Lemma von Riesz Das benannt nach dem ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz ist ein Satz der Funktionalanalysis über abg

Lemma von Riesz

Das Lemma von Riesz, benannt nach dem ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz, ist ein Satz der Funktionalanalysis über abgeschlossene Unterräume von normierten Räumen.

Aussage Bearbeiten

Gegeben seien ein normierter Raum , ein abgeschlossener echter Untervektorraum von und eine reelle Zahl .

Dann existiert ein Element mit , so dass gilt:

Ist endlichdimensional oder allgemeiner reflexiv, dann kann gewählt werden.

Motivation Bearbeiten

In einem endlichdimensionalen euklidischen Raum gibt es zu jedem echten Teilraum einen darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor . Der Abstand eines beliebigen Punktes aus zu beträgt dann mindestens Eins, der Wert Eins wird exakt für angenommen.

In einem normierten Raum ist der Begriff des „senkrecht Stehens“ im Allgemeinen nicht definierbar. Insofern ist die Formulierung des Lemmas von Riesz eine sinnvolle Verallgemeinerung. Auch ist es nicht selbstverständlich, dass außerhalb eines Teilraumes noch Vektoren mit positivem Abstand zu diesem existieren.

Beweisskizze Bearbeiten

Es gibt einen Punkt außerhalb des echten Teilraumes . Da abgeschlossen ist, muss der Abstand von zu positiv sein. Sei ein vorgegeben und ein Punkt in mit

Ein solches existiert stets, da zwar , nicht aber eine untere Schranke der Abstände von zu Punkten aus ist.

Wähle als Element :

Dieses ist normiert per Konstruktion. Für ein beliebiges gilt:

Für den Abstand gilt also:

Folgerungen Bearbeiten

Aus dem Lemma von Riesz folgt, dass jeder normierte Raum, in dem die abgeschlossene Einheitskugel kompakt ist, endlichdimensional sein muss. Auch die Umkehrung dieses Satzes ist richtig (Kompaktheitssatz von Riesz).

Sei ein unendlich-dimensionaler Banach-Raum, dann enthält jeder Einheitsball eine abzählbare Folge von offenen Bällen. Beweisskizze: Sei mit und . Wendet man nun das Lemma von Riesz an, dann existiert für ein Punkt mit und . Man wiederholt das Lemma von Riesz für und dann sukzessiv für usw. Wählte man nun , dann bildet die Folge die Mittelpunkte der Bälle.

Einzelnachweise Bearbeiten

Harro Heuser: Funktionalanalysis, Teubner-Verlag (1975), ISBN 3-519-02206-0, Hilfssatz 10.2
Joseph Diestel: Sequences and Series in Banach Spaces, Springer-Verlag (1984), ISBN 3-540-90859-5, Kap. I, Lemma auf Seite 2
Dirk Werner: Funktionalanalysis. 6., korrigierte Auflage, Springer-Verlag, Berlin 2007, ISBN 978-3-540-72533-6, S. 27.

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Veröffentlichungsdatum: Dezember 02, 2023, 07:39 am

Das Lemma von Riesz benannt nach dem ungarischen Mathematiker Frigyes Riesz ist ein Satz der Funktionalanalysis uber abgeschlossene Unterraume von normierten Raumen Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Motivation 3 Beweisskizze 4 Folgerungen 5 EinzelnachweiseAussage BearbeitenGegeben seien ein normierter Raum X displaystyle X nbsp ein abgeschlossener echter Untervektorraum U displaystyle U nbsp von X displaystyle X nbsp und eine reelle Zahl 0 lt 8 lt 1 displaystyle 0 lt theta lt 1 nbsp Dann existiert ein Element x X displaystyle hat x in X nbsp mit x 1 displaystyle hat x 1 nbsp so dass gilt 1 2 d x U inf u U x u 8 displaystyle mathrm d hat x U inf u in U hat x u geq theta nbsp dd dd Ist U displaystyle U nbsp endlichdimensional oder allgemeiner reflexiv dann kann 8 1 displaystyle theta 1 nbsp gewahlt werden Motivation BearbeitenIn einem endlichdimensionalen euklidischen Raum gibt es zu jedem echten Teilraum U displaystyle U nbsp einen darauf senkrecht stehenden Einheitsvektor x displaystyle x nbsp Der Abstand eines beliebigen Punktes u displaystyle u nbsp aus U displaystyle U nbsp zu x displaystyle x nbsp betragt dann mindestens Eins der Wert Eins wird exakt fur u 0 displaystyle u 0 nbsp angenommen In einem normierten Raum ist der Begriff des senkrecht Stehens im Allgemeinen nicht definierbar Insofern ist die Formulierung des Lemmas von Riesz eine sinnvolle Verallgemeinerung Auch ist es nicht selbstverstandlich dass ausserhalb eines Teilraumes noch Vektoren mit positivem Abstand zu diesem existieren Beweisskizze BearbeitenEs gibt einen Punkt w displaystyle w nbsp ausserhalb des echten Teilraumes U displaystyle U nbsp Da U displaystyle U nbsp abgeschlossen ist muss der Abstand von w displaystyle w nbsp zu U displaystyle U nbsp positiv sein Sei ein 0 lt 8 lt 1 displaystyle 0 lt theta lt 1 nbsp vorgegeben und u 0 displaystyle u 0 nbsp ein Punkt in U displaystyle U nbsp mit 0 lt d w U w u 0 lt 1 8 d w U displaystyle 0 lt mathrm d w U leq w u 0 lt frac 1 theta mathrm d w U nbsp dd dd Ein solches u 0 displaystyle u 0 nbsp existiert stets da zwar d w U displaystyle mathrm d w U nbsp nicht aber 1 8 d w U displaystyle frac 1 theta mathrm d w U nbsp eine untere Schranke der Abstande von w displaystyle w nbsp zu Punkten aus U displaystyle U nbsp ist Wahle als Element x X displaystyle hat x in X nbsp x w u 0 w u 0 displaystyle hat x frac w u 0 w u 0 nbsp dd dd Dieses ist normiert per Konstruktion Fur ein beliebiges u U displaystyle u in U nbsp gilt x u w u 0 w u 0 u 1 w u 0 w u 0 w u 0 u U d w U w u 0 8 displaystyle hat x u left frac w u 0 w u 0 u right frac 1 w u 0 cdot w underbrace u 0 w u 0 cdot u in U geq frac mathrm d w U w u 0 geq theta nbsp dd dd Fur den Abstand gilt also d x U d w U w u 0 8 displaystyle mathrm d hat x U geq frac mathrm d w U w u 0 geq theta nbsp dd dd Folgerungen BearbeitenAus dem Lemma von Riesz folgt dass jeder normierte Raum in dem die abgeschlossene Einheitskugel kompakt ist endlichdimensional sein muss 3 Auch die Umkehrung dieses Satzes ist richtig Kompaktheitssatz von Riesz Sei X displaystyle X nbsp ein unendlich dimensionaler Banach Raum dann enthalt jeder Einheitsball eine abzahlbare Folge von offenen Ballen Beweisskizze Sei x 1 X displaystyle x 1 in X nbsp mit x 1 1 displaystyle x 1 1 nbsp und U 1 span x 1 displaystyle U 1 operatorname span x 1 nbsp Wendet man nun das Lemma von Riesz an dann existiert fur 0 lt e lt 1 displaystyle 0 lt varepsilon lt 1 nbsp ein Punkt x 2 X displaystyle x 2 in X nbsp mit x 2 1 displaystyle x 2 1 nbsp und d x 2 U 1 1 e displaystyle d x 2 U 1 geq 1 varepsilon nbsp Man wiederholt das Lemma von Riesz fur U 2 span x 1 x 2 displaystyle U 2 operatorname span x 1 x 2 nbsp und dann sukzessiv fur U 3 span x 1 x 2 x 3 displaystyle U 3 operatorname span x 1 x 2 x 3 nbsp usw Wahlte man nun e 1 3 displaystyle varepsilon 1 3 nbsp dann bildet die Folge 3 4 x 1 3 4 x 2 displaystyle tfrac 3 4 x 1 tfrac 3 4 x 2 dots nbsp die Mittelpunkte der Balle Einzelnachweise Bearbeiten Harro Heuser Funktionalanalysis Teubner Verlag 1975 ISBN 3 519 02206 0 Hilfssatz 10 2 Joseph Diestel Sequences and Series in Banach Spaces Springer Verlag 1984 ISBN 3 540 90859 5 Kap I Lemma auf Seite 2 Dirk Werner Funktionalanalysis 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin 2007 ISBN 978 3 540 72533 6 S 27 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lemma von Riesz amp oldid 239237670