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Satz von Jegorow Der ist ein Satz aus der Maßtheorie der den Zusammenhang zwischen punktweiser Konvergenz μ fast überall

Satz von Jegorow

Der Satz von Jegorow ist ein Satz aus der Maßtheorie, der den Zusammenhang zwischen punktweiser Konvergenz μ-fast überall und fast gleichmäßiger Konvergenz zeigt. Teils finden sich auch die Schreibweisen Satz von Egorow, Satz von Egorov oder Satz von Egoroff, die auf eine Übertragung des Namens ins Englische oder Französische zurückzuführen sind. Der Satz ist nach Dmitri Fjodorowitsch Jegorow benannt, der ihn 1911 bewies. Die Aussage wurde bereits 1910 von Carlo Severini gezeigt, weshalb sich auch die Benennung als Satz von Egorov-Severini (oder verwandte Schreibweisen) findet.

Satz Bearbeiten

Gegeben sei ein endlicher Maßraum sowie messbare Funktionen

Konvergiert die Funktionenfolge punktweise μ-fast überall gegen , so konvergiert sie auch fast gleichmäßig gegen .

Beweis Bearbeiten

Wir führen den Beweis für .

Man betrachte für alle jeweils die Menge der Punkte, auf denen mindestens ein , für , stärker als von abweicht:

Es ist klar, dass , da mit größer werdendem Terme in der Vereinigung weggelassen werden. Da außerdem , können wir Stetigkeit von Oben ausnutzen und erhalten:

Letztere Gleichheit folgt, da die Menge der Punkte, für die für ein gilt, per Annahme Maß 0 hat. Sei nun , dann existiert für alle ein , so dass:

Also ist das Maß der Punkte, für die (für ) noch um mehr als von abweicht, beliebig klein. Wir vereinigen nun alle und stellen fest, dass das Maß der Vereinigung immer noch beliebig klein ist (dabei verwenden wir σ-Subadditivität):

Auf dem Komplement dieser Vereinigung, , konvergieren die gleichmäßig gegen , denn für beliebiges , finden wir , so dass für gilt:

Zusammenfassend haben wir eine Menge gefunden, , deren Komplement in beliebig kleines Maß hat und auf der die gleichmäßig gegen konvergieren.

Bemerkungen Bearbeiten

  • Man hätte zulassen können, dass auf einer Menge mit Maß 0 den Wert unendlich annimmt, indem der Beweis mit anstelle von durchgeführt wird.
  • Weiter kann die Bedingung nicht weggelassen werden, wie das Beispiel auf zeigt, siehe unten.
  • Außerdem ist es im Allgemeinen nicht möglich, eine Menge zu finden, auf der die Konvergenz gleichmäßig ist und deren Komplement Maß 0 hat.
  • Da aus der fast gleichmäßigen Konvergenz immer die Konvergenz fast überall folgt, liefert der Satz von Jegorow im Fall eines endlichen Maßraumes die Äquivalenz der beiden Konvergenzarten.

Beispiel Bearbeiten

Das folgende Beispiel zeigt, dass die Aussage bei nicht endlichen Maßräumen im Allgemeinen falsch ist. Betrachtet man die Funktionenfolge

auf dem Maßraum , so konvergiert diese Funktionenfolge punktweise (fast überall) gegen 0, denn für beliebiges ist für immer

Aber die Folge konvergiert nicht fast gleichmäßig gegen 0, denn ist , so gilt für jede messbare Menge mit Maß kleiner und jedes , dass , denn hat Maß 1, kann also nicht in enthalten sein, und daher

für alle , das heißt auf keinem Komplement einer Menge des Maßes kleiner kann gleichmäßige Konvergenz vorliegen.

Ursprüngliche Formulierung Bearbeiten

In der Originalarbeit von Jegorow wurde der Satz nur für Funktionen auf einem Intervall formuliert:

Übersetzung: Wenn man eine Folge messbarer Funktionen hat, die für alle Punkte eines Intervalls AB konvergiert, bis auf möglicherweise die Punkte einer Menge des Maßes null, so kann man stets aus dem Intervall AB eine Menge des Maßes , das so klein ist wie man auch will, entfernen, so dass die Folge auf der Komplementmenge [ mit Maß  ] gleichmäßig konvergent ist.

Der heutige Begriff der fast gleichmäßigen Konvergenz war noch nicht in Verwendung. Jegorow schlug in derselben Arbeit vor, diese Konvergenz nach Hermann Weyl wesentlich gleichmäßig zu nennen.

Verallgemeinerungen Bearbeiten

Der Satz von Jegorow gilt auch für messbare Funktionen, die Werte in einem separablen metrischen Raum annehmen.

Siehe auch Bearbeiten

  • Vektorielles Maß: für eine Verallgemeinerung des Satzes für Maße mit Werten in einem Banachraum

Literatur Bearbeiten

  • Isidor P. Natanson: Theorie der Funktionen einer reellen Veränderlichen. Unveränderter Nachdruck der 4. Auflage. Harri Deutsch, Zürich u. a. 1977, ISBN 3-87144-217-8 (auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS, Krasnojarsk), Kapitel IV., § 3.
  • Jürgen Elstrodt: Maß- und Integrationstheorie. 6., korrigierte Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89727-9, doi:10.1007/978-3-540-89728-6.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. L.D. Kudryavtsev: Egorov theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
  2. Elstrodt: Maß- und Integriationstheorie. 2009, S. 252.
  3. Donald L. Cohn: Measure Theory. Birkhäuser, Boston MA 1980, ISBN 3-7643-3003-1, Satz 3.1.3: Egoroff's theorem
  4. D. Th. Egoroff: Sur les suites des fonctions mesurables: Comptes rendus 152 (1911), Seiten 244–246
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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Jegorow ist ein Satz aus der Masstheorie der den Zusammenhang zwischen punktweiser Konvergenz m fast uberall und fast gleichmassiger Konvergenz zeigt Teils finden sich auch die Schreibweisen Satz von Egorow Satz von Egorov oder Satz von Egoroff die auf eine Ubertragung des Namens ins Englische oder Franzosische zuruckzufuhren sind Der Satz ist nach Dmitri Fjodorowitsch Jegorow benannt der ihn 1911 bewies Die Aussage wurde bereits 1910 von Carlo Severini gezeigt weshalb sich auch die Benennung als Satz von Egorov Severini oder verwandte Schreibweisen findet 1 Inhaltsverzeichnis 1 Satz 2 Beweis 3 Bemerkungen 4 Beispiel 5 Ursprungliche Formulierung 6 Verallgemeinerungen 7 Siehe auch 8 Literatur 9 EinzelnachweiseSatz BearbeitenGegeben sei ein endlicher Massraum X A m displaystyle X mathcal A mu nbsp sowie messbare Funktionen f f n n N X K displaystyle f f n n in mathbb N colon X to mathbb K nbsp Konvergiert die Funktionenfolge f n n N displaystyle f n n in mathbb N nbsp punktweise m fast uberall gegen f displaystyle f nbsp so konvergiert sie auch fast gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp 2 3 Beweis BearbeitenWir fuhren den Beweis fur f f k k N R n X R displaystyle f f k k in mathbb N mathbb R n supset X rightarrow mathbb R nbsp Man betrachte fur alle j i N displaystyle j i in mathbb N nbsp jeweils die Menge der Punkte auf denen mindestens ein f k displaystyle f k nbsp fur k j displaystyle k geq j nbsp starker als 1 2 i displaystyle frac 1 2 i nbsp von f displaystyle f nbsp abweicht C i j k j x X f k x f x gt 1 2 i displaystyle C i j bigcup k j infty left x in X f k x f x gt frac 1 2 i right nbsp Es ist klar dass i j C i j 1 C i j displaystyle forall i j C i j 1 subseteq C i j nbsp da mit grosser werdendem j displaystyle j nbsp Terme in der Vereinigung weggelassen werden Da ausserdem m C i 1 m X lt displaystyle mu C i 1 leq mu X lt infty nbsp konnen wir Stetigkeit von Oben ausnutzen und erhalten lim j m C i j m j 1 C i j 0 displaystyle lim j rightarrow infty mu C i j mu left bigcap j 1 infty C i j right 0 nbsp Letztere Gleichheit folgt da die Menge der Punkte fur die lim k f k x f x gt ϵ displaystyle lim k rightarrow infty f k x f x gt epsilon nbsp fur ein ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp gilt per Annahme Mass 0 hat Sei nun d gt 0 displaystyle delta gt 0 nbsp dann existiert fur alle i displaystyle i nbsp ein N i gt 0 displaystyle N i gt 0 nbsp so dass m C i N i lt d 2 i displaystyle mu C i N i lt frac delta 2 i nbsp Also ist das Mass der Punkte fur die f k displaystyle f k nbsp fur k gt N i displaystyle k gt N i nbsp noch um mehr als 1 2 i displaystyle frac 1 2 i nbsp von f displaystyle f nbsp abweicht beliebig klein Wir vereinigen nun alle C i N i displaystyle C i N i nbsp und stellen fest dass das Mass der Vereinigung immer noch beliebig klein ist dabei verwenden wir s Subadditivitat m i 1 C i N i lt i 1 d 2 i d displaystyle mu left bigcup i 1 infty C i N i right lt sum i 1 infty frac delta 2 i delta nbsp Auf dem Komplement dieser Vereinigung A X i 1 C i N i displaystyle A X setminus bigcup i 1 infty C i N i nbsp konvergieren die f k displaystyle f k nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp denn fur beliebiges ϵ gt 0 displaystyle epsilon gt 0 nbsp finden wir i displaystyle i nbsp so dass fur k N i displaystyle forall k geq N i nbsp gilt x A x C i N i f k x f x 1 2 i lt ϵ displaystyle x in A Rightarrow x notin C i N i Rightarrow f k x f x leq frac 1 2 i lt epsilon nbsp Zusammenfassend haben wir eine Menge gefunden A displaystyle A nbsp deren Komplement in X displaystyle X nbsp beliebig kleines Mass hat und auf der die f k k N displaystyle f k k in mathbb N nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp konvergieren Bemerkungen BearbeitenMan hatte zulassen konnen dass f displaystyle f nbsp auf einer Menge mit Mass 0 den Wert unendlich annimmt indem der Beweis mit X X x X f x displaystyle tilde X X setminus x in X f x infty nbsp anstelle von X displaystyle X nbsp durchgefuhrt wird Weiter kann die Bedingung m X lt displaystyle mu X lt infty nbsp nicht weggelassen werden wie das Beispiel f n x x n n 1 x displaystyle f n x chi n n 1 x nbsp auf X R displaystyle X mathbb R nbsp zeigt siehe unten Ausserdem ist es im Allgemeinen nicht moglich eine Menge zu finden auf der die Konvergenz gleichmassig ist und deren Komplement Mass 0 hat Da aus der fast gleichmassigen Konvergenz immer die Konvergenz fast uberall folgt liefert der Satz von Jegorow im Fall eines endlichen Massraumes die Aquivalenz der beiden Konvergenzarten Beispiel BearbeitenDas folgende Beispiel zeigt dass die Aussage bei nicht endlichen Massraumen im Allgemeinen falsch ist Betrachtet man die Funktionenfolge f n x x n n 1 x displaystyle f n x chi n n 1 x nbsp auf dem Massraum R B R l displaystyle mathbb R mathcal B mathbb R lambda nbsp so konvergiert diese Funktionenfolge punktweise fast uberall gegen 0 denn fur beliebiges x displaystyle x nbsp ist fur n x 1 displaystyle n geq lceil x rceil 1 nbsp immer f n x 0 x n n 1 x 0 0 displaystyle f n x 0 chi n n 1 x 0 0 nbsp Aber die Folge konvergiert nicht fast gleichmassig gegen 0 denn ist 0 lt e lt 1 displaystyle 0 lt varepsilon lt 1 nbsp so gilt fur jede messbare Menge A R displaystyle A subset mathbb R nbsp mit Mass kleiner e displaystyle varepsilon nbsp und jedes n N displaystyle n in mathbb N nbsp dass n n 1 A displaystyle n n 1 setminus A not emptyset nbsp denn n n 1 displaystyle n n 1 nbsp hat Mass 1 kann also nicht in A displaystyle A nbsp enthalten sein und daher sup x R A f n x 0 1 displaystyle sup x in mathbb R setminus A f n x 0 1 nbsp fur alle n N displaystyle n in mathbb N nbsp das heisst auf keinem Komplement einer Menge des Masses kleiner e displaystyle varepsilon nbsp kann gleichmassige Konvergenz vorliegen Ursprungliche Formulierung BearbeitenIn der Originalarbeit von Jegorow wurde der Satz nur fur Funktionen auf einem Intervall formuliert Theoreme Si l on a une suite de fonctions mesurables convergente pour tous les point d un intervalle AB sauf peut etre les points d un ensemble de mesure nulle on pourra tourjours enlever de l intervalle AB un ensemble de mesure h displaystyle eta nbsp aussi petite qu on voudra e tel que pour l ensemble complementaire de mesure m A B h displaystyle m AB eta nbsp la suite est uniformement convergente 4 Ubersetzung Wenn man eine Folge messbarer Funktionen hat die fur alle Punkte eines Intervalls AB konvergiert bis auf moglicherweise die Punkte einer Menge des Masses null so kann man stets aus dem Intervall AB eine Menge des Masses h displaystyle eta nbsp das so klein ist wie man auch will entfernen so dass die Folge auf der Komplementmenge mit Mass m A B h displaystyle m AB eta nbsp gleichmassig konvergent ist Der heutige Begriff der fast gleichmassigen Konvergenz war noch nicht in Verwendung Jegorow schlug in derselben Arbeit vor diese Konvergenz nach Hermann Weyl wesentlich gleichmassig zu nennen Verallgemeinerungen BearbeitenDer Satz von Jegorow gilt auch fur messbare Funktionen die Werte in einem separablen metrischen Raum annehmen Siehe auch BearbeitenVektorielles Mass fur eine Verallgemeinerung des Satzes fur Masse mit Werten in einem BanachraumLiteratur BearbeitenIsidor P Natanson Theorie der Funktionen einer reellen Veranderlichen Unveranderter Nachdruck der 4 Auflage Harri Deutsch Zurich u a 1977 ISBN 3 87144 217 8 auch in digitaler Form auf russisch bei INSTITUTE OF COMPUTATIONAL MODELLING SB RAS Krasnojarsk Kapitel IV 3 Jurgen Elstrodt Mass und Integrationstheorie 6 korrigierte Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2009 ISBN 978 3 540 89727 9 doi 10 1007 978 3 540 89728 6 Einzelnachweise Bearbeiten L D Kudryavtsev Egorov theorem In Michiel Hazewinkel Hrsg Encyclopedia of Mathematics Springer Verlag und EMS Press Berlin 2002 ISBN 1 55608 010 7 englisch encyclopediaofmath org Elstrodt Mass und Integriationstheorie 2009 S 252 Donald L Cohn Measure Theory Birkhauser Boston MA 1980 ISBN 3 7643 3003 1 Satz 3 1 3 Egoroff s theorem D Th Egoroff Sur les suites des fonctions mesurables Comptes rendus 152 1911 Seiten 244 246 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Jegorow amp oldid 235403067