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Radiale Basisfunktion Eine radiale Basisfunktion RBF ist eine reelle Funktion φ displaystyle varphi deren Wert nur vom A

Radiale Basisfunktion

Eine radiale Basisfunktion (RBF) ist eine reelle Funktion , deren Wert nur vom Abstand zum Ursprung abhängt, so dass . Der Name kommt daher, dass die Funktion nach dieser Definition radialsymmetrisch ist und ferner diese Funktionen als Basisfunktionen einer Approximation verwendet werden. Allgemeiner kann man den Abstand zu einem Punkt c betrachten, der Zentrum genannt wird, so dass .

Eigenschaften Bearbeiten

Jede Funktion für die gilt ist eine RBF. Als Norm wird gewöhnlich die euklidische Norm gewählt, je nach Problem sind auch andere Normen möglich. Nimmt man beispielsweise die von der Lukaszyk-Karmowski-Metrik induzierte Norm, so ist es bei manchen RBFs möglich, Probleme mit schlecht konditionierten Matrizen zu umgehen, die zur Berechnung der Koeffizienten, die bei Approximation durch RBFs auftreten, erforderlich sind. Da es sich bei dem Radius um eine skalare Größe handelt, ist das Verhalten bezüglich des Aufwandes im höherdimensionalen Raum gutartig.

Typen radialer Basisfunktionen Bearbeiten

Stückweise polynomielle RBF () , für ungerade
Thin Plate Spline () , für gerade
Multiquadric RBF (MQ)
Inverse multiquadric RBF (IMQ)
Inverse quadric RBF (IQ)
Polyharmonic RBF
gaußsche RBF (GS)

Approximation mit Hilfe von RBFs Bearbeiten

Typischerweise werden Linearkombinationen von radialen Basisfunktionen zur Approximation von Funktionen genutzt. Hierbei wird die zu approximierende Funktion durch eine Summe von radialen Basisfunktionen angenähert, die verschiedene Zentren haben und durch die Koeffizienten gewichtet sind. Weiterhin ist zu beachten, dass die Funktionswerte an den Zentren exakt eingehalten werden.

Im Allgemeinen dienen radiale Basisfunktionen zur Annäherung stetiger Funktionen, die von zwei oder mehr Variablen abhängen (multivariaten Funktionen), durch Linearkombinationen von Ausdrücken, die auf einer einzelnen Funktion einer Variablen basieren. Ist eine radiale Basisfunktion, kann man eine multivariate Funktion wie folgt definieren:

Dabei ist der euklidische Abstand vom Koordinatenursprung. Im zweidimensionalen Fall bedeutet das, dass die Funktion für jeden Punkt auf einem Kreis, dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist, denselben Wert hat. Dasselbe gilt für dreidimensionale Kugeln und höherdimensionalen Äquivalente (Hyperkugeln).

Wenn eine Interpolation auf einer Funktion durchgeführt wird, die an endlich vielen Punkten bekannt ist, wird eine Menge von Basisfunktionen benötigt. Diese kann erzeugt werden, indem die radiale Basisfunktion von den gegebenen Punkten verschoben wird. Die Funktion hat dieselbe Gestalt wie die Funktion , aber bezogen auf den Punkt statt dem Koordinatenursprung. Für jeden Punkt erhält man eine neue Basisfunktion. Diese Basisfunktionen können verwendet werden, um eine Näherungsfunktion zu erzeugen:

Dabei ist jedes eine reelle Zahl. Wenn die Bedingung für alle Indexe erfüllt sein soll, sind die Koeffizienten die Lösungen eines linearen Gleichungssystems.

Funktionsweise Bearbeiten

Zur Verdeutlichung der Funktionsweise soll die Funktion mit Hilfe der Gaußschen RBF approximiert werden. Dazu werden im ausgewählten Bereich von sechs gleichmäßig verteilte Stützstellen zu Rate gezogen. Den freien Parameter muss man dabei kalibrieren. Die Abbildung für den approximierten Funktionsverlauf zeigt zwei unterschiedliche Vorgaben für . Dabei ist mit der schwarzen Approximation der optimale Wert () dargestellt und mit dem roten Verlauf die intuitive Wahl von , welche die Superposition einzelner Gauß-Funktionen aufzeigt.

Bestimmung der Koeffizienten Bearbeiten

Für die Bestimmung der Koeffizienten der radialen Basisfunktionen muss ein lineares Gleichungssystem gelöst werden. Dies wird mit Hilfe von ausgewählten Stützstellen aufgestellt. Dabei besteht die Matrix aus den Werten der Basisfunktion, die sich aus den Abständen der Stützstellen ergeben, der zu bestimmende Vektor enthält die Koeffizienten der radialen Basisfunktionen und die rechte Seite des linearen Gleichungssystems beinhaltet die Funktionswerte an den Stützstellen.

Für einen Funktionswert einer -ten Stützstelle gilt:

Somit lässt sich das folgende Gleichungssystem aufstellen.

Umsetzung im Quelltext Bearbeiten

Die Bestimmung der Koeffizienten kann mit Hilfe des angegebenen Matlab-Quelltextes erfolgen. 

function [lam,coreFunction] = RBFcalcCoeff(a,xk,fk) coreFunction = @(x) exp(-(a.*x).^2); %%% definieren der RBF (phi(x)) N = length(xk); %%% N ausgewählte Stützstellen A = zeros(N,N); %%% Initialisierung der Matrix A for i1 = 1:N %%% Schleife über alle Zeilen  for i2 = i1:N %%% Schleife über alle Spalten  r = sqrt((xk(i1)-xk(i2)).^2); %%% Bestimmung des Radius  A(i1,i2) = coreFunction(r); %%% Funktionswert der Matrix  A(i2,i1) = A(i1,i2);  end end lam=A\fk; %%% Lösung des Gleichungssystems

Positive Definitheit Bearbeiten

Eine radiale Basisfunktion ist positiv definit, wenn für alle endlichen Mengen aus endlich vielen Punkten die symmetrischen Matrizen positiv definit sind.

Anwendungen Bearbeiten

Approximationsmethoden dieser Art werden zur Modellierung nichtlinearer Systeme (mit ausreichend einfachem chaotischem Verhalten), zur 3D-Rekonstruktion in der Computergrafik (beispielsweise hierarchische RBFs) oder zur Erstellung von Antwortflächen in der Optimierung eingesetzt. Weitere Anwendungsbereiche von RBFs sind das Lösen von partiellen Differentialgleichungen (z. B. mittels gitterfreier Kollokation) oder Transformationen bei der Bildregistrierung.

Künstliche neuronale Netze Bearbeiten

Insofern ein künstliches neuronales Netz eine zur Approximation geeignete Verfahrensart ist, besonders bei hochdimensionalen Problemen, stellen RBF ein spezielles Modell hierfür dar.

Literatur Bearbeiten

  • Martin D. Buhmann: Radial Basis Functions: Theory and Implementations. Cambridge University Press, 2003
  • E. Larsson, B. Fornberg: A Numerical Study of some Radial Basis Function based Solution Methods for Elliptic PDEs. In: Computers & Mathematics with Applications, Volume 46, 2003
  • H. Wendland: Scattered Data Approximation. Cambridge University Press, 2005

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Martin Buhmann, Janin Jäger: On radial basis functions
  2. R. Schaback, Georg-August-Universität Göttingen: A Practical Guide to Radial Basis Functions
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Veröffentlichungsdatum:
Eine radiale Basisfunktion RBF ist eine reelle Funktion f displaystyle varphi deren Wert nur vom Abstand zum Ursprung abhangt so dass f x f x displaystyle varphi mathbf x varphi mathbf x Der Name kommt daher dass die Funktion nach dieser Definition radialsymmetrisch ist und ferner diese Funktionen als Basisfunktionen einer Approximation verwendet werden Allgemeiner kann man den Abstand zu einem Punkt c betrachten der Zentrum genannt wird so dass f x c f x c displaystyle varphi mathbf x mathbf c varphi mathbf x mathbf c Inhaltsverzeichnis 1 Eigenschaften 2 Typen radialer Basisfunktionen 3 Approximation mit Hilfe von RBFs 3 1 Funktionsweise 3 2 Bestimmung der Koeffizienten 3 3 Umsetzung im Quelltext 4 Positive Definitheit 5 Anwendungen 5 1 Kunstliche neuronale Netze 6 Literatur 7 Weblinks 8 EinzelnachweiseEigenschaften BearbeitenJede Funktion f x displaystyle varphi x nbsp fur die f x f x displaystyle varphi mathbf x varphi mathbf x nbsp gilt ist eine RBF Als Norm displaystyle cdot nbsp wird gewohnlich die euklidische Norm gewahlt je nach Problem sind auch andere Normen moglich Nimmt man beispielsweise die von der Lukaszyk Karmowski Metrik induzierte Norm so ist es bei manchen RBFs moglich Probleme mit schlecht konditionierten Matrizen zu umgehen die zur Berechnung der Koeffizienten die bei Approximation durch RBFs auftreten erforderlich sind Da es sich bei dem Radius um eine skalare Grosse handelt ist das Verhalten bezuglich des Aufwandes im hoherdimensionalen Raum gutartig Typen radialer Basisfunktionen BearbeitenStuckweise polynomielle RBF R n displaystyle R n nbsp r n displaystyle r n nbsp fur n displaystyle n nbsp ungeradeThin Plate Spline T P S n displaystyle TPS n nbsp r n ln r displaystyle r n ln r nbsp fur n displaystyle n nbsp geradeMultiquadric RBF MQ 1 a r 2 displaystyle sqrt 1 ar 2 nbsp Inverse multiquadric RBF IMQ 1 1 a r 2 displaystyle frac 1 sqrt 1 ar 2 nbsp Inverse quadric RBF IQ 1 1 a r 2 displaystyle frac 1 1 ar 2 nbsp Polyharmonic RBF 1 n 2 r n ln r displaystyle 1 left lceil tfrac n 2 right rceil r n ln r nbsp gausssche RBF GS e a r 2 displaystyle e ar 2 nbsp Approximation mit Hilfe von RBFs BearbeitenTypischerweise werden Linearkombinationen von radialen Basisfunktionen zur Approximation von Funktionen genutzt Hierbei wird die zu approximierende Funktion f x displaystyle f x nbsp durch eine Summe von n displaystyle n nbsp radialen Basisfunktionen angenahert die verschiedene Zentren x i displaystyle mathbf x i nbsp haben und durch die Koeffizienten l i displaystyle lambda i nbsp gewichtet sind Weiterhin ist zu beachten dass die Funktionswerte an den Zentren exakt eingehalten werden Im Allgemeinen dienen radiale Basisfunktionen zur Annaherung stetiger Funktionen die von zwei oder mehr Variablen abhangen multivariaten Funktionen durch Linearkombinationen von Ausdrucken die auf einer einzelnen Funktion einer Variablen basieren Ist f R R displaystyle varphi colon mathbb R to mathbb R nbsp eine radiale Basisfunktion kann man eine multivariate Funktion wie folgt definieren F x f x 2 displaystyle Phi mathbf x varphi mathbf x 2 nbsp fur alle reellen Vektoren x x 1 x 2 x n R n displaystyle mathbf x x 1 x 2 ldots x n in mathbb R n nbsp Dabei ist x 2 x 1 2 x 2 2 x n 2 displaystyle mathbf x 2 sqrt x 1 2 x 2 2 cdots x n 2 nbsp der euklidische Abstand vom Koordinatenursprung Im zweidimensionalen Fall bedeutet das dass die Funktion F displaystyle Phi nbsp fur jeden Punkt auf einem Kreis dessen Mittelpunkt der Koordinatenursprung ist denselben Wert hat Dasselbe gilt fur dreidimensionale Kugeln und hoherdimensionalen Aquivalente Hyperkugeln Wenn eine Interpolation auf einer Funktion f R n R displaystyle f colon mathbb R n to mathbb R nbsp durchgefuhrt wird die an endlich vielen Punkten x i R displaystyle mathbf x i in mathbb R nbsp bekannt ist wird eine Menge von Basisfunktionen benotigt Diese kann erzeugt werden indem die radiale Basisfunktion f displaystyle varphi nbsp von den gegebenen Punkten verschoben wird Die Funktion f x x i 2 displaystyle varphi mathbf x mathbf x i 2 nbsp hat dieselbe Gestalt wie die Funktion F displaystyle Phi nbsp aber bezogen auf den Punkt x i displaystyle mathbf x i nbsp statt dem Koordinatenursprung Fur jeden Punkt x i displaystyle mathbf x i nbsp erhalt man eine neue Basisfunktion Diese Basisfunktionen konnen verwendet werden um eine Naherungsfunktion zu erzeugen s x i 1 n l i f x x i 2 displaystyle s mathbf x sum i 1 n lambda i cdot varphi mathbf x mathbf x i 2 nbsp Dabei ist jedes l i displaystyle lambda i nbsp eine reelle Zahl Wenn die Bedingung s x i f x i displaystyle s mathbf x i f mathbf x i nbsp fur alle Indexe i displaystyle i nbsp erfullt sein soll sind die Koeffizienten l i displaystyle lambda i nbsp die Losungen eines linearen Gleichungssystems 1 Funktionsweise Bearbeiten nbsp Approximation mit RBF Gaussscher Ansatz Zur Verdeutlichung der Funktionsweise soll die Funktion f x sin x 0 95 0 075 x 2 0 001 x 4 displaystyle f x sin x 0 95 0 075x 2 0 001x 4 nbsp mit Hilfe der Gaussschen RBF approximiert werden Dazu werden im ausgewahlten Bereich von 0 x 10 displaystyle 0 leq x leq 10 nbsp sechs gleichmassig verteilte Stutzstellen zu Rate gezogen Den freien Parameter a displaystyle a nbsp muss man dabei kalibrieren Die Abbildung fur den approximierten Funktionsverlauf zeigt zwei unterschiedliche Vorgaben fur a displaystyle a nbsp Dabei ist mit der schwarzen Approximation der optimale Wert a 0 17 displaystyle a 0 17 nbsp dargestellt und mit dem roten Verlauf die intuitive Wahl von a 1 0 displaystyle a 1 0 nbsp welche die Superposition einzelner Gauss Funktionen aufzeigt Bestimmung der Koeffizienten Bearbeiten Fur die Bestimmung der Koeffizienten der radialen Basisfunktionen muss ein lineares Gleichungssystem gelost werden Dies wird mit Hilfe von N displaystyle N nbsp ausgewahlten Stutzstellen aufgestellt Dabei besteht die Matrix A displaystyle A nbsp aus den Werten der Basisfunktion die sich aus den Abstanden der Stutzstellen ergeben der zu bestimmende Vektor enthalt die Koeffizienten der radialen Basisfunktionen und die rechte Seite des linearen Gleichungssystems beinhaltet die Funktionswerte an den Stutzstellen Fur einen Funktionswert einer k displaystyle k nbsp ten Stutzstelle gilt f x k i 1 N l i f r k i displaystyle f mathbf x k sum i 1 N lambda i varphi r ki nbsp mit der Abkurzung r k i x k x i displaystyle r ki mathbf x k mathbf x i nbsp Somit lasst sich das folgende Gleichungssystem aufstellen f r 11 f r 12 f r 1 N f r 21 f r 22 f r 2 N f r N 1 f r N 2 f r N N l 1 l 2 l N f x 1 f x 2 f x N displaystyle begin bmatrix varphi r 11 amp varphi r 12 amp cdots amp varphi r 1N varphi r 21 amp varphi r 22 amp cdots amp varphi r 2N vdots amp vdots amp ddots amp vdots varphi r N1 amp varphi r N2 amp cdots amp varphi r NN end bmatrix begin bmatrix lambda 1 lambda 2 vdots lambda N end bmatrix begin bmatrix f mathbf x 1 f mathbf x 2 vdots f mathbf x N end bmatrix nbsp Umsetzung im Quelltext Bearbeiten Die Bestimmung der Koeffizienten kann mit Hilfe des angegebenen Matlab Quelltextes erfolgen function lam coreFunction RBFcalcCoeff a xk fk coreFunction x exp a x 2 definieren der RBF phi x N length xk N ausgewahlte Stutzstellen A zeros N N Initialisierung der Matrix A for i1 1 N Schleife uber alle Zeilen for i2 i1 N Schleife uber alle Spalten r sqrt xk i1 xk i2 2 Bestimmung des Radius A i1 i2 coreFunction r Funktionswert der Matrix A i2 i1 A i1 i2 end end lam A fk Losung des GleichungssystemsPositive Definitheit BearbeitenEine radiale Basisfunktion f R d 0 displaystyle varphi colon mathbb R d to 0 infty nbsp ist positiv definit wenn fur alle endlichen Mengen X x 1 x 2 x m displaystyle X x 1 x 2 ldots x m nbsp aus endlich vielen Punkten x 1 x 2 x m R d displaystyle x 1 x 2 ldots x m in mathbb R d nbsp die symmetrischen Matrizen A X f x j x k 2 1 j k m displaystyle A X varphi x j x k 2 1 leq j k leq m nbsp positiv definit sind 2 Anwendungen BearbeitenApproximationsmethoden dieser Art werden zur Modellierung nichtlinearer Systeme mit ausreichend einfachem chaotischem Verhalten zur 3D Rekonstruktion in der Computergrafik beispielsweise hierarchische RBFs oder zur Erstellung von Antwortflachen in der Optimierung eingesetzt Weitere Anwendungsbereiche von RBFs sind das Losen von partiellen Differentialgleichungen z B mittels gitterfreier Kollokation oder Transformationen bei der Bildregistrierung Kunstliche neuronale Netze Bearbeiten Insofern ein kunstliches neuronales Netz eine zur Approximation geeignete Verfahrensart ist besonders bei hochdimensionalen Problemen stellen RBF ein spezielles Modell hierfur dar Literatur BearbeitenMartin D Buhmann Radial Basis Functions Theory and Implementations Cambridge University Press 2003 E Larsson B Fornberg A Numerical Study of some Radial Basis Function based Solution Methods for Elliptic PDEs In Computers amp Mathematics with Applications Volume 46 2003 H Wendland Scattered Data Approximation Cambridge University Press 2005Weblinks BearbeitenMartin Buhmann Janin Jager On radial basis functions Oberwolfach Snapshots 2019Einzelnachweise Bearbeiten Martin Buhmann Janin Jager On radial basis functions R Schaback Georg August Universitat Gottingen A Practical Guide to Radial Basis Functions Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Radiale Basisfunktion amp oldid 230567562