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Jones Formalismus Der beschreibt lineare optische Abbildungen unter Berücksichtigung der Polarisation Er wurde nach R Cl

Jones-Formalismus

Der Jones-Formalismus beschreibt lineare optische Abbildungen unter Berücksichtigung der Polarisation. Er wurde nach R. Clark Jones benannt, der diese Darstellung 1941 einführte. Das Licht wird als ebene elektromagnetische Welle repräsentiert, mit einem komplexwertigen zweidimensionalen Jones-Vektor, der Amplitude der Welle, und kann daher genutzt werden, um optische Effekte wie Interferenz zu beschreiben. Damit stellt der Formalismus eine Verbesserung ggü. den Stokes-Parametern dar. Im Gegensatz dazu ist der Jones-Formalismus jedoch auf vollständig polarisiertes, kohärentes Licht begrenzt. Die Abbildungen werden durch Jones-Matrizen dargestellt. Mit ihnen ermöglicht der Jones-Formalismus die Modellierung und Analyse optischer Systeme, in denen ein Lichtstrahl eine Kaskade von optischen Bauelementen durchläuft.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Beispiele für normierte Jones-Vektoren
Polarisation Polarisationsrichtung zu verschiedenen Zeiten bei z = 0 Jones-Vektor Bra-Ket-Notation
linear in x-Richtung
linear in y-Richtung
linear in +45°-Richtung
links zirkular
rechts zirkular

In komplexer Schreibweise hat die Elongation einer monochromatischen ebenen Welle in einem kartesischen Koordinatensystem die Orts- und Zeitabhängigkeit

wobei als Ausbreitungsrichtung die -Achse gewählt ist. Die reellen Zahlen und bezeichnen die Kreiswellenzahl bzw. die Kreisfrequenz der Welle. Die Größen sind die reellen Amplituden. Die komplexen Zahlen bzw. beschreiben dann Phase und Amplitude der - bzw. -Komponente des Feldes. Der Jones-Vektor dieser Welle ist dann

das heißt, die explizite Raum- und Zeitabhängigkeit der Amplitude wird bei der Beschreibung der Welle unterdrückt. Des Weiteren werden in der Darstellung eines Jones-Vektors üblicherweise dessen Komponenten auf 1 normalisiert und ein Vorfaktor eingeführt, damit die Intensität unverändert bleibt (siehe Beispiele).

Der Effekt eines optischen Bauelements auf die Lichtwelle lässt sich durch die Wirkung einer komplexwertigen 2×2-Matrix auf den Jones-Vektor beschreiben, wenn das Element keine nichtlinearen Eigenschaften hat,

Durchläuft der Lichtstrahl ein System optischer Elemente mit Jones-Matrizen , so lässt sich der Gesamteffekt des optischen Systems durch eine Jones-Matrix

beschreiben (sofern Mehrfachreflexionen zwischen den einzelnen Komponenten keine Rolle spielen). Die Eigenpolarisationen eines optischen Systems entsprechen den Eigenvektoren seiner Jones-Matrix. Der Jones-Vektor eignet sich nur für die Beschreibung vollständig polarisierten Lichts, und entsprechend können nur optische Komponenten, die keine depolarisierenden Eigenschaften besitzen, durch Jones-Matrizen charakterisiert werden. Sind Depolarisations-Effekte von Bedeutung, muss auf den aufwändigeren Stokes-Formalismus zurückgegriffen werden.

Jones-Matrizen können z. B. lineare Polarisationen oder zirkulare Polarisationen (Rotation der Polarisationsebene) und Verzögerungsplatten beschreiben. Bei der -Viertel Platte wird z. B. eine Polarisationsrichtung gegenüber der dazu senkrechten um eine Viertel Wellenlänge verzögert. Bei zirkularer Polarisation und Verzögerung ändert sich der Betrag der Gesamtamplitude nicht, und die Matrizen sind unitär, es gilt (dabei bedeutet komplex konjugiert und T die Transposition der Matrix) und . Bei linearer Polarisation kann sich der Betrag der Gesamtamplitude ändern, die zugehörigen Matrizen sind nicht unitär.

Beispiele für Jones-Matrizen
Optisches Element Jones-Matrix
Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht

in H-Stellung

Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht,

in V-Stellung

Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht,

in +45°-Stellung

Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht,

in −45°-Stellung

Polarisationsfilter für linear polarisiertes Licht, um den Winkel im mathematisch positiven Drehsinn aus der H-Stellung gedreht
Polarisator für links zirkular polarisiertes Licht
Polarisator für rechts zirkular polarisiertes Licht
λ/2-Plättchen mit schneller Achse in x-Richtung
λ/4-Plättchen mit schneller Achse in x-Richtung

Gemäß der üblichen Sprechweise in der Optik bezeichnen „H“ wie horizontal und „V“ wie vertikal die Orientierung in die x- und y-Richtung. Wenn es nicht auf die Interferenz mit anderen Strahlen ankommt, kann ein gemeinsamer (komplexer) Phasen-Vorfaktor ausgeklammert werden, und die Matrizen werden häufig so angegeben, dass die erste Diagonalstelle reell ist.

Gedrehte Bauteile Bearbeiten

Wird ein optisches Bauteil gegenüber seiner optischen Achse um den Winkel θ gedreht, so ist die Jones-Matrix für das gedrehte Bauteil M(θ). Diese Matrix erhält man aus der Matrix M für das ungedrehte Bauteil durch folgende Transformation:

Übergang zur Quantenmechanik Bearbeiten

Man kann die reine x- und reine y-Polarisation als Orthonormalbasis auffassen und diese in Bra-Ket-Schreibweise darstellen, wie oben in der Tabelle angedeutet. Ein Polarisationsfilter lässt sich dann zum Beispiel als quantenmechanischer Operator auffassen, der auf einen Eigenzustand des Systems (reine x- oder y-Polarisation) projiziert (Kollaps der Wellenfunktion). Der entsprechende Projektor wäre für einen x-Polarisationsfilter: Der Eigenwert entspricht dann dem Anteil des einfallenden Lichtes, das die entsprechende Polarisation aufweist. Die Observable ist die Polarisation in x-Richtung. Analog lassen sich die oben angegebenen Filter für zirkular polarisiertes Licht konstruieren.

In der Bra-Ket-Darstellung lässt sich auch ein Basiswechsel leicht ausführen. Die Basiswechselmatrix , die von der x/y-Basis in die Darstellung durch Superposition von gegensinnig zirkular polarisierten Wellen überführt hat folgende Gestalt.

Solche Überlegungen bieten einen anschaulichen Bezug zu den sonst eher abstrakten Formalismen der Quantenmechanik.

Literatur Bearbeiten

  • R. Clark Jones: New calculus for the treatment of optical systems. I. Description and discussion of the calculus. In: Journal of the Optical Society of America. Band 31, Nr. 7, 1941, S. 488–493, doi:10.1364/JOSA.31.000488.
  • R. M. A. Azzam, N. M. Bashara: Ellipsometry and Polarized Light. North-Holland, Amsterdam (u. a.) 1987, ISBN 0-7204-0694-3.
  • A. Gerrard, J. Burch: Introduction to Matrix Methods in Optics. John Wiley, 1975 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
  • Frank Pedrotti, Leno Pedrotti: Introduction to Optics. 2. Auflage, Prentice Hall, 1993, ISBN 0-13-501545-6 (Kapitel 14: Matrix Treatment of Polarization).

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Frank L. Pedrotti, Leno S. Pedrotti: Introduction to Optics. Prentice-Hall, 1993, ISBN 0-13-016973-0, S. 288.
  2. Eugene Hecht: Optics. 4. Auflage. Addison-Wesley Longman, Amsterdam 2001, ISBN 0-8053-8566-5, S. 375.
  3. ↑ Bei der Darstellung der rechts- und linkszirkularen Polarisation hat man zu beachten, dass hier für die Ausbreitung der ebenen Welle ein Faktor gewählt wurde, wodurch sich unter anderem die Formeln für links- und rechtszirkulare Polarisation vertauschen. Beide Konventionen (umgekehrtes Vorzeichen im Exponenten) werden in der Fachliteratur genutzt, was bei der Verwendung von Formeln aus den Fachbereich Optik und der Physik allgemein beachtet werden muss.
  4. Gordon Baym: Lectures on Quantum Mechanics. 3. Auflage. Westview Press, New York 1990, ISBN 0-8053-0667-6, S. 1–37.
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Der Jones Formalismus beschreibt lineare optische Abbildungen unter Berucksichtigung der Polarisation Er wurde nach R Clark Jones benannt der diese Darstellung 1941 einfuhrte Das Licht wird als ebene elektromagnetische Welle reprasentiert mit einem komplexwertigen zweidimensionalen Jones Vektor der Amplitude der Welle und kann daher genutzt werden um optische Effekte wie Interferenz zu beschreiben Damit stellt der Formalismus eine Verbesserung ggu den Stokes Parametern dar Im Gegensatz dazu ist der Jones Formalismus jedoch auf vollstandig polarisiertes koharentes Licht begrenzt Die Abbildungen werden durch Jones Matrizen dargestellt Mit ihnen ermoglicht der Jones Formalismus die Modellierung und Analyse optischer Systeme in denen ein Lichtstrahl eine Kaskade von optischen Bauelementen durchlauft Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 2 Gedrehte Bauteile 3 Ubergang zur Quantenmechanik 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseMathematische Beschreibung BearbeitenBeispiele fur normierte Jones Vektoren 1 2 3 Polarisation Polarisationsrichtung zu verschiedenen Zeiten bei z 0 Jones Vektor Bra Ket Notationlinear in x Richtung nbsp 1 0 displaystyle begin pmatrix 1 0 end pmatrix nbsp H displaystyle H rangle nbsp linear in y Richtung nbsp 0 1 displaystyle begin pmatrix 0 1 end pmatrix nbsp V displaystyle V rangle nbsp linear in 45 Richtung nbsp 1 2 1 1 displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 1 end pmatrix nbsp D 1 2 H V displaystyle D rangle frac 1 sqrt 2 H rangle V rangle nbsp links zirkular nbsp 1 2 1 i displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 mathrm i end pmatrix nbsp L 1 2 H i V displaystyle L rangle frac 1 sqrt 2 H rangle mathrm i V rangle nbsp rechts zirkular nbsp 1 2 1 i displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 mathrm i end pmatrix nbsp R 1 2 H i V displaystyle R rangle frac 1 sqrt 2 H rangle mathrm i V rangle nbsp In komplexer Schreibweise hat die Elongation einer monochromatischen ebenen Welle in einem kartesischen Koordinatensystem die Orts und Zeitabhangigkeit E z t E x e i k z w t ϕ x E y e i k z w t ϕ y E x e i ϕ x E y e i ϕ y e i k z w t E x E y e i k z w t displaystyle vec E z t begin pmatrix E x e mathrm i kz omega t phi x E y e mathrm i kz omega t phi y end pmatrix begin pmatrix E x e mathrm i phi x E y e mathrm i phi y end pmatrix e mathrm i kz omega t begin pmatrix tilde E x tilde E y end pmatrix e mathrm i kz omega t nbsp wobei als Ausbreitungsrichtung die z displaystyle z nbsp Achse gewahlt ist Die reellen Zahlen k displaystyle k nbsp und w displaystyle omega nbsp bezeichnen die Kreiswellenzahl bzw die Kreisfrequenz der Welle Die Grossen E x E y displaystyle E x E y nbsp sind die reellen Amplituden Die komplexen Zahlen E x displaystyle tilde E x nbsp bzw E y displaystyle tilde E y nbsp beschreiben dann Phase und Amplitude der x displaystyle x nbsp bzw y displaystyle y nbsp Komponente des Feldes Der Jones Vektor dieser Welle ist dann J E x E y displaystyle vec J begin pmatrix tilde E x tilde E y end pmatrix nbsp das heisst die explizite Raum und Zeitabhangigkeit der Amplitude wird bei der Beschreibung der Welle unterdruckt Des Weiteren werden in der Darstellung eines Jones Vektors ublicherweise dessen Komponenten auf 1 normalisiert und ein Vorfaktor eingefuhrt damit die Intensitat unverandert bleibt siehe Beispiele Der Effekt eines optischen Bauelements auf die Lichtwelle lasst sich durch die Wirkung einer komplexwertigen 2 2 Matrix M displaystyle mathbf M nbsp auf den Jones Vektor beschreiben wenn das Element keine nichtlinearen Eigenschaften hat J o u t M J i n displaystyle vec J rm out mathbf M vec J rm in nbsp Durchlauft der Lichtstrahl ein System optischer Elemente mit Jones Matrizen M 1 M n displaystyle mathbf M 1 ldots mathbf M n nbsp so lasst sich der Gesamteffekt des optischen Systems durch eine Jones Matrix M M n M n 1 M 1 displaystyle mathbf M mathbf M n cdot mathbf M n 1 cdot ldots cdot mathbf M 1 nbsp beschreiben sofern Mehrfachreflexionen zwischen den einzelnen Komponenten keine Rolle spielen Die Eigenpolarisationen eines optischen Systems entsprechen den Eigenvektoren seiner Jones Matrix Der Jones Vektor eignet sich nur fur die Beschreibung vollstandig polarisierten Lichts und entsprechend konnen nur optische Komponenten die keine depolarisierenden Eigenschaften besitzen durch Jones Matrizen charakterisiert werden Sind Depolarisations Effekte von Bedeutung muss auf den aufwandigeren Stokes Formalismus zuruckgegriffen werden Jones Matrizen konnen z B lineare Polarisationen oder zirkulare Polarisationen Rotation der Polarisationsebene und Verzogerungsplatten beschreiben Bei der l displaystyle lambda nbsp Viertel Platte wird z B eine Polarisationsrichtung gegenuber der dazu senkrechten um eine Viertel Wellenlange verzogert Bei zirkularer Polarisation und Verzogerung andert sich der Betrag der Gesamtamplitude nicht und die Matrizen sind unitar es gilt M 1 M M T displaystyle M 1 M dagger overline M rm T nbsp dabei bedeutet M displaystyle overline M nbsp komplex konjugiert und T die Transposition der Matrix und M J 2 J T M M J J T J J 2 J 2 displaystyle M cdot vec J 2 vec J T cdot M dagger M cdot vec J vec J T cdot vec J vec J 2 J 2 nbsp Bei linearer Polarisation kann sich der Betrag der Gesamtamplitude andern die zugehorigen Matrizen sind nicht unitar Beispiele fur Jones Matrizen 3 Optisches Element Jones MatrixPolarisationsfilter fur linear polarisiertes Licht in H Stellung 1 0 0 0 displaystyle begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 0 end pmatrix nbsp Polarisationsfilter fur linear polarisiertes Licht in V Stellung 0 0 0 1 displaystyle begin pmatrix 0 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp Polarisationsfilter fur linear polarisiertes Licht in 45 Stellung 1 2 1 1 1 1 displaystyle frac 1 2 begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end pmatrix nbsp Polarisationsfilter fur linear polarisiertes Licht in 45 Stellung 1 2 1 1 1 1 displaystyle frac 1 2 begin pmatrix 1 amp 1 1 amp 1 end pmatrix nbsp Polarisationsfilter fur linear polarisiertes Licht um den Winkel f displaystyle varphi nbsp im mathematisch positiven Drehsinn aus der H Stellung gedreht cos 2 f cos f sin f sin f cos f sin 2 f displaystyle begin pmatrix cos 2 varphi amp cos varphi sin varphi sin varphi cos varphi amp sin 2 varphi end pmatrix nbsp Polarisator fur links zirkular polarisiertes Licht 1 2 1 i i 1 displaystyle frac 1 2 begin pmatrix 1 amp mathrm i mathrm i amp 1 end pmatrix nbsp Polarisator fur rechts zirkular polarisiertes Licht 1 2 1 i i 1 displaystyle frac 1 2 begin pmatrix 1 amp mathrm i mathrm i amp 1 end pmatrix nbsp l 2 Plattchen mit schneller Achse in x Richtung i 0 0 i e i p 2 1 0 0 e i p i 1 0 0 1 displaystyle begin pmatrix mathrm i amp 0 0 amp mathrm i end pmatrix e mathrm i frac pi 2 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp e mathrm i pi end pmatrix mathrm i begin pmatrix 1 amp 0 0 amp 1 end pmatrix nbsp l 4 Plattchen mit schneller Achse in x Richtung 1 2 1 i 0 0 1 i e i p 4 1 0 0 e i p 2 e i p 4 1 0 0 i displaystyle frac 1 sqrt 2 begin pmatrix 1 mathrm i amp 0 0 amp 1 mathrm i end pmatrix e mathrm i frac pi 4 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp e mathrm i frac pi 2 end pmatrix e mathrm i frac pi 4 begin pmatrix 1 amp 0 0 amp mathrm i end pmatrix nbsp Gemass der ublichen Sprechweise in der Optik bezeichnen H wie horizontal und V wie vertikal die Orientierung in die x und y Richtung Wenn es nicht auf die Interferenz mit anderen Strahlen ankommt kann ein gemeinsamer komplexer Phasen Vorfaktor ausgeklammert werden und die Matrizen werden haufig so angegeben dass die erste Diagonalstelle reell ist Gedrehte Bauteile BearbeitenWird ein optisches Bauteil gegenuber seiner optischen Achse um den Winkel 8 gedreht so ist die Jones Matrix fur das gedrehte Bauteil M 8 Diese Matrix erhalt man aus der Matrix M fur das ungedrehte Bauteil durch folgende Transformation M 8 R 8 M R 8 displaystyle M theta R theta M R theta nbsp Dabei ist R 8 cos 8 sin 8 sin 8 cos 8 displaystyle R theta begin pmatrix cos theta amp sin theta sin theta amp cos theta end pmatrix nbsp Ubergang zur Quantenmechanik BearbeitenMan kann die reine x und reine y Polarisation als Orthonormalbasis auffassen und diese in Bra Ket Schreibweise darstellen wie oben in der Tabelle angedeutet Ein Polarisationsfilter lasst sich dann zum Beispiel als quantenmechanischer Operator auffassen der auf einen Eigenzustand des Systems reine x oder y Polarisation projiziert Kollaps der Wellenfunktion Der entsprechende Projektor ware fur einen x Polarisationsfilter H H displaystyle H rangle langle H nbsp Der Eigenwert entspricht dann dem Anteil des einfallenden Lichtes das die entsprechende Polarisation aufweist Die Observable ist die Polarisation in x Richtung Analog lassen sich die oben angegebenen Filter fur zirkular polarisiertes Licht konstruieren In der Bra Ket Darstellung lasst sich auch ein Basiswechsel leicht ausfuhren Die Basiswechselmatrix S displaystyle S nbsp die von der x y Basis in die Darstellung durch Superposition von gegensinnig zirkular polarisierten Wellen uberfuhrt hat folgende Gestalt S H R H L V R V L displaystyle S begin pmatrix langle H R rangle amp langle H L rangle langle V R rangle amp langle V L rangle end pmatrix nbsp Solche Uberlegungen bieten einen anschaulichen Bezug zu den sonst eher abstrakten Formalismen der Quantenmechanik 4 Literatur BearbeitenR Clark Jones New calculus for the treatment of optical systems I Description and discussion of the calculus In Journal of the Optical Society of America Band 31 Nr 7 1941 S 488 493 doi 10 1364 JOSA 31 000488 R M A Azzam N M Bashara Ellipsometry and Polarized Light North Holland Amsterdam u a 1987 ISBN 0 7204 0694 3 A Gerrard J Burch Introduction to Matrix Methods in Optics John Wiley 1975 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Frank Pedrotti Leno Pedrotti Introduction to Optics 2 Auflage Prentice Hall 1993 ISBN 0 13 501545 6 Kapitel 14 Matrix Treatment of Polarization Weblinks BearbeitenJones Matrix bei Science WorldEinzelnachweise Bearbeiten Frank L Pedrotti Leno S Pedrotti Introduction to Optics Prentice Hall 1993 ISBN 0 13 016973 0 S 288 Eugene Hecht Optics 4 Auflage Addison Wesley Longman Amsterdam 2001 ISBN 0 8053 8566 5 S 375 a b Bei der Darstellung der rechts und linkszirkularen Polarisation hat man zu beachten dass hier fur die Ausbreitung der ebenen Welle ein Faktor e i k z w t displaystyle e mathrm i kz omega t nbsp gewahlt wurde wodurch sich unter anderem die Formeln fur links und rechtszirkulare Polarisation vertauschen Beide Konventionen umgekehrtes Vorzeichen im Exponenten werden in der Fachliteratur genutzt was bei der Verwendung von Formeln aus den Fachbereich Optik und der Physik allgemein beachtet werden muss Gordon Baym Lectures on Quantum Mechanics 3 Auflage Westview Press New York 1990 ISBN 0 8053 0667 6 S 1 37 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Jones Formalismus amp oldid 224219965