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Lévys stochastische Fläche ist in der Stochastik ein stochastischer Prozess welcher die umschlossene Fläche einer zwei d

Lévys stochastische Fläche

Lévys stochastische Fläche ist in der Stochastik ein stochastischer Prozess, welcher die umschlossene Fläche einer zwei-dimensionalen brownschen Bewegung mit ihrer Sehne beschreibt. Der Prozess wurde 1940 von Paul Lévy eingeführt und 1950 fand er eine Formel für die charakteristische Funktion und bedingte charakteristische Funktion.

Der Prozess hat viele unerwartete Verbindungen zu anderen Objekten in der Mathematik, darunter zu den Soliton-Lösungen der Korteweg-de-Vries-Gleichung und zur riemannschen Zeta-Funktion. Im Malliavin-Kalkül kann der Prozess verwendet werden, um einen Malliavin-glatten Prozess zu konstruieren, der jedoch keine stetige Modifikation bezüglich der Banach-Norm besitzt.

Lévys stochastische Fläche Bearbeiten

Sei eine zwei-dimensionale brownsche Bewegung in , dann ist Lévys stochastische Fläche der Prozess

wobei hier das Itō-Integral verwendet wird.

Definiere die 1-Form , dann ist das stochastisches Integral von entlang der Kurve

Flächenformel für die stochastische Fläche Bearbeiten

Sei , , und . Lévy berechnete folgende charakteristische Funktionen

und

wobei die euklidische Norm ist.

Weiterführendes Bearbeiten

  • 1980 lieferte Yor einen kurzen probabilistischen Beweis.
  • 1983 lieferten Helmes und Schwane eine höher-dimensionale Formel.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Paul M. Lévy: Le Mouvement Brownien Plan. In: American Journal of Mathematics. Band 62, Nr. 1, 1940, S. 487–550, doi:10.2307/2371467.
  2. ↑ P. Lévy: Wiener's random function, and other Laplacian random functions. In: Univ. California (Hrsg.): Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Stat. Proba. Band II, 1950, S. 171–186.
  3. N. Ikeda, S. Taniguchi, The Itô–Nisio theorem, quadratic Wiener functionals, and 1-solitons, Stoch. Proc. Appl. 120 (2010) 605–621.
  4. Philippe Biane, Jim Pitman und Marc Yor: Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions, and Brownian excursions. In: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). Band 38, Nr. 4, 2001, S. 435–465.
  5. Nobuyuki Ikeda und Shinzo Watanabe: An Introduction to Malliavin's Calculus. In: Elsevier (Hrsg.): North-Holland Mathematical Library. Band 32, 1984, ISBN 0-444-87588-3, S. 1–52, doi:10.1016/S0924-6509(08)70387-8.
  6. Nobuyuki Ikeda und Setsuo Taniguchi: Euler polynomials, Bernoulli polynomials, and Lévyʼs stochastic area formula. In: Bulletin des Sciences Mathématiques. Band 135, Nr. 6-7, 2011, S. 685, doi:10.1016/j.bulsci.2011.07.009.
  7. P. Lévy: Wiener's random function, and other Laplacian random functions. In: Univ. California (Hrsg.): Proc. 2nd Berkeley Symp. Math. Stat. Proba. Band II, 1950, S. 172–173.
  8. Yor, M. (1980). Remarques sur une formule de paul levy. In: Azéma, J., Yor, M. (eds) Séminaire de Probabilités XIV 1978/79. Lecture Notes in Mathematics, vol 784. Springer, Berlin, Heidelberg. https://doi.org/10.1007/BFb0089501
  9. Kurt Helmes und A. Schwane: Levy's stochastic area formula in higher dimensions. In: Journal of Functional Analysis. Band 54, Nr. 2, 1983, S. 177–192, doi:10.1016/0022-1236(83)90053-8.
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Veröffentlichungsdatum:
Levys stochastische Flache ist in der Stochastik ein stochastischer Prozess welcher die umschlossene Flache einer zwei dimensionalen brownschen Bewegung mit ihrer Sehne beschreibt Der Prozess wurde 1940 1 von Paul Levy eingefuhrt und 1950 2 fand er eine Formel fur die charakteristische Funktion und bedingte charakteristische Funktion Der Prozess hat viele unerwartete Verbindungen zu anderen Objekten in der Mathematik darunter zu den Soliton Losungen der Korteweg de Vries Gleichung 3 und zur riemannschen Zeta Funktion 4 Im Malliavin Kalkul kann der Prozess verwendet werden um einen Malliavin glatten Prozess zu konstruieren der jedoch keine stetige Modifikation bezuglich der Banach Norm besitzt 5 Inhaltsverzeichnis 1 Levys stochastische Flache 1 1 Flachenformel fur die stochastische Flache 2 Weiterfuhrendes 3 EinzelnachweiseLevys stochastische Flache BearbeitenSei W W s 1 W s 2 s 0 displaystyle W W s 1 W s 2 s geq 0 nbsp eine zwei dimensionale brownsche Bewegung in R 2 displaystyle mathbb R 2 nbsp dann ist Levys stochastische Flache der Prozess S t W 1 2 0 t W s 1 d W s 2 W s 2 d W s 1 displaystyle S t W frac 1 2 int 0 t left W s 1 dW s 2 W s 2 dW s 1 right nbsp wobei hier das Itō Integral verwendet wird 2 Definiere die 1 Form ϑ 1 2 x 1 d x 2 x 2 d x 1 displaystyle vartheta frac 1 2 x 1 dx 2 x 2 dx 1 nbsp dann ist S t W displaystyle S t W nbsp das stochastisches Integral von ϑ displaystyle vartheta nbsp entlang der Kurve f 0 t R 2 s W s 1 W s 2 displaystyle varphi 0 t to mathbb R 2 s mapsto W s 1 W s 2 nbsp S t W W 0 t ϑ displaystyle S t W int W 0 t vartheta nbsp 6 Flachenformel fur die stochastische Flache Bearbeiten Sei x x 1 x 2 R 2 displaystyle x x 1 x 2 in mathbb R 2 nbsp a R displaystyle a in mathbb R nbsp b a t 2 displaystyle b at 2 nbsp und S t S t W displaystyle S t S t W nbsp Levy berechnete folgende charakteristische Funktionen E exp i a S t 1 cosh b displaystyle mathbb E exp iaS t frac 1 cosh b nbsp und E exp i a S t W t x b sinh b exp x 2 2 t 1 b coth b displaystyle mathbb E exp iaS t mid W t x frac b sinh b exp left frac x 2 2t left 1 b coth left b right right right nbsp wobei x 2 x 1 2 x 2 2 displaystyle x 2 sqrt x 1 2 x 2 2 nbsp die euklidische Norm ist 7 Weiterfuhrendes Bearbeiten1980 lieferte Yor einen kurzen probabilistischen Beweis 8 1983 lieferten Helmes und Schwane eine hoher dimensionale Formel 9 Einzelnachweise Bearbeiten Paul M Levy Le Mouvement Brownien Plan In American Journal of Mathematics Band 62 Nr 1 1940 S 487 550 doi 10 2307 2371467 a b P Levy Wiener s random function and other Laplacian random functions In Univ California Hrsg Proc 2nd Berkeley Symp Math Stat Proba Band II 1950 S 171 186 N Ikeda S Taniguchi The Ito Nisio theorem quadratic Wiener functionals and 1 solitons Stoch Proc Appl 120 2010 605 621 Philippe Biane Jim Pitman und Marc Yor Probability laws related to the Jacobi theta and Riemann zeta functions and Brownian excursions In Bull Amer Math Soc N S Band 38 Nr 4 2001 S 435 465 Nobuyuki Ikeda und Shinzo Watanabe An Introduction to Malliavin s Calculus In Elsevier Hrsg North Holland Mathematical Library Band 32 1984 ISBN 0 444 87588 3 S 1 52 doi 10 1016 S0924 6509 08 70387 8 Nobuyuki Ikeda und Setsuo Taniguchi Euler polynomials Bernoulli polynomials and Levyʼ s stochastic area formula In Bulletin des Sciences Mathematiques Band 135 Nr 6 7 2011 S 685 doi 10 1016 j bulsci 2011 07 009 P Levy Wiener s random function and other Laplacian random functions In Univ California Hrsg Proc 2nd Berkeley Symp Math Stat Proba Band II 1950 S 172 173 Yor M 1980 Remarques sur une formule de paul levy In Azema J Yor M eds Seminaire de Probabilites XIV 1978 79 Lecture Notes in Mathematics vol 784 Springer Berlin Heidelberg https doi org 10 1007 BFb0089501 Kurt Helmes und A Schwane Levy s stochastic area formula in higher dimensions In Journal of Functional Analysis Band 54 Nr 2 1983 S 177 192 doi 10 1016 0022 1236 83 90053 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Levys stochastische Flache amp oldid 237066632