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Satz von Kutta Joukowski Der nach anderer Transkription auch Kutta Schukowski Kutta Zhoukovski oder englisch Kutta Zhuko

Satz von Kutta-Joukowski

Der Satz von Kutta-Joukowski nach anderer Transkription auch Kutta-Schukowski, Kutta-Zhoukovski oder englisch Kutta-Zhukovsky, beschreibt in der Strömungslehre die Proportionalität zwischen dynamischem Auftrieb und Zirkulation

wobei

stehen. Er ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Martin Wilhelm Kutta sowie dem russischen Physiker und Luftfahrtpionier Nikolai Jegorowitsch Schukowski.

Mathematisch ist die Zirkulation das Ergebnis des Linienintegrals . Sobald dieses Integral verschieden von Null ist, ist ein Wirbel vorhanden.

Die Zirkulation beschreibt hier das Maß einer sich um ein Profil drehenden Strömung. Dieser Effekt tritt zum Beispiel an einem umströmten angestellten Tragflügel auf, wenn sich die Stromlinien der Parallelströmung und Zirkulationsströmung überlagern. Dies bewirkt, dass sich an der Oberseite des Tragflügels eine Auftriebskraft bildet, die zum Abheben des Tragflügels führt.

Physikalische Voraussetzungen Bearbeiten

Die Kutta-Joukowski-Formel gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen über das Strömungsfeld. Es sind dieselben wie für die Blasiusschen Formeln. Das heißt, die Strömung muss stationär, inkompressibel, reibungslos, drehungsfrei und effektiv 2-dimensional sein. D. h. in Richtung der dritten Dimension, beim Tragflügel die Richtung der Spannweite, sollen alle Variationen vernachlässigbar sein. Kräfte in dieser Richtung summieren sich daher auf. Insgesamt sind sie proportional zur Breite . Wegen der Drehungsfreiheit verlaufen die Stromlinien vom Unendlichen vor dem Körper bis ins Unendliche hinter dem Körper. Da außerdem Reibungsfreiheit gilt, ist die mechanische Energie erhalten, und es kann die Druckverteilung am Tragflügel nach der Bernoulli-Gleichung bestimmt werden. Aufsummieren der Druckkräfte führt zunächst auf die 1. Blasiussche Formel. Aus dieser kann die Kutta-Joukowski-Formel mit Hilfsmitteln der Funktionentheorie exakt hergeleitet werden.

Mathematische Eigenschaften und Herleitung Bearbeiten

Die rechnerischen Vorteile der Kutta-Joukowski-Formel kommen erst bei Formulierung mit komplexen Funktionen zur Geltung. Dann ist die Ebene des Tragflügel-Profils die Gaußsche Zahlenebene, und die lokale Strömungsgeschwindigkeit ist eine holomorphe Funktion der Variablen . Es existiert eine Stammfunktion (Potential) , so dass

Geht man nun von einem einfachen Strömungsfeld aus (z. B. Strömung um einen Kreiszylinder) und erzeugt man ein neues Strömungsfeld durch konforme Abbildung des Potentials (nicht der Geschwindigkeit) und anschließende Ableitung nach , so bleibt die Zirkulation unverändert:

Dies folgt (heuristisch) daraus, dass die Werte von bei der konformen Transformation lediglich von einem Punkt der Zahlenebene an einen anderen Punkt versetzt werden. Zu beachten ist, dass notwendigerweise eine mehrdeutige Funktion ist, wenn die Zirkulation nicht verschwindet.

Wegen der Invarianz lässt sich z. B. die Zirkulation um ein Joukowski-Profil unmittelbar aus der Zirkulation um ein Kreisprofil gewinnen. Beschränkt man sich bei den Transformationen auf solche, die die Strömungsgeschwindigkeit in großen Abständen vom Tragflügel nicht verändern (vorgegebene Geschwindigkeit des Flugzeugs) so folgt aus der Kutta-Joukowski-Formel, dass alle durch solche Transformationen auseinander hervorgehenden Profile denselben Auftrieb haben.

Zur Herleitung der Kutta-Joukowski-Formel aus der 1. Blasiusschen Formel muss das Verhalten der Strömungsgeschwindigkeit bei großen Abständen spezifiziert werden: Zusätzlich zur Holomorphie im Endlichen sei als Funktion von stetig im Punkt . Dann lässt sich in eine Laurent-Reihe entwickeln:

Dabei ist offensichtlich . Nach dem Residuensatz gilt außerdem

Man setzt die Reihe in die 1. Blasiussche Formel ein und multipliziert aus. Wieder ergibt nur der Term mit der ersten negativen Potenz einen Beitrag:

Dies ist die Kutta-Joukowski-Formel, und zwar sowohl für die vertikale als auch die horizontale Komponente der Kraft (Auftrieb und Widerstand). Aus dem Vorfaktor ergibt sich, dass die Kraft unter den genannten Voraussetzungen (vor allem Reibungsfreiheit) stets senkrecht auf der Anströmungsrichtung steht (sogenanntes d’Alembertsches Paradoxon).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Schlichting/Truckenbrodt Abschnitte 2.5 und 6.2
  2. Schlichting/Truckenbrodt Abschnitt 6.212

Literatur Bearbeiten

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Veröffentlichungsdatum:
Der Satz von Kutta Joukowski nach anderer Transkription auch Kutta Schukowski Kutta Zhoukovski oder englisch Kutta Zhukovsky beschreibt in der Stromungslehre die Proportionalitat zwischen dynamischem Auftrieb und Zirkulation F A r v G displaystyle F mathrm A rho cdot v infty cdot Gamma wobei F A displaystyle F mathrm A fur die Auftriebskraft pro Spannweite r displaystyle rho fur die Dichte des umstromenden Mediums v displaystyle v infty fur die ungestorte Anstromgeschwindigkeit G displaystyle Gamma fur die Zirkulationstehen Er ist benannt nach dem deutschen Mathematiker Martin Wilhelm Kutta sowie dem russischen Physiker und Luftfahrtpionier Nikolai Jegorowitsch Schukowski Mathematisch ist die Zirkulation G displaystyle Gamma das Ergebnis des Linienintegrals G v d s displaystyle Gamma oint vds Sobald dieses Integral verschieden von Null ist ist ein Wirbel vorhanden Die Zirkulation beschreibt hier das Mass einer sich um ein Profil drehenden Stromung Dieser Effekt tritt zum Beispiel an einem umstromten angestellten Tragflugel auf wenn sich die Stromlinien der Parallelstromung und Zirkulationsstromung uberlagern Dies bewirkt dass sich an der Oberseite des Tragflugels eine Auftriebskraft F A displaystyle F mathrm A bildet die zum Abheben des Tragflugels fuhrt Inhaltsverzeichnis 1 Physikalische Voraussetzungen 2 Mathematische Eigenschaften und Herleitung 3 Einzelnachweise 4 LiteraturPhysikalische Voraussetzungen BearbeitenDie Kutta Joukowski Formel gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen uber das Stromungsfeld Es sind dieselben wie fur die Blasiusschen Formeln Das heisst die Stromung muss stationar inkompressibel reibungslos drehungsfrei und effektiv 2 dimensional sein D h in Richtung der dritten Dimension beim Tragflugel die Richtung der Spannweite sollen alle Variationen vernachlassigbar sein Krafte in dieser Richtung summieren sich daher auf Insgesamt sind sie proportional zur Breite b displaystyle b nbsp Wegen der Drehungsfreiheit verlaufen die Stromlinien vom Unendlichen vor dem Korper bis ins Unendliche hinter dem Korper Da ausserdem Reibungsfreiheit gilt ist die mechanische Energie erhalten und es kann die Druckverteilung am Tragflugel nach der Bernoulli Gleichung bestimmt werden Aufsummieren der Druckkrafte fuhrt zunachst auf die 1 Blasiussche Formel Aus dieser kann die Kutta Joukowski Formel mit Hilfsmitteln der Funktionentheorie exakt hergeleitet werden Mathematische Eigenschaften und Herleitung BearbeitenDie rechnerischen Vorteile der Kutta Joukowski Formel kommen erst bei Formulierung mit komplexen Funktionen zur Geltung 1 Dann ist die Ebene des Tragflugel Profils die Gausssche Zahlenebene und die lokale Stromungsgeschwindigkeit v v x i v y displaystyle v v x mathrm i v y nbsp ist eine holomorphe Funktion der Variablen z x i y displaystyle z x mathrm i y nbsp Es existiert eine Stammfunktion Potential F z displaystyle Phi z nbsp so dass v d F d z displaystyle v frac mathrm d Phi mathrm d z nbsp Geht man nun von einem einfachen Stromungsfeld aus z B Stromung um einen Kreiszylinder und erzeugt man ein neues Stromungsfeld durch konforme Abbildung des Potentials nicht der Geschwindigkeit und anschliessende Ableitung nach z displaystyle z nbsp so bleibt die Zirkulation unverandert G v z d z invariant unter konformen Transformationen von F displaystyle Gamma oint v z mathrm d z qquad text invariant unter konformen Transformationen von Phi nbsp Dies folgt heuristisch daraus dass die Werte von F displaystyle Phi nbsp bei der konformen Transformation lediglich von einem Punkt der Zahlenebene an einen anderen Punkt versetzt werden Zu beachten ist dass F displaystyle Phi nbsp notwendigerweise eine mehrdeutige Funktion ist wenn die Zirkulation nicht verschwindet Wegen der Invarianz lasst sich z B die Zirkulation um ein Joukowski Profil unmittelbar aus der Zirkulation um ein Kreisprofil gewinnen Beschrankt man sich bei den Transformationen auf solche die die Stromungsgeschwindigkeit in grossen Abstanden vom Tragflugel nicht verandern vorgegebene Geschwindigkeit des Flugzeugs so folgt aus der Kutta Joukowski Formel dass alle durch solche Transformationen auseinander hervorgehenden Profile denselben Auftrieb haben Zur Herleitung der Kutta Joukowski Formel aus der 1 Blasiusschen Formel 2 muss das Verhalten der Stromungsgeschwindigkeit bei grossen Abstanden spezifiziert werden Zusatzlich zur Holomorphie im Endlichen sei v displaystyle v nbsp als Funktion von w 1 z displaystyle w 1 z nbsp stetig im Punkt w 0 displaystyle w 0 nbsp Dann lasst sich v displaystyle v nbsp in eine Laurent Reihe entwickeln v z A 0 A 1 z A 2 z 2 displaystyle v z A 0 frac A 1 z frac A 2 z 2 cdots nbsp Dabei ist offensichtlich A 0 v displaystyle A 0 v infty nbsp Nach dem Residuensatz gilt ausserdem A 1 G 2 p i displaystyle A 1 frac Gamma 2 pi mathrm i nbsp Man setzt die Reihe in die 1 Blasiussche Formel ein und multipliziert aus Wieder ergibt nur der Term mit der ersten negativen Potenz einen Beitrag F i r 2 v 2 d z i r 2 2 A 0 A 1 z d z i r v G displaystyle F mathrm i frac rho 2 oint v 2 mathrm d z mathrm i frac rho 2 oint frac 2A 0 A 1 z mathrm d z mathrm i rho v infty Gamma nbsp Dies ist die Kutta Joukowski Formel und zwar sowohl fur die vertikale als auch die horizontale Komponente der Kraft Auftrieb und Widerstand Aus dem Vorfaktor i displaystyle mathrm i nbsp ergibt sich dass die Kraft unter den genannten Voraussetzungen vor allem Reibungsfreiheit stets senkrecht auf der Anstromungsrichtung steht sogenanntes d Alembertsches Paradoxon Einzelnachweise Bearbeiten Schlichting Truckenbrodt Abschnitte 2 5 und 6 2 Schlichting Truckenbrodt Abschnitt 6 212Literatur BearbeitenHermann Schlichting Erich Truckenbrodt Aerodynamik des Flugzeuges Band 1 Springer 1967 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Kutta Joukowski amp oldid 238527720