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Multiskalenanalyse Die MRA englisch multiresolution analysis oder approximation MSA englisch multiscale approximation de

Multiskalenanalyse

Die Multiskalenanalyse (MRA, englisch: multiresolution analysis) oder -approximation (MSA, englisch: multiscale approximation) des Funktionenraums ist eine funktionalanalytische Grundkonstruktion der Wavelet-Theorie, welche die Approximationseigenschaften der diskreten Wavelet-Transformation beschreibt. Insbesondere erklärt sie die Möglichkeit und Funktionsweise des Algorithmus der schnellen Wavelet-Transformation.

Definition Bearbeiten

Eine Multiskalenanalyse des Raums L²(R) besteht aus einer Folge geschachtelter Unterräume

welche sowohl Selbstähnlichkeitbedingungen in Zeit/Raum und Skala/Frequenz als auch Vollständigkeits- und Regularitätsbedingungen erfüllt.

  • Selbstähnlichkeit in der Zeit verlangt, dass jeder Unterraum invariant ist unter Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von . Dies heißt, für jede Funktion gibt es eine Funktion mit .
  • Selbstähnlichkeit zwischen verschiedenen Skalen verlangt, dass alle Unterräume zeitskalierte Kopien voneinander sind, wobei der Skalierungs- bzw. Streckungsfaktor beträgt. Dies heißt, für jede Funktion gibt es eine Funktion mit . Hat beispielsweise einen beschränkten Träger, so ist der Träger von um den Faktor zusammengestaucht. Mit anderen Worten, die Auflösung (im Sinne von Punkten auf einem Bildschirm) des l-ten Unterraums ist höher als die Auflösung des k-ten Unterraums.
  • Regularität verlangt, dass der Modell-Unterraum die lineare Hülle (algebraisch oder gar topologisch abgeschlossen) der ganzzahligen Verschiebungen einer oder endlich vieler erzeugender Funktionen oder ist. Diese ganzzahligen Verschiebungen sollten zumindest eine Riesz-Basis, besser aber eine Hilbert-Basis des Unterraums bilden, woraus ein schneller Abfall im Unendlichen der erzeugenden Funktionen folgt. Letzteres ist für Funktionen mit kompaktem Träger trivialerweise erfüllt. Die erzeugenden Funktionen werden Skalierungsfunktionen oder Vaterwavelets genannt. Oft werden sie als (stückweise) stetige Funktionen mit kompaktem Träger konstruiert.
  • Vollständigkeit verlangt, dass diese geschachtelten Unterräume den gesamten Raum ausfüllen, das heißt, ihre Vereinigung soll dicht in sein; weiterhin, dass sie nicht redundant sind, das heißt, ihr Durchschnitt darf nur das Nullelement enthalten.

Skalierungsfunktion Bearbeiten

Im praktisch wichtigsten Falle, dass es nur eine Skalierungsfunktion mit kompaktem Träger in der MRA gibt und diese eine Hilbert-Basis im Unterraum erzeugt, erfüllt diese eine Zwei-Skalen-Gleichung (in der engl. Literatur: refinement equation)

Die dort auftretende Zahlenfolge heißt Skalierungsfolge oder -maske und muss ein diskreter Tiefpassfilter sein, was in diesem Falle bedeutet, dass

erfüllt ist, bzw. dass die Fourierreihe

im Nullpunkt den Wert 1 und an der Stelle eine Nullstelle hat, .

Es ist eine Grundaufgabe des Wavelet-Designs, Bedingungen an festzustellen, unter denen gewünschte Eigenschaften von , wie Stetigkeit, Differenzierbarkeit etc. folgen. Soll orthogonal, d. h. senkrecht zu allen ganzzahligen Verschiebungen von sich selbst sein, so muss

für gelten, mittels der Fourierreihe lautet die Bedingung .

Üblicherweise werden diese Folgen als Koeffizientenfolgen eines Laurent-Polynoms angegeben, das heißt . Die Normierung schreibt sich damit als , die Tiefpasseigenschaft als oder für ein , die Orthogonalitätsbedingung als .

Beispiele

Geschachtelte Unterräume Bearbeiten

Sei eine orthogonale Skalierungsfunktion. Dann kann ein affines Funktionensystem und eine Folge von Skalierungsunterräumen definiert werden. Damit gilt dann und ist eine orthonormale Basis von .

Mit einem beliebigen ungeradem kann nun die Wavelet-Folge definiert werden, wobei . Damit definiert sich das Wavelet als

und die Waveletunterräume als

Mit diesen ergibt sich eine als Fischgräte bekannte orthogonale Zerlegung der Skalierungsräume

und allgemein

Die grundlegende analytische Forderung an eine MRA ist, dass die Wavelet-Unterräume den voll ausschöpfen, das heißt soll ein dichter Unterraum von sein.

Literatur Bearbeiten

  • Alfred Louis, Peter Maaß, Andreas Rieder: Wavelets: Theorie und Anwendungen. 2. Auflage. Teubner, 1998, ISBN 3-519-12094-1.
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Die Multiskalenanalyse MRA englisch multiresolution analysis oder approximation MSA englisch multiscale approximation des Funktionenraums L 2 R displaystyle L 2 mathbb R ist eine funktionalanalytische Grundkonstruktion der Wavelet Theorie welche die Approximationseigenschaften der diskreten Wavelet Transformation beschreibt Insbesondere erklart sie die Moglichkeit und Funktionsweise des Algorithmus der schnellen Wavelet Transformation Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Skalierungsfunktion 2 1 Geschachtelte Unterraume 3 LiteraturDefinition BearbeitenEine Multiskalenanalyse des Raums L R besteht aus einer Folge geschachtelter Unterraume 0 V 2 V 1 V 0 V 1 V 2 V n L 2 R displaystyle 0 subset dots subset V 2 subset V 1 subset V 0 subset V 1 subset V 2 subset dots V n subset dots subset L 2 mathbb R nbsp welche sowohl Selbstahnlichkeitbedingungen in Zeit Raum und Skala Frequenz als auch Vollstandigkeits und Regularitatsbedingungen erfullt Selbstahnlichkeit in der Zeit verlangt dass jeder Unterraum V k displaystyle V k nbsp invariant ist unter Verschiebungen um ganzzahlige Vielfache von 2 k displaystyle 2 k nbsp Dies heisst fur jede Funktion f V k m Z displaystyle f in V k m in mathbb Z nbsp gibt es eine Funktion g V k displaystyle g in V k nbsp mit f x g x m 2 k displaystyle f x g x m2 k nbsp Selbstahnlichkeit zwischen verschiedenen Skalen verlangt dass alle Unterraume V k V l k gt l displaystyle V k subset V l k gt l nbsp zeitskalierte Kopien voneinander sind wobei der Skalierungs bzw Streckungsfaktor 2 k l displaystyle 2 k l nbsp betragt Dies heisst fur jede Funktion f V k displaystyle f in V k nbsp gibt es eine Funktion g V l displaystyle g in V l nbsp mit g x f 2 k l x displaystyle g x f 2 k l x nbsp Hat beispielsweise f textstyle f nbsp einen beschrankten Trager so ist der Trager von g textstyle g nbsp um den Faktor 2 k l displaystyle 2 k l nbsp zusammengestaucht Mit anderen Worten die Auflosung im Sinne von Punkten auf einem Bildschirm des l ten Unterraums ist hoher als die Auflosung des k ten Unterraums Regularitat verlangt dass der Modell Unterraum V 0 displaystyle V 0 nbsp die lineare Hulle algebraisch oder gar topologisch abgeschlossen der ganzzahligen Verschiebungen einer oder endlich vieler erzeugender Funktionen f displaystyle varphi nbsp oder f 1 f r displaystyle varphi 1 dots varphi r nbsp ist Diese ganzzahligen Verschiebungen sollten zumindest eine Riesz Basis besser aber eine Hilbert Basis des Unterraums V 0 L 2 R displaystyle V 0 subset L 2 mathbb R nbsp bilden woraus ein schneller Abfall im Unendlichen der erzeugenden Funktionen folgt Letzteres ist fur Funktionen mit kompaktem Trager trivialerweise erfullt Die erzeugenden Funktionen werden Skalierungsfunktionen oder Vaterwavelets genannt Oft werden sie als stuckweise stetige Funktionen mit kompaktem Trager konstruiert Vollstandigkeit verlangt dass diese geschachtelten Unterraume den gesamten Raum ausfullen das heisst ihre Vereinigung k Z V k displaystyle textstyle bigcup k in mathbb Z V k nbsp soll dicht in L 2 R displaystyle L 2 mathbb R nbsp sein weiterhin dass sie nicht redundant sind das heisst ihr Durchschnitt k Z V k displaystyle textstyle bigcap k in mathbb Z V k nbsp darf nur das Nullelement enthalten Skalierungsfunktion BearbeitenIm praktisch wichtigsten Falle dass es nur eine Skalierungsfunktion f displaystyle varphi nbsp mit kompaktem Trager in der MRA gibt und diese eine Hilbert Basis im Unterraum V 0 displaystyle V 0 nbsp erzeugt erfullt diese eine Zwei Skalen Gleichung in der engl Literatur refinement equation f x n N N a n f 2 x n displaystyle varphi x sum n N N a n cdot varphi 2x n nbsp Die dort auftretende Zahlenfolge a 0 a N a N 0 displaystyle a dots 0 a N dots a N 0 dots nbsp heisst Skalierungsfolge oder maske und muss ein diskreter Tiefpassfilter sein was in diesem Falle bedeutet dass n N N a n 2 displaystyle sum n N N a n 2 nbsp und n N N 1 n a n 0 displaystyle sum n N N 1 n a n 0 nbsp erfullt ist bzw dass die Fourierreihe a w 1 2 k N N a k e i w k displaystyle hat a omega frac 1 2 sum k N N a k e i omega k nbsp im Nullpunkt den Wert 1 und an der Stelle p displaystyle pi nbsp eine Nullstelle hat a p 0 displaystyle hat a pi 0 nbsp Es ist eine Grundaufgabe des Wavelet Designs Bedingungen an a displaystyle a nbsp festzustellen unter denen gewunschte Eigenschaften von f displaystyle varphi nbsp wie Stetigkeit Differenzierbarkeit etc folgen Soll f displaystyle varphi nbsp orthogonal d h senkrecht zu allen ganzzahligen Verschiebungen von sich selbst sein so muss n N N a n 2 2 displaystyle sum n N N a n 2 2 nbsp und n N N a n a n 2 m 0 displaystyle sum n N N a n a n 2m 0 nbsp fur 0 m Z displaystyle 0 neq m in mathbb Z nbsp gelten mittels der Fourierreihe lautet die Bedingung a w 2 a w p 2 1 displaystyle hat a omega 2 hat a omega pi 2 equiv 1 nbsp Ublicherweise werden diese Folgen als Koeffizientenfolgen eines Laurent Polynoms a Z n N N a n Z n displaystyle textstyle a Z sum n N N a n Z n nbsp angegeben das heisst a w a e i w displaystyle hat a omega a e i omega nbsp Die Normierung schreibt sich damit als a 1 2 displaystyle a 1 2 nbsp die Tiefpasseigenschaft als a 1 0 displaystyle a 1 0 nbsp oder a Z 1 Z A p Z displaystyle a Z 1 Z A p Z nbsp fur ein 0 lt A N displaystyle 0 lt A in mathbb N nbsp die Orthogonalitatsbedingung als a Z a Z 1 a Z a Z 1 4 displaystyle a Z a Z 1 a Z a Z 1 4 nbsp Beispiele Das Haar Wavelet hat eine Skalierungsmaske a Z 1 Z displaystyle a Z 1 Z nbsp Das Wavelet mit Ordnung A 2 displaystyle A 2 nbsp der Daubechies Familie hat die Skalierungsmaskea Z 1 4 1 Z 2 1 Z 3 1 Z displaystyle a Z frac 1 4 1 Z 2 left 1 Z sqrt 3 1 Z right nbsp dd Geschachtelte Unterraume Bearbeiten Sei f displaystyle varphi nbsp eine orthogonale Skalierungsfunktion Dann kann ein affines Funktionensystem f j k x 2 j 2 f 2 j x k displaystyle varphi j k x 2 j 2 varphi 2 j x k nbsp und eine Folge von Skalierungsunterraumen V j span f j k k Z displaystyle V j operatorname span varphi j k k in mathbb Z nbsp definiert werden Damit gilt dann V j 1 V j displaystyle V j 1 subset V j nbsp und f j k k Z displaystyle varphi j k k in mathbb Z nbsp ist eine orthonormale Basis von V j displaystyle V j nbsp Mit einem beliebigen ungeradem K Z displaystyle K in mathbb Z nbsp kann nun die Wavelet Folge b b 1 b 0 b 1 displaystyle b dots b 1 b 0 b 1 dots nbsp definiert werden wobei b n 1 n a K n displaystyle b n 1 n a K n nbsp Damit definiert sich das Wavelet als ps x n K N K N b n f 2 x n displaystyle psi x sum n K N K N b n cdot varphi 2x n nbsp und die Waveletunterraume als W j span ps j k x 2 j 2 ps 2 j x k k Z displaystyle W j operatorname span left psi j k x 2 j 2 psi 2 j x k k in mathbb Z right nbsp Mit diesen ergibt sich eine als Fischgrate bekannte orthogonale Zerlegung der Skalierungsraume V 0 W 1 V 1 W 1 W 2 V 2 displaystyle V 0 W 1 oplus V 1 W 1 oplus W 2 oplus V 2 dots nbsp und allgemein V J W J 1 W M V M displaystyle V J W J 1 oplus dots oplus W M oplus V M nbsp bei J lt M displaystyle J lt M nbsp Die grundlegende analytische Forderung an eine MRA ist dass die Wavelet Unterraume den L 2 R displaystyle L 2 mathbb R nbsp voll ausschopfen das heisst n W n displaystyle textstyle bigoplus n infty infty W n nbsp soll ein dichter Unterraum von L 2 R displaystyle L 2 mathbb R nbsp sein Literatur BearbeitenAlfred Louis Peter Maass Andreas Rieder Wavelets Theorie und Anwendungen 2 Auflage Teubner 1998 ISBN 3 519 12094 1 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Multiskalenanalyse amp oldid 225591059