Die Lagrangesche Inversionsformel in der Mathematik entwickelt zu einer gegebenen analytischen Funktion die Potenzreihe der Umkehrfunktion Inhaltsverzeichnis 1 Aussage 2 Taylorreihe 3 Explizite Formel 4 Formel von Lagrange Burmann 5 Anwendungen 5 1 Die Lambertsche W Funktion 5 2 Binarbaume 6 Anmerkungen 7 Einzelnachweise 8 Siehe auch 9 WeblinksAussage BearbeitenGegeben sei eine Gleichung z f w displaystyle z f w nbsp mit einer am Punkt a displaystyle a nbsp analytischen Funktion f displaystyle f nbsp und f a 0 displaystyle f prime a neq 0 nbsp Dann ist es moglich f displaystyle f nbsp zu invertieren also die Gleichung nach w displaystyle w nbsp in Form einer formalen Potenzreihe w g z displaystyle w g z nbsp aufzulosen 1 g z a n 1 g n z f a n n displaystyle g z a sum n 1 infty g n frac z f a n n nbsp mit g n lim w a d n 1 d w n 1 w a f w f a n displaystyle g n lim w to a left frac d n 1 dw n 1 left frac w a f w f a right n right nbsp Die Potenzreihe g z displaystyle g z nbsp hat einen von 0 verschiedenen Konvergenzradius d h sie ist eine analytische Funktion in einer Umgebung des Punktes z f a displaystyle z f a nbsp Die Formel invertiert f displaystyle f nbsp als formale Potenzreihe in z displaystyle z nbsp Sie kann zu einer Formel fur H g z displaystyle H g z nbsp mit einer beliebigen formalen Potenzreihe H displaystyle H nbsp erweitert und in vielen Fallen mit f a 0 displaystyle f prime a 0 nbsp dann eine mehrwertige Funktion verallgemeinert werden Der Satz wurde von Lagrange 2 bewiesen und von Hans Heinrich Burmann 3 4 5 verallgemeinert beides im spaten 18 Jahrhundert Es gibt Weiterentwicklungen in Richtung komplexe Analysis und Kurvenintegrale 6 Taylorreihe BearbeitenDie obige Formel gibt fur eine formale Potenzreihe f displaystyle f nbsp nicht direkt die Koeffizienten der formalen Umkehrfunktion g displaystyle g nbsp ausgedruckt in den Koeffizienten von f displaystyle f nbsp Kann man die Funktionen f displaystyle f nbsp und g displaystyle g nbsp als formale Potenzreihe f w k 0 b k w k k u n d g z k 0 c k z k k displaystyle f w sum k 0 infty b k frac w k k qquad mathrm und qquad g z sum k 0 infty c k frac z k k nbsp mit b 0 0 displaystyle b 0 0 nbsp und b 1 0 displaystyle b 1 neq 0 nbsp ausdrucken dann konnen die Koeffizienten der Inversen g displaystyle g nbsp mithilfe von Bell Polynomen angegeben werden 7 c n 1 b 1 n k 1 n 1 1 k n k B n 1 k a 1 a 2 a n k n 2 displaystyle c n frac 1 b 1 n sum k 1 n 1 1 k n k B n 1 k a 1 a 2 ldots a n k qquad n geq 2 nbsp mit a k b k 1 k 1 b 1 displaystyle a k frac b k 1 k 1 b 1 nbsp c 1 1 b 1 displaystyle c 1 frac 1 b 1 nbsp und n k n n 1 n k 1 displaystyle n k n n 1 cdots n k 1 nbsp als steigender Faktorielle Explizite Formel BearbeitenDie folgende explizite Formel gilt nicht nur fur analytische Funktionen uber R displaystyle mathbb R nbsp oder C displaystyle mathbb C nbsp sondern fur alle formalen Potenzreihen uber einem Ring R displaystyle R nbsp mit Eins Anm 1 Ist namlich A X k 1 a k X k R X displaystyle A X sum k 1 infty a k X k in R X nbsp eine formale Potenzreihe dann hat A displaystyle A nbsp genau dann eine formale Umkehrfunktion ein formales kompositionelles Inverses B X n 1 b n X n R X displaystyle B X sum n 1 infty b n X n in R X nbsp wenn der Koeffizient a 1 A 0 displaystyle a 1 A prime 0 nbsp invertierbar eine Einheit in R displaystyle R nbsp ist Der einfacheren Rechnung halber substituieren wir X displaystyle X nbsp durch a 1 1 Y displaystyle a 1 1 Y nbsp und schreiben C Y A a 1 1 Y Y k 2 c k Y k displaystyle C Y A a 1 1 Y Y sum k 2 infty c k Y k nbsp mit c k a 1 k a k displaystyle c k a 1 k a k nbsp fur k 2 displaystyle k geq 2 nbsp Die zugehorige formale Umkehrfunktion sei D Y Y n 2 d n Y n displaystyle D Y Y sum n 2 infty d n Y n nbsp so dass C D Y D Y k 2 c k D Y k Y displaystyle C bigl D Y bigr D Y sum k 2 infty c k bigl D Y bigr k Y nbsp ist Die Koeffizienten von D displaystyle D nbsp lassen sich durch Koeffizientenvergleich in der Gleichung D Y Y k 2 c k D Y k displaystyle D Y Y sum k 2 infty c k bigl D Y bigr k nbsp fur n 2 displaystyle n geq 2 nbsp sofort zu d n Y n k 2 c k D Y k displaystyle begin array llll d n amp left Y n right amp displaystyle sum k 2 infty c k bigl D Y bigr k end array nbsp Y n c 2 1 Y 1 d 2 Y 2 d n 1 Y n 1 2 c 3 1 Y 1 d n 2 Y n 2 3 c n 1 1 Y 1 d 2 Y 2 n 1 c n 1 Y 1 n RF displaystyle left begin array llllrr amp left Y n right amp Bigl amp c 2 1 Y 1 amp d 2 Y 2 amp dotsb amp d n 1 Y n 1 2 amp amp amp c 3 amp 1 Y 1 amp dotsb amp d n 2 Y n 2 3 amp amp vdots amp amp amp c n 1 amp amp 1 Y 1 amp d 2 Y 2 n 1 amp amp amp c n amp amp amp 1 Y 1 n amp amp Bigr end array qquad qquad right rbrace text RF nbsp ausrechnen mit dem Operator Y n displaystyle left Y n right nbsp fur Koeffizientenextraktion Da die Formel RF displaystyle text RF nbsp auf ihrer rechten Seite nur Koeffizienten d j displaystyle d j nbsp mit Indizes j lt n displaystyle j lt n nbsp enthalt stellt sie eine rekursive Spezifikation der d n n 2 displaystyle d n n geq 2 nbsp dar Bemerkung Da die Formel RF displaystyle text RF nbsp nur Ringoperationen nur Additionen und Multiplikationen und keine Division enthalt sind die Koeffizienten d n displaystyle d n nbsp ganzzahlige Polynome in den c k displaystyle c k nbsp das hat zur Folge dass RF displaystyle text RF nbsp uber allen kommutativen unitaren Ringen unabhangig von der Charakteristik und also gewissermassen universell gultig ist Eine Herleitung der expliziten Auflosung d n displaystyle d n nbsp displaystyle nbsp 1 i 2 i 3 displaystyle sum 1 i 2 i 3 cdots nbsp n 1 i 2 i 3 n i 2 i 3 displaystyle frac n 1 i 2 i 3 cdots n i 2 i 3 cdots nbsp c 2 i 2 c 3 i 3 displaystyle c 2 i 2 c 3 i 3 cdots nbsp displaystyle nbsp 1 n 2 i n displaystyle sum 1 sum nu 2 infty i nu nbsp n 1 n 2 i n n n 2 i n displaystyle frac n 1 sum nu 2 infty i nu n quad prod nu 2 infty i nu nbsp n 2 c n i n displaystyle prod nu 2 infty c nu i nu nbsp bei der uber alle Kombinationen i 2 i 3 N 0 displaystyle i 2 i 3 ldots in mathbb N 0 nbsp mit 1 i 2 2 i 3 n 2 n 1 i n n 1 displaystyle 1 i 2 2 i 3 cdots textstyle sum nu 2 infty nu 1 i nu n 1 nbsp Anm 2 zu summieren ist findet sich bei Morse und Feshbach 8 Die ersten paar Koeffizienten von D displaystyle D nbsp sind d 1 displaystyle d 1 nbsp 1 displaystyle 1 nbsp d 2 displaystyle d 2 nbsp c 2 displaystyle c 2 nbsp d 3 displaystyle d 3 nbsp c 3 displaystyle c 3 nbsp 2 c 2 2 displaystyle 2 c 2 2 nbsp 2 1 0 3 1 0 c 3 1 c 2 0 2 0 2 3 0 2 c 3 0 c 2 2 displaystyle tfrac 2 1 0 3 1 0 c 3 1 c 2 0 tfrac 2 0 2 3 0 2 c 3 0 c 2 2 nbsp Anm 3 d 4 displaystyle d 4 nbsp c 4 displaystyle c 4 nbsp 5 c 3 c 2 displaystyle 5 c 3 c 2 nbsp 5 c 2 3 displaystyle 5 c 2 3 nbsp 3 1 0 0 4 1 0 0 c 4 1 c 3 0 c 2 0 3 0 1 1 4 0 1 1 c 4 0 c 3 1 c 2 1 3 0 0 3 4 0 0 3 c 4 0 c 3 0 c 2 3 displaystyle tfrac 3 1 0 0 4 1 0 0 c 4 1 c 3 0 c 2 0 tfrac 3 0 1 1 4 0 1 1 c 4 0 c 3 1 c 2 1 tfrac 3 0 0 3 4 0 0 3 c 4 0 c 3 0 c 2 3 nbsp Anm 3 d 5 displaystyle d 5 nbsp c 5 displaystyle c 5 nbsp 6 c 4 c 2 displaystyle 6 c 4 c 2 nbsp 3 c 3 2 displaystyle 3 c 3 2 nbsp 21 c 3 c 2 2 displaystyle 21 c 3 c 2 2 nbsp 14 c 2 4 displaystyle 14 c 2 4 nbsp d 6 displaystyle d 6 nbsp c 6 displaystyle c 6 nbsp 7 c 5 c 2 displaystyle 7 c 5 c 2 nbsp 7 c 4 c 3 displaystyle 7 c 4 c 3 nbsp 28 c 4 c 2 2 displaystyle 28 c 4 c 2 2 nbsp 28 c 3 2 c 2 displaystyle 28 c 3 2 c 2 nbsp 84 c 3 c 2 3 displaystyle 84 c 3 c 2 3 nbsp 42 c 2 5 displaystyle 42 c 2 5 nbsp d 7 displaystyle d 7 nbsp c 7 displaystyle c 7 nbsp 8 c 6 c 2 displaystyle 8 c 6 c 2 nbsp 8 c 5 c 3 displaystyle 8 c 5 c 3 nbsp 36 c 5 c 2 2 displaystyle 36 c 5 c 2 2 nbsp 4 c 4 2 displaystyle 4 c 4 2 nbsp 72 c 4 c 3 c 2 displaystyle 72 c 4 c 3 c 2 nbsp 120 c 4 c 2 3 displaystyle 120 c 4 c 2 3 nbsp 12 c 3 3 displaystyle 12 c 3 3 nbsp 180 c 3 2 c 2 2 displaystyle 180 c 3 2 c 2 2 nbsp 330 c 3 c 2 4 displaystyle 330 c 3 c 2 4 nbsp 132 c 2 6 displaystyle 132 c 2 6 nbsp Die Monome sind hier in den Zeilen lexikographisch absteigend geordnet d h c 3 2 c 3 c 3 displaystyle c 3 2 c 3 c 3 nbsp kommt vor c 3 c 2 displaystyle c 3 c 2 nbsp kommt vor c 3 displaystyle c 3 nbsp kommt vor c 2 2 displaystyle c 2 2 nbsp Die ganzzahligen Koeffizienten dieser Polynome sind in dieser Anordnung zusammengestellt in der Folge A304462 in OEIS Die Folge A000041 in OEIS enthalt die Anzahl der Monome in der n displaystyle n nbsp ten Zeile Anzahl der Partitionen einer n displaystyle n nbsp elementigen Menge Mit der Substitution D X a 1 B X displaystyle D X a 1 B X nbsp ergibt sich X C D X A a 1 1 D X A B X displaystyle X C bigl D X bigr A bigl a 1 1 D X bigr A bigl B X bigr nbsp so dass B X a 1 1 D X displaystyle B X a 1 1 D X nbsp die gesuchte Umkehrfunktion von A X displaystyle A X nbsp ist Sie hat die Koeffizienten b k a 1 1 d k displaystyle b k a 1 1 d k nbsp die allesamt ganzzahlige Polynome in a 1 1 displaystyle a 1 1 nbsp und den a n displaystyle a n nbsp n 2 displaystyle n geq 2 nbsp sind Formel von Lagrange Burmann BearbeitenEin Sonderfall der Lagrangeschen Inversionsformel die in der Kombinatorik benutzt wird gilt fur f w w ϕ w displaystyle f w w phi w nbsp mit analytischem ϕ w displaystyle phi w nbsp und ϕ 0 0 displaystyle phi 0 neq 0 nbsp Durch die Setzung a 0 displaystyle a 0 nbsp wird f a f 0 0 displaystyle f a f 0 0 nbsp Dann ist fur die Inverse g z f 1 z displaystyle g z f 1 z nbsp g z n 1 lim w 0 d n 1 d w n 1 w w ϕ w n z n n n 1 1 n 1 n 1 lim w 0 d n 1 d w n 1 ϕ w n z n displaystyle begin aligned g z amp sum n 1 infty left lim w to 0 left frac operatorname d n 1 operatorname d w n 1 left frac w w phi w right n right frac z n n right amp sum n 1 infty frac 1 n left frac 1 n 1 lim w to 0 left frac operatorname d n 1 operatorname d w n 1 phi w n right right z n end aligned nbsp welches auch als z n g z 1 n w n 1 ϕ w n displaystyle z n g z frac 1 n w n 1 phi w n nbsp geschrieben werden kann mit dem Operator w r displaystyle w r nbsp der den Koeffizienten des Terms w r displaystyle w r nbsp in der rechts davon stehenden formalen Potenzreihe in w displaystyle w nbsp extrahiert Eine nutzliche Verallgemeinerung ist bekannt als Formel von Lagrange Burmann z n H g z 1 n w n 1 H w ϕ w n displaystyle z n H g z frac 1 n w n 1 bigl H prime w phi w n bigr nbsp mit einer beliebigen analytischen Funktion H displaystyle H nbsp Die Ableitung H w displaystyle H prime w nbsp kann eine sehr komplizierte Form annehmen wann es durch H w 1 ϕ w ϕ w displaystyle H w 1 phi prime w phi w nbsp ersetzt werden kann um z n H g z w n H w ϕ w n 1 ϕ w w ϕ w displaystyle z n H g z w n H w phi w n 1 bigl phi w w phi prime w bigr nbsp zu erhalten welches auf ϕ w displaystyle phi prime w nbsp anstelle von H w displaystyle H prime w nbsp Bezug nimmt Anwendungen BearbeitenDie Lambertsche W Funktion Bearbeiten Hauptartikel Lambertsche W Funktion Die Lambertsche W Funktion ist die durch die implizite Gleichung W z e W z z displaystyle W z e W z z nbsp definierte Funktion W z displaystyle W z nbsp Mithilfe der Lagrangesche Inversionsformel errechnet man fur die Taylor Reihe von W z displaystyle W z nbsp am Punkt z 0 displaystyle z 0 nbsp wegen f w w e w displaystyle f w w mathrm e w nbsp und a b 0 displaystyle a b 0 nbsp zuerst d n d x n e a x a n e a x displaystyle frac operatorname d n operatorname d x n mathrm e alpha x alpha n mathrm e alpha x nbsp woraus W z n 1 lim w 0 d n 1 d w n 1 e n w z n n n 1 n n 1 z n n x x 2 3 2 x 3 8 3 x 4 125 24 x 5 displaystyle W z sum n 1 infty lim w to 0 left frac operatorname d n 1 operatorname d w n 1 mathrm e nw right frac z n n sum n 1 infty n n 1 frac z n n x x 2 frac 3 2 x 3 frac 8 3 x 4 frac 125 24 x 5 dotsb nbsp Der Konvergenzradius dieser Reihe ist e 1 displaystyle mathrm e 1 nbsp Einen grosseren Konvergenzradius erhalt man auf ahnliche Weise Die Funktion f z W e z 1 displaystyle f z W e z 1 nbsp erfullt die Gleichung 1 f z ln 1 f z z displaystyle 1 f z ln 1 f z z nbsp Entwickelt man z ln 1 z displaystyle z ln 1 z nbsp in eine Potenzreihe und invertiert dann erhalt man fur f z 1 W e z 1 1 displaystyle f z 1 W e z 1 1 nbsp W e 1 z 1 z 2 z 2 16 z 3 192 z 4 3072 13 z 5 61440 47 z 6 1474560 73 z 7 41287680 2447 z 8 1321205760 O x 9 displaystyle W e 1 z 1 frac z 2 frac z 2 16 frac z 3 192 frac z 4 3072 frac 13z 5 61440 frac 47z 6 1474560 frac 73z 7 41287680 frac 2447z 8 1321205760 mathcal O x 9 nbsp Man kann daraus W x displaystyle W x nbsp ableiten indem man ln x 1 displaystyle ln x 1 nbsp durch z displaystyle z nbsp in dieser Reihe substituiert Bspw findet man W 1 0 567 143 displaystyle W 1 0 567143 dotsc nbsp bei z 1 displaystyle z 1 nbsp Binarbaume Bearbeiten Sei B displaystyle mathcal B nbsp die Menge der Binarbaume mit NIL Knoten Ein Baum aus B displaystyle mathcal B nbsp ist entweder ein NIL Knoten oder ein Knoten mit zwei Teilbaumen Die Anzahl solcher Binarbaume mit n displaystyle n nbsp echten Knoten sei mit B n displaystyle B n nbsp bezeichnet Die Entfernung der Wurzel spaltet den Binarbaum in zwei kleinere Teilbaume Daraus folgt fur die erzeugende Funktion B z n 0 B n z n displaystyle B z sum n 0 infty B n z n nbsp B z 1 z B z 2 displaystyle B z 1 zB z 2 nbsp Nun sei C z B z 1 displaystyle C z B z 1 nbsp und damit C z z C z 1 2 displaystyle C z z C z 1 2 nbsp Die Anwendung der Lagrangeschen Inversionsformel mit ϕ w w 1 2 displaystyle phi w w 1 2 nbsp ergibt B n z n C z 1 n w n 1 w 1 2 n 1 n 2 n n 1 1 n 1 2 n n displaystyle B n z n C z frac 1 n w n 1 w 1 2n frac 1 n binom 2n n 1 frac 1 n 1 binom 2n n nbsp und das ist die n displaystyle n nbsp te Catalan Zahl Anmerkungen Bearbeiten Sie konvergieren im Ring R X displaystyle R X nbsp der formalen Potenzreihen unter der dortigen Krulltopologie Ist R R displaystyle R mathbb R nbsp oder R C displaystyle R mathbb C nbsp oder ein anderer vollstandiger Ring dann zieht die analytische Konvergenz die formale nach sich nicht aber umgekehrt Diese Bedingung erzwingt das Verschwinden fast aller i n displaystyle i nu nbsp beschrankt also n 2 displaystyle textstyle sum nu 2 infty nbsp auf endlich viele effektive Summanden bzw n 2 displaystyle textstyle prod nu 2 infty nbsp auf endlich viele effektive Faktoren a b verschwindende i n displaystyle i nu nbsp ausgeschrieben Einzelnachweise Bearbeiten M Abramowitz I A Stegun Hrsg Handbook of Mathematical Functions with Formulas Graphs and Mathematical Tables Dover New York 1972 3 6 6 Lagrange s Expansion S 14 sfu ca Lagrange Joseph Louis Nouvelle methode pour resoudre les equations litterales par le moyen des series In Memoires de l Academie Royale des Sciences et Belles Lettres de Berlin 24 Jahrgang 1770 S 251 326 gdz sub uni goettingen de Memento des Originals vom 30 Juni 2012 im Webarchiv archive today abgerufen am 8 Mai 2018 Bemerkung Obwohl Lagrange den Artikel im Jahr 1768 eingereicht hat wurde er nicht vor 1770 veroffentlicht Burmann Hans Heinrich Essai de calcul fonctionnaire aux constantes ad libitum eingereicht im Jahr 1796 beim Institut National de France Fur eine Zusammenfassung dieses Artikels siehe Hindenburg Carl Friedrich Hrsg Archiv der reinen und angewandten Mathematik Band 2 Schaferischen Buchhandlung Leipzig 1798 Versuch einer vereinfachten Analysis ein Auszug eines Auszuges von Herrn Burmann S 495 499 google com Burmann Hans Heinrich Formules du developpement de retour et d integration eingereicht an das Institut National de France Burmanns Manuskript uberlebt in den Archiven der Ecole Nationale des Ponts et Chaussees in Paris See ms 1715 Ein Bericht von Joseph Louis Lagrange und Adrien Marie Legendre uber Burmanns Theorem erscheint in Rapport sur deux memoires d analyse du professeur Burmann Memoires de l Institut National des Sciences et Arts Sciences Mathematiques et Physiques vol 2 S 13 17 1799 Edmund Taylor Whittaker und George Neville Watson A Course of Modern Analysis Cambridge University Press 4th edition January 2 1927 S 129 130 Eqn 11 43 p 437 C A Charalambides Enumerative Combinatorics Chapman amp Hall CRC 2002 Morse P M and Feshbach H Methods of Theoretical Physics Part I New York McGraw Hill pp 411 413 1953 englisch Zitiert nach Eric W Weisstein Series Reversion In MathWorld englisch Siehe auch BearbeitenFormel von Faa di BrunoWeblinks BearbeitenEric W Weisstein Lagrangesche Inversionsformel In MathWorld englisch Eric W Weisstein Burmann s Theorem In MathWorld englisch Eric W Weisstein Series Reversion In MathWorld englisch en Kepler s equation Inverse Kepler equation Umkehrung der Kepler Gleichung mithilfe der Lagrangeschen Inversionsformel Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lagrangesche Inversionsformel amp oldid 226013233
