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Kutta Schukowski Transformation Die oft auch nur Schukowski Transformation oder nach anderer Transkription Joukowski Tra

Kutta-Schukowski-Transformation

Die Kutta-Schukowski-Transformation, oft auch nur Schukowski-Transformation oder nach anderer Transkription Joukowski-Transformation genannt, ist ein mathematisches Verfahren, das Anwendung in der Strömungslehre und Elektrostatik findet. Sie ist die einfachste Transformation, die auf einen Kreis angewendet als Ergebnis Tragflächenprofile liefert. Sie ist nach Martin Wilhelm Kutta und Nikolai Jegorowitsch Schukowski benannt.

Urbild und Bild einer Kutta-Schukowski-Transformation
Reibungsfreie, inkompressible Strömung um ein Tragflügel­profil, berechnet mit der Joukowski-Transformation. Die Blaustufungen repräsentieren den Druck (je dunkler, desto höher).

Definition Bearbeiten

Die Kutta-Schukowski-Transformation lässt sich mit komplexen Zahlen darstellen, es handelt sich um eine konforme Abbildung. Sie entspricht genauer einer Funktion mit der Gleichung

mit einem reellen Parameter . Um Tragflächenkonturen mit gewölbter Mittellinie zu erzeugen, sind zudem noch geometrische Berechnungen nötig, da hier der Ausgangspunkt der Transformation nicht das Zentrum, sondern ein um und verschobener Punkt innerhalb des Kreises sein muss.

Eigenschaften Bearbeiten

Mit und der imaginären Einheit bekommt man

Alle reellen Zahlen und die komplexen auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius werden auf reelle Zahlen abgebildet:

Ein Kreis durch den Ursprung mit Radius größer als wird auf eine Ellipse abgebildet.

Abbildung einer Kreisscheibe auf die Ebene mit Schlitz Bearbeiten

Die Funktion bildet das Äußere (oder Innere) eines Kreises mit Radius in der -Ebene auf die -Ebene mit Schlitz ab. Die Umkehrung dieser Abbildung, das heißt

ist nicht eindeutig für alle Punkte, die auf den Flanken des Schlitzes liegen, mit Ausnahme der Enden des Schlitzes. Die beiden Werte und sind reziprok zueinander () und es ist diejenige Zahl zu nehmen, deren Betrag größer oder gleich ist (bzw. kleiner gleich ist). Auf den Flanken gelten , , und ist zu konjugiert komplex. Die Schlitzenden selbst liegen bei bzw. . Für alle anderen Punkte der -Ebene ( oder ) ist die Abbildung eindeutig.

Diese Eigenschaften werden in der Bruchmechanik bei der Berechnung des Griffith-Risses mit der Airy’schen Spannungsfunktion ausgenutzt.

Singularität bei z = ±a Bearbeiten

Die Abbildung hat wegen an den Stellen eine Singularität. Der Punkt wird meist in das Innere des Profils abgebildet und tritt dann nicht in Erscheinung. Führt der Kreis in der -Ebene durch , dann sind die Tangenten an die Kurvenäste, die in der -Ebene im Punkt ankommen, parallel. Der Hinterkantwinkel ist dann 0° wie in den Bildern.

Anwendung Bearbeiten

Zusammen mit dem Kreis transformiert man auch das Bild der Stromlinien um den Kreis, die Geschwindigkeits- und Druckverteilung, die sich mit der Annahme einer Potentialströmung um den Kreis analytisch berechnen lassen. Die historische und didaktische Bedeutung des Verfahrens beruht auf der Tatsache, dass auch das Ergebnis der Transformation der Strömungsgleichung genügt und man so den dynamischen Auftrieb mit der Blasius’schen Formel oder dem Satz von Kutta-Joukowski errechnen kann. Mit der 1902 entdeckten Formel wurde ein Vergleich zwischen theoretischer und experimenteller Tragflächenforschung möglich und konnten erste auftriebserzeugende Flügelprofile entwickelt werden.

Geschichte Bearbeiten

Kutta benutzte die Transformation für Tragflächenprofile, welche aus unendlich dünnen Kreisbogensegmenten bestanden. Schukowski zeigte, dass man mit dieser Methode auch Profile endlicher Dicke sowie gekrümmter Mittenkontur berechnen kann. Allerdings haben derartig berechnete Profile noch gravierende Nachteile, wie Strömungsablösung und erhöhte Wirbelbildung, weshalb später kompliziertere Transformationsgleichungen benutzt wurden. Heute setzt man numerische Verfahren zur Simulation der Strömung ein, was zwei Vorteile hat: Einerseits kann man den Profilverlauf frei wählen, auch dreidimensional, andererseits ist man nicht auf vereinfachte Strömungsgleichungen und -felder angewiesen.

Weblinks Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • J. H. Spurk: Strömungslehre. Springer Verlag, Heidelberg, Dordrecht, London, New York 2010, ISBN 978-3-642-13142-4, S. 414 ff., doi:10.1007/978-3-642-13143-1 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche [abgerufen am 29. April 2020]).

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Spurk (2010), S. 414.
  2. ↑ Spurk (2010), S. 416.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Kutta Schukowski Transformation oft auch nur Schukowski Transformation oder nach anderer Transkription Joukowski Transformation genannt ist ein mathematisches Verfahren das Anwendung in der Stromungslehre und Elektrostatik findet Sie ist die einfachste Transformation die auf einen Kreis angewendet als Ergebnis Tragflachenprofile liefert Sie ist nach Martin Wilhelm Kutta und Nikolai Jegorowitsch Schukowski benannt Urbild und Bild einer Kutta Schukowski TransformationReibungsfreie inkompressible Stromung um ein Tragflugel profil berechnet mit der Joukowski Transformation Die Blaustufungen reprasentieren den Druck je dunkler desto hoher Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Eigenschaften 2 1 Abbildung einer Kreisscheibe auf die Ebene mit Schlitz 2 2 Singularitat bei z a 3 Anwendung 4 Geschichte 5 Weblinks 6 Literatur 7 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenDie Kutta Schukowski Transformation lasst sich mit komplexen Zahlen darstellen es handelt sich um eine konforme Abbildung Sie entspricht genauer einer Funktion f C 0 C displaystyle f colon mathbb C setminus 0 rightarrow mathbb C nbsp mit der Gleichung 1 z f z z a 2 z displaystyle zeta f z z frac a 2 z nbsp mit einem reellen Parameter a displaystyle a nbsp Um Tragflachenkonturen mit gewolbter Mittellinie zu erzeugen sind zudem noch geometrische Berechnungen notig da hier der Ausgangspunkt der Transformation nicht das Zentrum sondern ein um x displaystyle x nbsp und y displaystyle y nbsp verschobener Punkt innerhalb des Kreises sein muss Eigenschaften BearbeitenMit x y R z x i y displaystyle x y in mathbb R z x mathrm i y nbsp und der imaginaren Einheit i displaystyle mathrm i nbsp bekommt man z x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 x i x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 y displaystyle zeta frac x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 x mathrm i frac x 2 y 2 a 2 x 2 y 2 y nbsp Alle reellen Zahlen und die komplexen auf dem Kreis um den Ursprung mit Radius a displaystyle a nbsp werden auf reelle Zahlen abgebildet z R z a z z R displaystyle z in mathbb R vee z a Longrightarrow z mapsto zeta in mathbb R nbsp Ein Kreis durch den Ursprung mit Radius grosser als a displaystyle a nbsp wird auf eine Ellipse abgebildet 2 Abbildung einer Kreisscheibe auf die Ebene mit Schlitz Bearbeiten Die Funktion z f z displaystyle zeta f z nbsp bildet das Aussere oder Innere eines Kreises mit Radius a displaystyle a nbsp in der z displaystyle z nbsp Ebene auf die z displaystyle zeta nbsp Ebene mit Schlitz ab Die Umkehrung dieser Abbildung das heisst z 1 2 z z 2 z 2 4 a 2 displaystyle z 1 2 zeta frac zeta 2 pm sqrt frac zeta 2 4 a 2 nbsp ist nicht eindeutig fur alle Punkte die auf den Flanken des Schlitzes liegen mit Ausnahme der Enden des Schlitzes Die beiden Werte z 1 displaystyle z 1 nbsp und z 2 displaystyle z 2 nbsp sind reziprok zueinander z 1 z 2 a 2 displaystyle z 1 z 2 a 2 nbsp und es ist diejenige Zahl zu nehmen deren Betrag grosser oder gleich a displaystyle a nbsp ist bzw kleiner gleich a displaystyle a nbsp ist Auf den Flanken gelten z 1 2 a e i f displaystyle z 1 2 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Fuhrt der Kreis in der z displaystyle z nbsp Ebene durch z a displaystyle z a nbsp dann sind die Tangenten an die Kurvenaste die in der z displaystyle zeta nbsp Ebene im Punkt z 2 a displaystyle zeta 2a nbsp ankommen parallel Der Hinterkantwinkel ist dann 0 wie in den Bildern 2 Anwendung BearbeitenZusammen mit dem Kreis transformiert man auch das Bild der Stromlinien um den Kreis die Geschwindigkeits und Druckverteilung die sich mit der Annahme einer Potentialstromung um den Kreis analytisch berechnen lassen Die historische und didaktische Bedeutung des Verfahrens beruht auf der Tatsache dass auch das Ergebnis der Transformation der Stromungsgleichung genugt und man so den dynamischen Auftrieb mit der Blasius schen Formel oder dem Satz von Kutta Joukowski errechnen kann Mit der 1902 entdeckten Formel wurde ein Vergleich zwischen theoretischer und experimenteller Tragflachenforschung moglich und konnten erste auftriebserzeugende Flugelprofile entwickelt werden Geschichte BearbeitenKutta benutzte die Transformation fur Tragflachenprofile welche aus unendlich dunnen Kreisbogensegmenten bestanden Schukowski zeigte dass man mit dieser Methode auch Profile endlicher Dicke sowie gekrummter Mittenkontur berechnen kann Allerdings haben derartig berechnete Profile noch gravierende Nachteile wie Stromungsablosung und erhohte Wirbelbildung weshalb spater kompliziertere Transformationsgleichungen benutzt wurden Heute setzt man numerische Verfahren zur Simulation der Stromung ein was zwei Vorteile hat Einerseits kann man den Profilverlauf frei wahlen auch dreidimensional andererseits ist man nicht auf vereinfachte Stromungsgleichungen und felder angewiesen Weblinks BearbeitenGeometrische Grundlagen PDF Datei 29 kB interaktive Kutta Schukowski Transformation Java Applet setzt Java fahigen Browser voraus Applet fur ideale Stromungen ermoglicht interaktiv die konforme Abbildung eines Stromungsfeldes u a mit der Kutta Schukowski Transformation Literatur BearbeitenJ H Spurk Stromungslehre Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2010 ISBN 978 3 642 13142 4 S 414 ff doi 10 1007 978 3 642 13143 1 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche abgerufen am 29 April 2020 Einzelnachweise Bearbeiten Spurk 2010 S 414 a b Spurk 2010 S 416 Normdaten Sachbegriff GND 4142405 0 lobid OGND AKS Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kutta Schukowski Transformation amp oldid 223130312