Der Satz von Lusin nach Nikolai Nikolajewitsch Lusin ist ein mathematischer Satz aus der Masstheorie Er besagt dass der Definitionsbereich einer messbaren Funktion so eingeschrankt werden kann dass die Funktion auf dieser Einschrankung stetig ist und dabei die vom Definitionsbereich entfernte Menge beliebig klein sein darf Lusin lieferte den Beweis dieses Satzes im Jahr 1912 nachdem der Satz 1903 von Emile Borel zunachst angedeutet und von Henri Lebesgue mathematisch formuliert worden war Inhaltsverzeichnis 1 Motivation des Satzes 2 Satz von Lusin 3 Beispiel 4 Verallgemeinerung 5 Beweis 5 1 Herleitung aus dem Satz von Jegorow 5 2 Herleitung der verallgemeinerten Aussage nur aus elementaren Eigenschaften des Masses 6 LiteraturMotivation des Satzes BearbeitenAus der Definition des Lebesgue Masses folgt sofort dass jede stetige Funktion messbar ist Am Beispiel der Dirichlet Funktion D x 1 wenn x rational 0 wenn x irrational displaystyle D x begin cases 1 amp mbox wenn x mbox rational 0 amp mbox wenn x mbox irrational end cases nbsp welche alle rationalen Zahlen auf 1 und alle irrationalen Zahlen auf 0 abbildet sieht man dass es messbare Funktionen gibt welche in keinem Punkt stetig sind Der Satz von Lusin zeigt nun dass eine messbare Funktion fast stetig ist Was unter fast stetig zu verstehen ist geht aus dem Satz hervor Satz von Lusin BearbeitenIm Folgenden bezeichnet l displaystyle lambda nbsp das Lebesgue Mass Sei M R n displaystyle M subset mathbb R n nbsp eine messbare Menge mit l M lt displaystyle lambda M lt infty nbsp Sei f M R displaystyle f colon M to mathbb R nbsp eine messbare und beschrankte Funktion so gibt es zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine kompakte Menge K M displaystyle K subset M nbsp mit l M K lt e displaystyle lambda M backslash K lt varepsilon nbsp derart dass die Einschrankung f K displaystyle f K nbsp stetig ist Es ist moglich die Aussage noch zu verscharfen Sei M R n displaystyle M subset mathbb R n nbsp messbar und f M R displaystyle f colon M to mathbb R nbsp messbar Dann gibt es zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine Menge K M displaystyle K subset M nbsp mit l M K lt e displaystyle lambda M backslash K lt varepsilon nbsp und eine stetige Funktion f M R displaystyle tilde f colon M to mathbb R nbsp die auf K displaystyle K nbsp mit f displaystyle f nbsp ubereinstimmt Beispiel BearbeitenEs scheint ein Widerspruch zu obigem Beispiel zu bestehen wenn man M 0 1 displaystyle M 0 1 nbsp und f D 0 1 0 1 R displaystyle f D 0 1 0 1 to mathbb R nbsp betrachtet denn die Funktion f D 0 1 displaystyle f D 0 1 nbsp ist in keinem Punkt aus 0 1 displaystyle 0 1 nbsp stetig Man beachte aber dass der Satz von Lusin nicht behauptet dass die Funktion f displaystyle f nbsp in jedem Punkt aus K displaystyle K nbsp stetig ist Er besagt vielmehr dass eine andere Funktion namlich die Einschrankung f K displaystyle f K nbsp in jedem Punkt aus K displaystyle K nbsp stetig ist Um das fur obige Funktion f D 0 1 displaystyle f D 0 1 nbsp zu demonstrieren sei r n n displaystyle r n n nbsp eine Abzahlung der rationalen Zahlen in 0 1 displaystyle 0 1 nbsp Zu vorgegebenem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp setze U n r n e 2 n 2 r n e 2 n 2 0 1 displaystyle U n left r n tfrac varepsilon 2 n 2 r n tfrac varepsilon 2 n 2 right cap 0 1 nbsp Dann enthalt die Vereinigung dieser Mengen alle rationalen Punkte sie ist relativ offen mit Mass kleiner als e displaystyle varepsilon nbsp und auf dem kompakten Komplement K displaystyle K nbsp ist die Funktion konstant 0 das heisst f K displaystyle f K nbsp ist die Nullfunktion und daher stetig Verallgemeinerung BearbeitenDer Satz von Lusin gilt nicht nur fur Funktionen auf messbaren Mengen im R n displaystyle mathbb R n nbsp Er lasst sich auch auf reellwertige Funktionen lokalkompakter Raume verallgemeinern Sei X S m displaystyle X Sigma mu nbsp ein Massraum wobei X displaystyle X nbsp lokalkompakt S displaystyle Sigma nbsp eine s Algebra auf X displaystyle X nbsp die die Borelmengen umfasst und m displaystyle mu nbsp ein regulares Mass sei f X R displaystyle f colon X to mathbb R nbsp sei eine S displaystyle Sigma nbsp messbare Funktion Dann gibt es zu jedem A S displaystyle A in Sigma nbsp mit m A lt displaystyle mu A lt infty nbsp und zu jedem e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 nbsp eine kompakte Menge K A displaystyle K subset A nbsp mit m A K lt e displaystyle mu A setminus K lt varepsilon nbsp so dass f K displaystyle f K nbsp stetig ist In der Situation dieses Satzes kann man sogar eine stetige Funktion g X R displaystyle g colon X to mathbb R nbsp mit kompaktem Trager finden so dass f K g K displaystyle f K g K nbsp Beweis BearbeitenHerleitung aus dem Satz von Jegorow Bearbeiten Da f displaystyle f nbsp als beschrankte messbare Funktion zu L 1 M displaystyle L 1 M nbsp gehort und da die stetigen Funktionen in diesem Raum dicht liegen gibt es eine Folge f n n displaystyle f n n nbsp stetiger Funktionen die in der L 1 displaystyle L 1 nbsp Norm gegen f displaystyle f nbsp konvergiert Indem man zu einer Teilfolge ubergeht kann man annehmen dass ausserhalb einer Menge vom Mass 0 punktweise Konvergenz vorliegt Nach dem Satz von Jegorow liegt dann gleichmassige Konvergenz ausserhalb einer Menge vom Mass kleiner als e displaystyle varepsilon nbsp vor und diese Menge kann wegen der Regularitat des Lebesgue Masses als offen angenommen werden Das Komplement K displaystyle K nbsp ist dann kompakt und auf K displaystyle K nbsp konvergiert die Folge gleichmassig Daher ist die Grenzfunktion f K displaystyle f K nbsp stetig Herleitung der verallgemeinerten Aussage nur aus elementaren Eigenschaften des Masses Bearbeiten Sei f X R displaystyle f X rightarrow mathbb R nbsp m displaystyle mu nbsp messbar wie im Satz und A S m A lt displaystyle A in Sigma mu A lt infty nbsp Im Folgenden zeigen wir dass es kompakte Mengen D i A displaystyle D i subseteq A nbsp und eine Folge stetiger Funktionen g i D i R displaystyle g i D i rightarrow mathbb R nbsp gibt welche auf K i 1 D i displaystyle K cap i 1 infty D i nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp konvergieren Falls dann noch gilt dass m A K lt e displaystyle mu A setminus K lt varepsilon nbsp ist der Satz bewiesen Zunachst konstruieren wir die D i displaystyle D i nbsp Fur alle i N displaystyle i in mathbb N nbsp uberdecken wir den Bildraum dafur mit disjunkten Borelmengen mit maximalem Durchmesser 1 i displaystyle frac 1 i nbsp also B i j R R j 1 B i j sup x y x y B i j lt 1 i displaystyle B ij subseteq mathbb R quad mathbb R bigcup j 1 infty B ij quad sup x y x y in B ij lt frac 1 i nbsp Dann wird A displaystyle A nbsp von den insbesondere messbaren Urbildern A i j f 1 B i j displaystyle A ij f 1 B ij nbsp abgedeckt A j 1 A i j displaystyle A bigcup j 1 infty A ij nbsp Da m displaystyle mu nbsp von innen regular ist konnen wir die Urbilder von innen durch kompakte Mengen annahern also ϵ gt 0 K i j A i j kompakt m A i j K i j lt ϵ 2 i j displaystyle forall epsilon gt 0 exists K ij subseteq A ij text kompakt mu A ij setminus K ij lt frac epsilon 2 i j nbsp Durch s displaystyle sigma nbsp subadditivitat folgt m A j 1 K i j j 1 m A i j K i j lt ϵ 2 i displaystyle mu A setminus bigcup j 1 infty K ij leq sum j 1 infty mu A ij setminus K ij lt frac epsilon 2 i nbsp Durch Stetigkeit von Oben folgt weiter da n 1 j 1 n K i j C n 1 j 1 n K i j C displaystyle cap n 1 infty left cup j 1 n K ij right C left cup n 1 infty cup j 1 n K ij right C nbsp lim n m A j 1 n K i j lt ϵ 2 i displaystyle lim n rightarrow infty mu A setminus bigcup j 1 n K ij lt frac epsilon 2 i nbsp Also N i gt 0 m A j 1 N i K i j lt ϵ 2 i displaystyle exists N i gt 0 mu A setminus bigcup j 1 N i K ij lt frac epsilon 2 i nbsp wir definieren nun D i j 1 N i K i j displaystyle D i bigcup j 1 N i K ij nbsp welche als endliche Vereinigung kompakter Mengen kompakt sind Da K i 1 D i displaystyle K cap i 1 infty D i nbsp als Schnitt kompakter Mengen kompakt ist und da m A K m A i 1 D i m i 1 A D i i 1 m A D i lt ϵ displaystyle mu A setminus K mu A setminus cap i 1 infty D i mu bigcup i 1 infty A setminus D i leq sum i 1 infty mu A setminus D i lt epsilon nbsp erfullt es die Anforderungen aus dem Satz Wir konstruieren nun die auf K displaystyle K nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp konvergente Folge stetiger Funktionen g i D i R displaystyle g i D i rightarrow mathbb R nbsp Dafur nehmen wir fur alle i N j N i displaystyle i in mathbb N j leq N i nbsp ein festes b i j B i j displaystyle b ij in B ij nbsp und definieren g i x b i j displaystyle g i x b ij nbsp falls x K i j displaystyle x in K ij nbsp Die g i displaystyle g i nbsp sind stetig da sie auf den Zusammenhangskomponenten der D i displaystyle D i nbsp konstant sind Gleichmassige Konvergenz bleibt zu zeigen Sei ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp und wahle i displaystyle i nbsp so gross dass 1 i lt ϵ displaystyle textstyle frac 1 i lt epsilon nbsp dann ist x K x D i j x K i j j f x B i j displaystyle x in K Rightarrow x in D i Rightarrow exists j x in K ij Rightarrow exists j f x in B ij nbsp und weil auch g i x b i j B i j displaystyle g i x b ij in B ij nbsp folgt somit g i x f x sup x y x y B i j lt 1 i lt ϵ displaystyle textstyle g i x f x leq sup x y x y in B ij lt frac 1 i lt epsilon nbsp Analog folgt k gt i g k x f x lt 1 k lt 1 i lt ϵ displaystyle textstyle forall k gt i g k x f x lt frac 1 k lt frac 1 i lt epsilon nbsp Als gleichmassiger Grenzwert stetiger Funktionen ist f K displaystyle f K nbsp stetig Literatur BearbeitenNikolai Lusin Sur les proprietes des fonctions mesurables In Comptes Rendus de l Academie des Sciences de Paris Bd 154 1912 S 1688 1690 Digitalisat Donald L Cohn Measure Theory Birkhauser Boston MA u a 1980 ISBN 3 7643 3003 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Lusin amp oldid 235452091
