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Satz von Müntz Szász Der englisch Müntz Szász theorem ist einer der Approximationssätze des mathematischen Gebiets der A

Satz von Müntz-Szász

Der Satz von Müntz-Szász (englisch Müntz-Szász theorem) ist einer der Approximationssätze des mathematischen Gebiets der Analysis. Er geht auf Arbeiten der beiden Mathematiker Herman (Chaim) Müntz und Otto Szász aus den Jahren 1914 bzw. 1916 zurück. Der Satz behandelt, anschließend an den klassischen Approximationssatz von Weierstraß, die Frage der Bedingungen, unter denen die stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Einheitsintervall durch Linearkombinationen geeigneter Potenzfunktionen gleichmäßig approximiert werden können.

Formulierung des Satzes Bearbeiten

Der Darstellung von Walter Rudin folgend kann der Approximationssatz angegeben werden wie folgt:

Andere Version Bearbeiten

Der Satz von Müntz-Szász, der bei einigen Autoren oft auch nur als Satz von Müntz bezeichnet wird, gab Anlass zu einer Vielzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen. Dabei wurde und wird, wie es schon Otto Szász in 1916 tat und wie in der Folge von anderen Autoren aufgegriffen wurde, von der Voraussetzung, dass die dort auftretenden Exponenten positive Zahlen sein sollen, in der Regel abgewichen. Stattdessen werden komplexe Exponenten mit positivem Realteil betrachtet, für die zwei gewisse unendliche Reihen divergieren bzw. konvergieren. Man gewinnt damit etwa die folgende Version:

Literatur Bearbeiten

  • Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung (= Springer Tracts in Natural Philosophy. Band 4). Springer Verlag, Berlin, Göttingen, Heidelberg, New York 1964 (MR0176272).
  • H. Müntz: Über den Approximationssatz von Weierstrass. In: Festschrift H. A. Schwarz. Springer Verlag, Berlin 1914, S. 303–312.
  • Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2., verbesserte Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, Berlin 2009, ISBN 978-3-486-59186-6.
  • Arnold Schönhage: Approximationstheorie (= de Gruyter Lehrbuch). Walter de Gruyter & Co., Berlin, New York 1971 (MR0277960).
  • Alan R. Siegel: On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]. In: Proceedings of the American Mathematical Society. Band 36, 1972, S. 161–166 (MR0306777).
  • Otto Szász: Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen. In: Mathematische Annalen. Band 77, 1916, S. 482–496 (MR1511875).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Walter Rudin: Reelle und Komplexe Analysis. 2009, S. 374–377
  2. Rudin, op. cit., S. 375
  3. Günter Meinardus: Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung. 1964, S. 6–10
  4. Arnold Schönhage: Approximationstheorie. 1971, S. 8 ff., S. 49
  5. O. Szász: Über die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen. In: Math. Ann., 77, S. 482–496
  6. A. R. Siegel: On the Müntz-Szász theorem for C[0,1]. In: Proc. Amer. Math. Soc., 36, S. 161–166

Anmerkungen Bearbeiten

  1. ist die komplexe Betragsfunktion.
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Muntz Szasz englisch Muntz Szasz theorem ist einer der Approximationssatze des mathematischen Gebiets der Analysis Er geht auf Arbeiten der beiden Mathematiker Herman Chaim Muntz und Otto Szasz aus den Jahren 1914 bzw 1916 zuruck Der Satz behandelt anschliessend an den klassischen Approximationssatz von Weierstrass die Frage der Bedingungen unter denen die stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem abgeschlossenen Einheitsintervall durch Linearkombinationen geeigneter Potenzfunktionen gleichmassig approximiert werden konnen 1 Inhaltsverzeichnis 1 Formulierung des Satzes 2 Andere Version 3 Literatur 4 Einzelnachweise 5 AnmerkungenFormulierung des Satzes BearbeitenDer Darstellung von Walter Rudin folgend kann der Approximationssatz angegeben werden wie folgt 2 Sei C C I C displaystyle C C I mathbb C nbsp der zum Einheitsintervall I 0 1 R displaystyle I 0 1 subseteq mathbb R nbsp gehorige Funktionenraum der stetigen komplexwertigen Funktionen f I C displaystyle f colon I to mathbb C nbsp versehen mit der Maximumsnorm und sei p n n 1 2 displaystyle p n n 1 2 ldots nbsp eine Folge reeller Zahlen mit 0 lt p 1 lt p 2 lt p 3 lt displaystyle 0 lt p 1 lt p 2 lt p 3 lt ldots nbsp Sei weiter X C displaystyle X subseteq C nbsp der topologische Abschluss des C displaystyle mathbb C nbsp linearen Unterraums der von den Potenzfunktionen 1 t p 1 t p 2 t p 3 t I displaystyle 1 t p 1 t p 2 t p 3 ldots left t in I right nbsp erzeugt wird Dann gilt a Dann und nur dann ist X C displaystyle X C nbsp wenn k 1 1 p k displaystyle sum k 1 infty frac 1 p k infty nbsp gilt b Ist jedoch k 1 1 p k lt displaystyle sum k 1 infty frac 1 p k lt infty nbsp und ist weiter p C 0 p 1 p 2 p 3 displaystyle p in mathbb C setminus 0 p 1 p 2 p 3 ldots nbsp so ist die Potenzfunktion t p displaystyle t p nbsp nicht in X displaystyle X nbsp enthalten dd Andere Version BearbeitenDer Satz von Muntz Szasz der bei einigen Autoren oft auch nur als Satz von Muntz bezeichnet wird gab Anlass zu einer Vielzahl von Verallgemeinerungen und weitergehenden Untersuchungen 3 4 Dabei wurde und wird wie es schon Otto Szasz in 1916 tat und wie in der Folge von anderen Autoren aufgegriffen wurde von der Voraussetzung dass die dort auftretenden Exponenten p 1 p 2 p 3 displaystyle p 1 p 2 p 3 ldots nbsp positive Zahlen sein sollen in der Regel abgewichen Stattdessen werden komplexe Exponenten z 1 z 2 z 3 displaystyle z 1 z 2 z 3 ldots nbsp mit positivem Realteil betrachtet fur die zwei gewisse unendliche Reihen divergieren bzw konvergieren Man gewinnt damit etwa die folgende Version 5 6 Sei C displaystyle C nbsp der oben schon gegebene Funktionenraum und sei z n n 1 2 displaystyle z n n 1 2 ldots nbsp eine Folge komplexer Zahlen mit Re z n gt 0 n 1 2 displaystyle operatorname Re z n gt 0 n 1 2 ldots nbsp Sei weiter X C displaystyle X subseteq C nbsp der topologische Abschluss des von den Potenzfunktionen 1 t z 1 t z 2 t z 3 t I displaystyle 1 t z 1 t z 2 t z 3 ldots left t in I right nbsp erzeugten C displaystyle mathbb C nbsp linearen Unterraums Dann gilt a Im Falle dass k 1 Re z k 1 z k 2 displaystyle sum k 1 infty frac operatorname Re z k 1 z k 2 infty nbsp gilt ist X C displaystyle X C nbsp A 1 b Andererseits ist im Falle dass k 1 Re z k 1 1 z k 2 lt displaystyle sum k 1 infty frac operatorname Re z k 1 1 z k 2 lt infty nbsp gilt X C displaystyle X neq C nbsp dd Literatur BearbeitenGunter Meinardus Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung Springer Tracts in Natural Philosophy Band 4 Springer Verlag Berlin Gottingen Heidelberg New York 1964 MR0176272 H Muntz Uber den Approximationssatz von Weierstrass In Festschrift H A Schwarz Springer Verlag Berlin 1914 S 303 312 Walter Rudin Reelle und Komplexe Analysis 2 verbesserte Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Berlin 2009 ISBN 978 3 486 59186 6 Arnold Schonhage Approximationstheorie de Gruyter Lehrbuch Walter de Gruyter amp Co Berlin New York 1971 MR0277960 Alan R Siegel On the Muntz Szasz theorem for C 0 1 In Proceedings of the American Mathematical Society Band 36 1972 S 161 166 MR0306777 Otto Szasz Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen In Mathematische Annalen Band 77 1916 S 482 496 MR1511875 Einzelnachweise Bearbeiten Walter Rudin Reelle und Komplexe Analysis 2009 S 374 377 Rudin op cit S 375 Gunter Meinardus Approximation von Funktionen und ihre numerische Behandlung 1964 S 6 10 Arnold Schonhage Approximationstheorie 1971 S 8 ff S 49 O Szasz Uber die Approximation stetiger Funktionen durch lineare Aggregate von Potenzen In Math Ann 77 S 482 496 A R Siegel On the Muntz Szasz theorem for C 0 1 In Proc Amer Math Soc 36 S 161 166Anmerkungen Bearbeiten displaystyle cdot nbsp ist die komplexe Betragsfunktion Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Muntz Szasz amp oldid 216344883