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Der Titel dieses Artikels ist mehrdeutig Fur das Produkt von statistischen Modellen siehe Produktmodell Statistik Ein Produktmodell teilweise auch Produktexperiment ist ein Begriff aus der Stochastik einem Teilbereich der Mathematik Ein Produktmodell formalisiert die Vorstellung dass ein Versuch beispielsweise ein Munzwurf beliebig oft unabhangig hintereinander ausgefuhrt werden kann In diesem Zusammenhang spricht man auch von dem Produkt von Wahrscheinlichkeitsraumen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Beispiele 3 Eigenschaften und Bemerkungen 4 Existenz 5 Verwendung 6 LiteraturDefinition BearbeitenGegeben sei eine endliche oder abzahlbar unendliche Indexmenge I displaystyle I nbsp also I 1 n displaystyle I 1 dots n nbsp oder I N displaystyle I mathbb N nbsp und fur jedes i I displaystyle i in I nbsp sei ein Wahrscheinlichkeitsraum W i A i P i displaystyle Omega i mathcal A i P i nbsp gegeben Dabei ist W i displaystyle Omega i nbsp die Ergebnismenge A i displaystyle mathcal A i nbsp das Ereignissystem eine s Algebra und P i displaystyle P i nbsp ein Wahrscheinlichkeitsmass Dann heisst der Wahrscheinlichkeitsraum i 1 I W i i 1 I A i i 1 I P i displaystyle left prod i 1 I Omega i bigotimes i 1 I mathcal A i bigotimes i 1 I P i right nbsp das Produkt der Wahrscheinlichkeitsraume W i A i P i displaystyle Omega i mathcal A i P i nbsp oder einfach ein Produktexperiment oder Produktmodell Hierbei ist i 1 I W i displaystyle prod i 1 I Omega i nbsp das kartesische Produkt der Ergebnismengen i 1 I A i displaystyle bigotimes i 1 I mathcal A i nbsp die Produkt s Algebra der s Algebren A i displaystyle mathcal A i nbsp und i 1 I P i displaystyle bigotimes i 1 I P i nbsp das Produktmass der Wahrscheinlichkeitsmasse P i displaystyle P i nbsp Beispiele BearbeitenEs sei I 1 5 displaystyle I 1 dots 5 nbsp und fur jedes i I displaystyle i in I nbsp ist W i 0 1 A i P 0 1 displaystyle Omega i 0 1 mathcal A i mathcal P 0 1 nbsp und P i 1 1 2 P i 0 displaystyle P i 1 tfrac 1 2 P i 0 nbsp Jedes der Einzelexperimente ist also ein fairer Munzwurf Das funffache Produktexperiment ist dann also das funffache unabhangige Werfen einer Munze der Produktraum ist dann 0 1 5 P 0 1 5 P displaystyle left 0 1 5 mathcal P 0 1 5 P right nbsp wobei das Wahrscheinlichkeitsmass definiert ist durch die Gleichverteilung auf W 0 1 5 displaystyle Omega 0 1 5 nbsp also P w 1 2 5 displaystyle P omega tfrac 1 2 5 nbsp fur alle w W displaystyle omega in Omega nbsp Eigenschaften und Bemerkungen BearbeitenSind die W i A i P i displaystyle Omega i mathcal A i P i nbsp alle gleich so schreibt man auch W i I A i I P i I displaystyle Omega i I mathcal A i otimes I P i otimes I nbsp fur den Produktraum Ist X i displaystyle X i nbsp die Projektion von der i displaystyle i nbsp ten Komponente des Produktraumes nach W i A i displaystyle Omega i mathcal A i nbsp so nennt man die Verteilung von X i displaystyle X i nbsp auch eine Marginalverteilung oder eine Randverteilung Existenz BearbeitenProbleme bei der Konstruktion eines allgemeinen Produktmodells bilden vor allem die Produktmasse Im Falle von endlich vielen Wiederholungen garantiert der Masserweiterungssatz von Caratheodory die Existenz Ausserdem gibt es Existenzaussagen fur abzahlbar unendliche Produkte von endlichen Wahrscheichlichkeitsraumen Erst der Satz von Andersen Jessen lost den allgemeinen Fall fur abzahlbar oder uberabzahlbar viele Produkte von Wahrscheinlichkeitsmassen Verwendung BearbeitenProduktexperimente finden vielfaltige Anwendung in der Statistik und Stochastik So bilden sie beispielsweise die Basis fur die Definition einiger Wahrscheinlichkeitsmasse die sich als Wartezeitverteilungen definieren lassen wie die geometrische Verteilung In der Statistik ermoglichen sie das Modellieren von Situationen in denen Stichproben sukzessive vergrossert werden um dadurch beispielsweise Aussagen uber die Qualitat von Schatzern treffen zu konnen Literatur BearbeitenAchim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Ulrich Krengel Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik Fur Studium Berufspraxis und Lehramt 8 Auflage Vieweg Wiesbaden 2005 ISBN 3 8348 0063 5 doi 10 1007 978 3 663 09885 0 Hans Otto Georgii Stochastik Einfuhrung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik 4 Auflage Walter de Gruyter Berlin 2009 ISBN 978 3 11 021526 7 doi 10 1515 9783110215274 Christian Hesse Angewandte Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Auflage Vieweg Wiesbaden 2003 ISBN 3 528 03183 2 doi 10 1007 978 3 663 01244 3 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Produktmodell Stochastik amp oldid 220288737