel-Maß. Nach dem Lemma von Riesz existiert in jedem offenen Ball mit eine abzählbare-unendliche Folge von disjunkten, offenen Bällen mit gleichem Radius . Wir entscheiden uns für den Einheitsball . Weil translations-invariant ist, gilt

für alle Bälle . Nun gibt es zwei Möglichkeiten

  • Falls , dann können wir wegen der Separabilität mit abzählbar vielen Bällen mit
überdecken, somit gilt .

Die einzigen Kandidaten für ein solches Maß sind also das triviale Nullmaß für alle Borel-Mengen oder für alle offenen Bälle zum Radius um einen beliebigen Punkt .

Alternative Ansätze Bearbeiten

Verzichtet man auf die σ-Endlichkeit, so existiert ein Analog des Lebesgue-Maßes auf , dieses wurde 1991 von Richard Baker gezeigt.

Literatur Bearbeiten

  • Yasuo Yamasaki: Measures On Infinite Dimensional Spaces. Hrsg.: World Scientific Publishing Company, Singapur. 1985, ISBN 978-981-3104-18-1.
  • Anatoli Moissejewitsch Werschik: Does there exist a lebesgue measure in the infinite-dimensional space? In: Proc. Steklov Inst. Math. Band 259, 2007, S. 248–272, doi:10.1134/S0081543807040153.
  • Tepper L. Gill, Giorgi R. Pantsulaia und Woodford W. Zachary: Constructive Analysis in Infinitely Many Variables. In: Mathematical Research Publishers (Hrsg.): Communications in Mathematical Analysis. Band 13, Nr. 1, 2012, S. 107–141.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Charalambos D. Aliprantis und Kim C. Border: Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide. Hrsg.: Springer, Deutschland. 2007, S. 164.
  2. Alfréd Haar: Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppe. In: Ann. Math. Band 34, 1933, S. 147–169.
  3. John von Neumann: The uniqueness of Haar’s measure. In: Rec. Math. (Mat. Sbornik) N.S. Band 1, 1936, S. 721–734.
  4. André Weil: L’intégration dans les groupes topologiques et ses applications. In: Actualités Scientifiques et Industrielles. Nr. 869. Paris 1940.
  5. John C. Oxtoby: Invariant measures in groups which are not locally compact. In: Trans. Amer. Math. Soc. Band 60, 1946, S. 216.
  6. Wladimir Nikolajewitsch Sudakow: Linear sets with quasi-invariant measure. In: Dokl. Akad. Nauk SSSR. Band 127, 1959, S. 524–525 (russisch).
  7. Tepper L. Gill, Giorgi R. Pantsulaia und Woodford W. Zachary: Constructive Analysis in Infinitely Many Variables. In: Mathematical Research Publishers (Hrsg.): Communications in Mathematical Analysis. Band 13, Nr. 1, 2012, S. 107–141.
  8. Anatoli Moissejewitsch Werschik: Does there exist a lebesgue measure in the infinite-dimensional space? In: Proc. Steklov Inst. Math. Band 259, 2007, S. 248–272, doi:10.1134/S0081543807040153.
  9. Richard Baker: ‘Lebesgue Measure’ on R∞. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 113, Nr. 4, 1991, S. 1023–1029, doi:10.2307/2048779.
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Als unendlichdimensionales Lebesgue Mass bezeichnet man ein nicht triviales Analogon des Lebesgue Masses auf unendlichdimensionalen Raumen Auf polnischen Raumen welche nicht lokalkompakt sind existiert ein solches Mass nicht Insbesondere gilt dies auch fur unendlichdimensionale separable Banach Raume da dort der Satz von Heine Borel nicht gilt sind diese auch nicht lokalkompakt Es lassen sich allerdings analoge Masse konstruieren wenn man die Eigenschaften des Lebesgue Masses s Endlichkeit s Additivitat usw abschwacht oder Translationen auf kleinere Raume beschrankt Das klassische Beispiel welches kein Lebesgue Mass besitzt ist das abzahlbar unendliche Produkt R N i 1 R displaystyle mathbb R mathbb N prod limits i 1 infty mathbb R ausgestattet mit der Produkttopologie und der borelschen s Algebra B R N displaystyle mathcal B mathbb R mathbb N Dieser Raum wird auch haufig mit R displaystyle mathbb R infty notiert Mochte man nun das unendliche Produkt der Lebesgue Masse i 1 d x i displaystyle prod limits i 1 infty dx i definieren so existiert dieses nicht Inhaltsverzeichnis 1 Unendlichdimensionales Lebesgue Mass 1 1 Geschichte der invarianten Masse auf lokalkompakten Gruppen 1 2 Direkter Beweis fur separable unendlichdimensionale Banach Raume 2 Alternative Ansatze 3 Literatur 4 EinzelnachweiseUnendlichdimensionales Lebesgue Mass BearbeitenZur Erinnerung wir nennen eine topologische Gruppe G displaystyle G nbsp eine lokalkompakte Gruppe wenn die Topologie t displaystyle tau nbsp hausdorff und lokalkompakt ist Eine topologische Gruppe welche zusatzlich ein polnischer Raum ist nennt man polnische Gruppe R N displaystyle mathbb R mathbb N nbsp mit der Produkttopologie t displaystyle tau nbsp ist ein Frechet Raum und zugleich ein polnischer Raum Andererseits haben wir fur topologische Vektorraume folgendes Resultat 1 Ein topologischer Vektorraum ist genau dann hausdorff und lokalkompakt wenn er endlichdimensional ist Offensichtlich kann R N displaystyle mathbb R mathbb N nbsp deshalb nicht gleichzeitig hausdorff und lokalkompakt sein Geschichte der invarianten Masse auf lokalkompakten Gruppen Bearbeiten 1933 bewies Alfred Haar 2 Auf jeder lokalkompakten Gruppe G displaystyle G nbsp existiert ein links invariantes Haar Mass m displaystyle mu nbsp das bedeutet ein regulares Borel Mass so dassm g A m A g G displaystyle mu gA mu A qquad forall g in G nbsp dd fur alle Borel Mengen A B G displaystyle A in mathcal B G nbsp gilt Wenn G displaystyle G nbsp abelsch ist so ist m displaystyle mu nbsp auch rechts invariant 1936 bewies John von Neumann 3 Das Haar Mass ist das einzige s endliche links invariante Borel Mass auf lokalkompakten Gruppen bis auf eine Multiplikation mit einer Konstante 1940 bewies dann Andre Weil die Umkehrung des Satzes von Haar 4 Falls G displaystyle G nbsp eine separable topologische Gruppe ist und m displaystyle mu nbsp ein s endliches translations invariantes Borel Mass ist dann existiert immer eine aquivalente Topologie x displaystyle chi nbsp welche lokalkompakt ist Ein ahnliches Resultat lieferte John C Oxtoby 1946 fur polnische Gruppen welches er Stanislaw Marcin Ulam zuschreibt 5 Falls G displaystyle G nbsp eine nicht lokalkompakte polnische Gruppe ist und m displaystyle mu nbsp ein links invariantes Borel Mass welches mindestens einer Menge einen positiven Wert zuweist dann enthalt jede Umgebung uberabzahlbar viele paarweise disjunkte kongruente Mengen mit demselben endlichen Mass Dieser Satz impliziert folgendes Auf einer nicht lokalkompakten polnischen Gruppe G displaystyle G nbsp existiert kein s endliches links invariantes Borel Mass m displaystyle mu nbsp Unwissend uber Oxtobys Resultat bewies dann 1959 Wladimir N Sudakow explizit 6 Auf dem topologischen Vektorraum R N t displaystyle mathbb R mathbb N tau nbsp existiert kein s endliches translations invariantes Borel Mass 7 Der Satz von Weil gilt sogar fur quasi invariante Masse Quasi invariante Masse konnen auf nicht lokalkompakten unendlichdimensionalen Raumen existieren wenn der Raum der zulassigen Translationen das Nullmass hat allerdings konnen solche Raume riesig sein zum Beispiel unendlichdimensionale Banach Raume 8 Dies ist zum Beispiel der Fall beim gaussschen Mass Direkter Beweis fur separable unendlichdimensionale Banach Raume Bearbeiten Sei X displaystyle X nbsp ein separabler unendlichdimensionaler Banach Raum Sei nun m displaystyle mu nbsp ein translations invariantes Borel Mass Nach dem Lemma von Riesz existiert in jedem offenen Ball B r x displaystyle B r x nbsp mit r gt 0 displaystyle r gt 0 nbsp eine abzahlbare unendliche Folge B e x i i 1 displaystyle B varepsilon x i i 1 infty nbsp von disjunkten offenen Ballen mit gleichem Radius 0 lt e lt r displaystyle 0 lt varepsilon lt r nbsp Wir entscheiden uns fur den Einheitsball B 1 0 displaystyle B 1 0 nbsp Weil m displaystyle mu nbsp translations invariant ist gilt m B e x i a a 0 displaystyle mu B varepsilon x i alpha quad alpha in 0 infty nbsp fur 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dieses wurde 1991 von Richard Baker gezeigt 9 Literatur BearbeitenYasuo Yamasaki Measures On Infinite Dimensional Spaces Hrsg World Scientific Publishing Company Singapur 1985 ISBN 978 981 3104 18 1 Anatoli Moissejewitsch Werschik Does there exist a lebesgue measure in the infinite dimensional space In Proc Steklov Inst Math Band 259 2007 S 248 272 doi 10 1134 S0081543807040153 Tepper L Gill Giorgi R Pantsulaia und Woodford W Zachary Constructive Analysis in Infinitely Many Variables In Mathematical Research Publishers Hrsg Communications in Mathematical Analysis Band 13 Nr 1 2012 S 107 141 Einzelnachweise Bearbeiten Charalambos D Aliprantis und Kim C Border Infinite Dimensional Analysis A Hitchhiker s Guide Hrsg Springer Deutschland 2007 S 164 Alfred Haar Der Massbegriff in der Theorie der kontinuierlichen Gruppe In Ann Math Band 34 1933 S 147 169 John von Neumann The uniqueness of Haar s measure In Rec Math Mat Sbornik N S Band 1 1936 S 721 734 Andre Weil L integration dans les groupes topologiques et ses applications In Actualites Scientifiques et Industrielles Nr 869 Paris 1940 John C Oxtoby Invariant measures in groups which are not locally compact In Trans Amer Math Soc Band 60 1946 S 216 Wladimir Nikolajewitsch Sudakow Linear sets with quasi invariant measure In Dokl Akad Nauk SSSR Band 127 1959 S 524 525 russisch Tepper L Gill Giorgi R Pantsulaia und Woodford W Zachary Constructive Analysis in Infinitely Many Variables In Mathematical Research Publishers Hrsg Communications in Mathematical Analysis Band 13 Nr 1 2012 S 107 141 Anatoli Moissejewitsch Werschik Does there exist a lebesgue measure in the infinite dimensional space In Proc Steklov Inst Math Band 259 2007 S 248 272 doi 10 1134 S0081543807040153 Richard Baker Lebesgue Measure on R In Proceedings of the American Mathematical Society Band 113 Nr 4 1991 S 1023 1029 doi 10 2307 2048779 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Unendlichdimensionales Lebesgue Mass amp oldid 239304140