Das Lemma von Lax-Milgram, auch Satz von Lax-Milgram, ist eine Aussage der Funktionalanalysis, einem Teilgebiet der Mathematik, die nach Peter Lax und Arthur Milgram benannt ist. Diese beiden Mathematiker bewiesen 1954 eine erste Version dieses Lemmas, welches die Aussage des Darstellungssatzes von Fréchet-Riesz auf stetige Sesquilinearformen verallgemeinert. Eine allgemeinere Version des Lemmas wurde von Ivo Babuška bewiesen, weshalb diese Aussage auch als Satz von Babuška–Lax–Milgram bekannt ist. Anwendung finden diese Aussagen in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Mit ihrer Hilfe können Existenz- und Eindeutigkeitsaussagen über Lösungen von partiellen Differentialgleichungen gemacht werden.
Formulierung Bearbeiten
Voraussetzungen Bearbeiten
Es sei ein Hilbertraum über und es sei eine Sesquilinearform. Zudem gelte eine der folgenden, äquivalenten Bedingungen:
- ist stetig
- Es gibt eine Konstante mit
- ist stetig für alle und ist stetig für alle
Aussage Bearbeiten
Sind die obigen Voraussetzungen erfüllt, dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator , der die Gleichung
für alle erfüllt. Ferner gilt: Die Norm von ist durch beschränkt.
Spezialfall: Koerzitive Sesquilinearform Bearbeiten
Ist die Sesquilinearform zudem koerzitiv (häufig auch als stark positiv oder elliptisch bezeichnet), d. h. gibt es , so dass
gilt, dann ist invertierbar mit .
Anwendung auf elliptische Differentialgleichungen Bearbeiten
Zur Anwendung kommt das Lemma von Lax-Milgram in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Insbesondere lassen sich für lineare Differentialgleichungen Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung zeigen, falls obige Bedingungen erfüllt sind. Dies wird nun am Beispiel einer gleichmäßig elliptischen Differentialgleichung zweiter Ordnung illustriert.
Sei
ein gleichmäßig elliptischer Differentialoperator zweiter Ordnung. Das heißt, es gilt für , mit und es existiert ein , so dass das Hauptsymbol für alle und alle die Ungleichung
erfüllt. Mit Hilfe des Lemmas von Lax-Milgram kann man nun zeigen, dass die schwache Formulierung des Dirichlet-Randproblems
genau eine Lösung im Sobolev-Raum für und besitzt. Das heißt, man betrachtet für alle Testfunktionen die Gleichung
Partielle Integration der rechten Seite der Gleichung liefert
Setzt man nun
so erhält man eine reellwertige Bilinearform, deren Stetigkeit man mit Hilfe der Hölder-Ungleichung zeigen kann. Die Form ist auch koerzitiv, was aus der Bedingung folgt. Daher erfüllt die Bilinearform die Voraussetzungen des Lemmas von Lax-Milgram. Man sucht nun also eine Lösung der Gleichung
wobei
Da der Ausdruck linear und stetig ist, also ein Element des Dualraums ist, kann man den Darstellungssatz von Fréchet-Riesz anwenden und erhält genau ein , so dass für alle gilt. Und aufgrund des Lemmas von Lax-Milgram hat die Gleichung
für alle genau eine Lösung .
Auf ähnliche Weise kann man auch die Existenz und Eindeutigkeit bei Neumann-Randbedingungen zeigen.
Satz von Babuška–Lax–Milgram Bearbeiten
Eine Verallgemeinerung des Lemmas von Lax-Milgram ist der Satz von Babuška–Lax–Milgram. Diese wurde 1971 von Ivo Babuška bewiesen.
Seien und zwei Hilberträume und sei eine stetige Bilinearform. Sei außerdem schwach koerzitiv, das heißt, es existiert ein , so dass
und
gilt. Dann existiert genau ein stetiger, linearer Operator , der die Gleichung
für alle und erfüllt und für die Operatornorm gilt die Ungleichung . Mit anderen Worten existiert genau eine Lösung für Gleichungen .
Literatur Bearbeiten
- Hans Wilhelm Alt: Lineare Funktionalanalysis. 5. Auflage. Springer, Berlin, Heidelberg, New York 2006, ISBN 978-3-540-34186-4.
- I. Roşca: Lax–Milgram lemma. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
- I. Roşca: Babuška–Lax–Milgram theorem. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org).
Weblinks Bearbeiten
- François Clément, Vincent Martin: The Lax–Milgram Theorem. A detailed proof to be formalized in Coq. (pdf) Juli 2016 (englisch).