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Kanonische Gleichungen Die kanonischen Gleichungen sind in der klassischen Mechanik die Bewegungsgleichungen eines Syste

Kanonische Gleichungen

Die kanonischen Gleichungen sind in der klassischen Mechanik die Bewegungsgleichungen eines Systems, das durch eine Hamiltonfunktion beschrieben wird, und werden deshalb auch Hamiltonsche Bewegungsgleichungen genannt.

Fundamentale Bewegungsgleichungen Bearbeiten

Die fundamentalen Bewegungsgleichungen für die Koordinaten und Impulse lauten:

Dabei bedeuten

Die kanonischen Gleichungen folgen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip durch ein erweitertes Variationsprinzip, bei dem Koordinaten und Impulse gleichberechtigt behandelt werden.

Die kanonischen Gleichungen sind eng mit den kanonischen Transformationen verknüpft, die über die Hamilton-Jacobi-Gleichung die Brücke zur Quantenmechanik schlagen. Einen ersten Hinweis darauf bietet die elegante Formulierung der kanonischen Gleichungen mit Poissonklammern:

Verallgemeinerung Bearbeiten

Für eine beliebige Phasenraumfunktion des Systems kann man die totale Ableitung nach der Zeit aufgrund der Kettenregel schreiben als:

Aufgrund der kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse und der Definition der Poisson-Klammer folgt daraus

An dieser Form erkennt man die Korrespondenz der klassischen Bewegungsgleichung einer Phasenraumfunktion mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung für Observable in der Quantenmechanik, wenn die Poisson-Klammer durch den Kommutator und die Hamiltonfunktion durch den Hamiltonoperator ersetzt wird.

Die kanonischen Gleichungen für Koordinaten und Impulse in ihrer Schreibweise mithilfe der Poisson-Klammern gehen als Spezialfall aus der verallgemeinerten Form wieder hervor.

Eine Größe ist erhalten, wenn sie der Gleichung

gehorcht. Wenn die betrachtete Größe nicht explizit zeitabhängig ist, vereinfacht sich dies weiter zu

Literatur Bearbeiten

  • Herbert Goldstein; Charles P. Poole, Jr; John L. Safko: Klassische Mechanik. 3. Auflage. Wiley-VCH, Weinheim 2006, ISBN 3-527-40589-5.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik. 7. Auflage. Springer, Heidelberg 2006, ISBN 3-540-30660-9.
  • Wolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 5/1 Quantenmechanik-Grundlagen. 6. Auflage. Springer, Heidelberg 2004, ISBN 3-540-40071-0.
  • L.D.Landau, E.M.Lifschitz: Lehrbuch der Theoretischen Physik 1 Mechanik. 14. Auflage. Europa-Lehrmittel 1997, ISBN 978-3-8085-5612-2.
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Veröffentlichungsdatum:
Die kanonischen Gleichungen sind in der klassischen Mechanik die Bewegungsgleichungen eines Systems das durch eine Hamiltonfunktion H H q p t displaystyle H H q p t beschrieben wird und werden deshalb auch Hamiltonsche Bewegungsgleichungen genannt Fundamentale Bewegungsgleichungen BearbeitenDie fundamentalen Bewegungsgleichungen fur die Koordinaten und Impulse lauten q i d q i d t H p i p i d p i d t H q i displaystyle begin aligned dot q i frac mathrm d q i mathrm d t amp frac partial H partial p i dot p i frac mathrm d p i mathrm d t amp frac partial H partial q i end aligned nbsp Dabei bedeuten q i displaystyle q i nbsp die generalisierten Koordinaten p i displaystyle p i nbsp die generalisierten Impulse des Systems Die kanonischen Gleichungen folgen direkt aus dem Hamiltonschen Prinzip durch ein erweitertes Variationsprinzip bei dem Koordinaten und Impulse gleichberechtigt behandelt werden Die kanonischen Gleichungen sind eng mit den kanonischen Transformationen verknupft die uber die Hamilton Jacobi Gleichung die Brucke zur Quantenmechanik schlagen Einen ersten Hinweis darauf bietet die elegante Formulierung der kanonischen Gleichungen mit Poissonklammern q i q i H q i q j H p j q i p j H q j H p i p i p i H p i q j H p j p i p j H q j H q i displaystyle begin aligned dot q i amp left q i H right frac partial q i partial q j frac partial H partial p j frac partial q i partial p j frac partial H partial q j frac partial H partial p i dot p i amp left p i H right frac partial p i partial q j frac partial H partial p j frac partial p i partial p j frac partial H partial q j frac partial H partial q i end aligned nbsp Verallgemeinerung BearbeitenFur eine beliebige Phasenraumfunktion A A q p t displaystyle A A q p t nbsp des Systems kann man die totale Ableitung nach der Zeit aufgrund der Kettenregel schreiben als d A d t A q i d q i d t A p i d p i d t A t displaystyle frac mathrm d A mathrm d t frac partial A partial q i frac mathrm d q i mathrm d t frac partial A partial p i frac mathrm d p i mathrm d t frac partial A partial t nbsp Aufgrund der kanonischen Gleichungen fur Koordinaten und Impulse und der Definition der Poisson Klammer folgt daraus d A d t A q i H p i A p i H q i A t A H A t displaystyle begin aligned frac mathrm d A mathrm d t amp frac partial A partial q i frac partial H partial p i frac partial A partial p i frac partial H partial q i frac partial A partial t amp A H frac partial A partial t end aligned nbsp An dieser Form erkennt man die Korrespondenz der klassischen Bewegungsgleichung einer Phasenraumfunktion mit der Heisenbergschen Bewegungsgleichung fur Observable in der Quantenmechanik wenn die Poisson Klammer durch den Kommutator und die Hamiltonfunktion durch den Hamiltonoperator ersetzt wird Die kanonischen Gleichungen fur Koordinaten und Impulse in ihrer Schreibweise mithilfe der Poisson Klammern gehen als Spezialfall aus der verallgemeinerten Form wieder hervor Eine Grosse ist erhalten wenn sie der Gleichung A H A t 0 displaystyle A H frac partial A partial t 0 nbsp gehorcht Wenn die betrachtete Grosse nicht explizit zeitabhangig ist vereinfacht sich dies weiter zu A H 0 displaystyle A H 0 nbsp Literatur BearbeitenHerbert Goldstein Charles P Poole Jr John L Safko Klassische Mechanik 3 Auflage Wiley VCH Weinheim 2006 ISBN 3 527 40589 5 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 2 Analytische Mechanik 7 Auflage Springer Heidelberg 2006 ISBN 3 540 30660 9 Wolfgang Nolting Grundkurs Theoretische Physik 5 1 Quantenmechanik Grundlagen 6 Auflage Springer Heidelberg 2004 ISBN 3 540 40071 0 L D Landau E M Lifschitz Lehrbuch der Theoretischen Physik 1 Mechanik 14 Auflage Europa Lehrmittel 1997 ISBN 978 3 8085 5612 2 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Kanonische Gleichungen amp oldid 220688865