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Satz von Andersen Jessen Der ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie der sich mit der Existenz vo

Satz von Andersen-Jessen

Der Satz von Andersen-Jessen ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie, der sich mit der Existenz von Produktmaßen von beliebig vielen Wahrscheinlichkeitsmaßen beschäftigt. Im Gegensatz zu vielen anderen Existenzaussagen wie dem Satz von Ionescu-Tulcea und dem Erweiterungssatz von Kolmogorov lässt er auch Produkte von überabzählbar vielen Messräumen zu und stellt keine weiteren Forderungen an die Struktur dieser Räume. Damit liefert der Satz beispielsweise die Existenz von überabzählbaren Familien unabhängiger Zufallsvariablen und von überabzählbaren Produktmodellen. Der Satz ist nach den dänischen Mathematikern Erik Sparre Andersen und Børge Jessen benannt.

Aussage Bearbeiten

Gegeben seien eine nichtleere Indexmenge sowie Messräume und darauf definierte Wahrscheinlichkeitsmaße für alle . Bezeichne mit die Menge aller endlichen Teilmengen von und für das Produkt der Messräume als

Des Weiteren sei

die Projektion auf die Komponenten aus und das Bildmaß eines Wahrscheinlichkeitsmaßes unter der Projektion auf die Komponenten (äquivalent ist die Verteilung von ).

Der Satz besagt nun, dass es genau ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf gibt, so dass für alle immer

gilt. Die Projektionen auf endlich viele Komponenten stimmen also immer mit dem endlichen Produktmaß überein.

Geschichte Bearbeiten

Aussagen zur Existenz von unendlichen Produktmaßen wurden bereits früh bewiesen, hierin weichen die Maßtheorie und die Wahrscheinlichkeitstheorie voneinander ab. Einer der zentralen Sätze zu diesem Thema ist der Erweiterungssatz von Kolmogorov, der aber zuvor schon von Percy John Daniell in einer nicht-stochastischen Formulierung bewiesen wurde. Dieser Satz liefert die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmaßes aber nur unter der Voraussetzung, dass die beteiligten Messräume eine gewisse Struktur tragen, sie müssen borelsch sein. Dafür können die Projektionen der Wahrscheinlichkeitsmaße aber auch voneinander abhängig sein, was diesen Satz insbesondere für die Theorie der stochastischen Prozesse interessant macht.

Fordert man nur, dass die einzelnen Wahrscheinlichkeitsmaße unabhängig sind, so lässt sich die Existenz eines Maßes auf dem Produktraum für beliebige Messräume zeigen. Erste Arbeiten zu diesem Thema gehen auf Antoni Łomnicki und Stanisław Marcin Ulam sowie John von Neumann zurück.

Eine natürliche Frage ist nun, ob sich die beiden Aussagen kombinieren lassen, also ob ein Maß auf dem Produktraum existiert, dessen Projektionen auf die Komponenten nicht notwendigerweise unabhängig sind und ohne dass man noch zusätzliche Struktur auf den Messräumen fordert. Die Leistung von Erik Sparre Andersen und Børge Jessen ist, dass sie 1948 mit einem Gegenbeispiel zeigten, dass dies unmöglich ist.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2011, S. 210.
  2. Børge Jessen - Christian Berg Website des Electronic Journal for History of Probability and Statistics. Abgerufen am 15. November 2015
  3. (Memento vom 17. November 2015 im Internet Archive) Online-Version der Veröffentlichung von 1948 auf der Homepage der Syddansk Universitet. Abgerufen am 15. November 2015

Literatur Bearbeiten

  • Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. 2., durchgesehene Auflage. Springer-Verlag, Heidelberg Dordrecht London New York 2011, ISBN 978-3-642-21025-9, S. 209–217, doi:10.1007/978-3-642-21026-6.
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Der Satz von Andersen Jessen ist ein mathematischer Satz aus der Wahrscheinlichkeitstheorie der sich mit der Existenz von Produktmassen von beliebig vielen Wahrscheinlichkeitsmassen beschaftigt Im Gegensatz zu vielen anderen Existenzaussagen wie dem Satz von Ionescu Tulcea und dem Erweiterungssatz von Kolmogorov lasst er auch Produkte von uberabzahlbar vielen Messraumen zu und stellt keine weiteren Forderungen an die Struktur dieser Raume Damit liefert der Satz beispielsweise die Existenz von uberabzahlbaren Familien unabhangiger Zufallsvariablen und von uberabzahlbaren Produktmodellen Der Satz ist nach den danischen Mathematikern Erik Sparre Andersen und Borge Jessen benannt Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Geschichte 3 Einzelnachweise 4 LiteraturAussage BearbeitenGegeben seien eine nichtleere Indexmenge I displaystyle I nbsp sowie Messraume W i A i displaystyle Omega i mathcal A i nbsp und darauf definierte Wahrscheinlichkeitsmasse P i displaystyle P i nbsp fur alle i I displaystyle i in I nbsp Bezeichne mit E I displaystyle mathcal E I nbsp die Menge aller endlichen Teilmengen von I displaystyle I nbsp und fur K I displaystyle K subset I nbsp das Produkt der Messraume als W K A K i K W i i K A i displaystyle Omega K mathcal A K left prod i in K Omega i bigotimes i in K A i right nbsp Des Weiteren sei p J W I W J definiert durch p w w J displaystyle pi J Omega I to Omega J text definiert durch pi omega omega J nbsp die Projektion auf die Komponenten aus J displaystyle J nbsp und Q p J Q p J 1 displaystyle Q pi J Q circ pi J 1 nbsp das Bildmass eines Wahrscheinlichkeitsmasses Q displaystyle Q nbsp unter der Projektion auf die Komponenten aquivalent ist Q p J displaystyle Q pi J nbsp die Verteilung von p J displaystyle pi J nbsp Der Satz besagt nun 1 dass es genau ein Wahrscheinlichkeitsmass P displaystyle P nbsp auf W I A I displaystyle Omega I mathcal A I nbsp gibt so dass fur alle J E I displaystyle J in mathcal E I nbsp immer P p J i J P i displaystyle P pi J bigotimes i in J P i nbsp gilt Die Projektionen auf endlich viele Komponenten stimmen also immer mit dem endlichen Produktmass uberein Geschichte BearbeitenAussagen zur Existenz von unendlichen Produktmassen wurden bereits fruh bewiesen hierin weichen die Masstheorie und die Wahrscheinlichkeitstheorie voneinander ab Einer der zentralen Satze zu diesem Thema ist der Erweiterungssatz von Kolmogorov der aber zuvor schon von Percy John Daniell in einer nicht stochastischen Formulierung bewiesen wurde Dieser Satz liefert die Existenz eines Wahrscheinlichkeitsmasses aber nur unter der Voraussetzung dass die beteiligten Messraume eine gewisse Struktur tragen sie mussen borelsch sein Dafur konnen die Projektionen der Wahrscheinlichkeitsmasse aber auch voneinander abhangig sein was diesen Satz insbesondere fur die Theorie der stochastischen Prozesse interessant macht Fordert man nur dass die einzelnen Wahrscheinlichkeitsmasse unabhangig sind so lasst sich die Existenz eines Masses auf dem Produktraum fur beliebige Messraume zeigen Erste Arbeiten zu diesem Thema gehen auf Antoni Lomnicki und Stanislaw Marcin Ulam sowie John von Neumann zuruck Eine naturliche Frage ist nun ob sich die beiden Aussagen kombinieren lassen also ob ein Mass auf dem Produktraum existiert dessen Projektionen auf die Komponenten nicht notwendigerweise unabhangig sind und ohne dass man noch zusatzliche Struktur auf den Messraumen fordert Die Leistung von Erik Sparre Andersen und Borge Jessen ist dass sie 1948 mit einem Gegenbeispiel zeigten dass dies unmoglich ist 2 3 Einzelnachweise Bearbeiten Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2011 S 210 Borge Jessen Christian Berg Website des Electronic Journal for History of Probability and Statistics Abgerufen am 15 November 2015 On the introduction of product measures on infinite sets Erik Sparre Andersen Borge Jessen Memento vom 17 November 2015 im Internet Archive Online Version der Veroffentlichung von 1948 auf der Homepage der Syddansk Universitet Abgerufen am 15 November 2015Literatur BearbeitenKlaus D Schmidt Mass und Wahrscheinlichkeit 2 durchgesehene Auflage Springer Verlag Heidelberg Dordrecht London New York 2011 ISBN 978 3 642 21025 9 S 209 217 doi 10 1007 978 3 642 21026 6 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Satz von Andersen Jessen amp oldid 234452765