www.wikidata.de-de.nina.az

Gruppoid Kategorientheorie Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Gruppoid eine kleine Kategorie in

Gruppoid (Kategorientheorie)

Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Gruppoid eine kleine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist.

Definition Bearbeiten

Ausführlich formuliert besteht ein Gruppoid also aus:

  • Einer Menge aus Objekten;
  • Für jedes Paar von Objekten aus einer Menge aus Morphismen (oder Pfeilen) von nach . Anstatt schreibt man auch (angelehnt an die übliche Notation für Funktionen)
  • Für jedes Objekt ist ein ausgezeichnetes Element gegeben;
  • Für je drei Objekte ist eine Abbildung gegeben, genannt Verkettung;
  • Für je zwei Objekte ist eine Funktion gegeben, genannt Inversion.

Diese Strukturen müssen miteinander in folgender Weise verträglich sein:

  • Für alle gilt (Assoziativität);
  • Für alle gilt: and (Neutralelemente);
  • Für alle gilt: sowie (Inverse).

Die drei Verträglichkeitsbedingungen gleichen den Gruppenaxiomen. Das ist kein Zufall. Ein Gruppoid mit genau einem Objekt ist nichts anderes als eine Gruppe. In diesem Sinn stellt der Begriff Gruppoid also eine Verallgemeinerung des Begriffes Gruppe dar.

Anwendung und Beispiele Bearbeiten

  • In der Kristallographie werden Gruppoide zur Beschreibung der Symmetrie von polytypen Strukturen verwendet.
  • Jede Gruppe ist ein Gruppoid mit einem Objekt und den Gruppenelementen als Pfeilen.
  • Aus einer beliebigen kleinen Kategorie entsteht ein Gruppoid, wenn nur die Pfeile betrachtet werden, die Isomorphismen sind.
  • Jede Äquivalenzrelation ist ein Gruppoid mit den Elementen der Trägermenge als Objekten, sodass zwischen zwei Objekten genau dann ein Morphismus existiert, falls sie äquivalent sind.

Eigenschaften Bearbeiten

  • Die Kategorie aller Gruppoide mit Funktoren als Morphismen ist eine Subkategorie von Cat, der Kategorie aller kleinen Kategorien.

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Alberto Ibort: An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations. CRC Press LLC, Milton 2019, ISBN 978-1-351-86957-7, S. 54.
  2. Edwin Henry Spanier: Algebraic topology. 1st corr. Springer ed Auflage. Springer-Verlag, New York 1966, ISBN 0-387-90646-0, S. 45.
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Im mathematischen Teilgebiet der Kategorientheorie ist ein Gruppoid eine kleine Kategorie in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Anwendung und Beispiele 3 Eigenschaften 4 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenAusfuhrlich formuliert besteht ein Gruppoid also aus 1 Einer Menge G 0 displaystyle G 0 nbsp aus Objekten Fur jedes Paar von Objekten x y G 0 displaystyle x y in G 0 nbsp aus einer Menge G x y displaystyle G x y nbsp aus Morphismen oder Pfeilen von x displaystyle x nbsp nach y displaystyle y nbsp Anstatt f G x y displaystyle f in G x y nbsp schreibt man auch f x y displaystyle f x rightarrow y nbsp angelehnt an die ubliche Notation fur Funktionen Fur jedes Objekt x displaystyle x nbsp ist ein ausgezeichnetes Element i d x G x x displaystyle mathrm id x in G x x nbsp gegeben Fur je drei Objekte x y z G 0 displaystyle x y z in G 0 nbsp ist eine Abbildung c o m p x y z G y z G x y G x z g f g f displaystyle mathrm comp x y z G y z times G x y rightarrow G x z g f mapsto g circ f nbsp gegeben genannt Verkettung Fur je zwei Objekte x y G 0 displaystyle x y in G 0 nbsp ist eine Funktion i n v G x y G y x f f 1 displaystyle mathrm inv G x y rightarrow G y x f mapsto f 1 nbsp gegeben genannt Inversion Diese Strukturen mussen miteinander in folgender Weise vertraglich sein Fur alle f x y g y z h z w displaystyle f x to y g y to z h z to w nbsp gilt h g f h g f displaystyle h circ g circ f h circ g circ f nbsp Assoziativitat Fur alle f x y displaystyle f x to y nbsp gilt f i d x f displaystyle f circ mathrm id x f nbsp and i d y f f displaystyle mathrm id y circ f f nbsp Neutralelemente Fur alle f x y displaystyle f x to y nbsp gilt f f 1 i d y displaystyle f circ f 1 mathrm id y nbsp sowie f 1 f i d x displaystyle f 1 circ f mathrm id x nbsp Inverse Die drei Vertraglichkeitsbedingungen gleichen den Gruppenaxiomen Das ist kein Zufall Ein Gruppoid mit genau einem Objekt ist nichts anderes als eine Gruppe In diesem Sinn stellt der Begriff Gruppoid also eine Verallgemeinerung des Begriffes Gruppe dar Anwendung und Beispiele BearbeitenIn der algebraischen Topologie wird das Fundamentalgruppoid zu einem topologischen Raum X displaystyle X nbsp assoziiert Die Objekte des Gruppoids sind die Punkte von X displaystyle X nbsp Die Pfeile sind die Homotopie klassen relativ Anfangs und Endpunkt von stetigen Abbildung f 0 1 X displaystyle f colon 0 1 longrightarrow X nbsp wobei der Anfangspunkt f 0 displaystyle f 0 nbsp die Quelle ist und der Endpunkt f 1 displaystyle f 1 nbsp das Ziel Oft tragen Gruppoide zusatzliche Strukturen wie eine Topologie auf der Menge der Objekte und Pfeile 2 In der Loopquantengravitation finden Gruppoide bei der Beschreibung der Spin Netzwerke Anwendung In der Kristallographie werden Gruppoide zur Beschreibung der Symmetrie von polytypen Strukturen verwendet Jede Gruppe ist ein Gruppoid mit einem Objekt und den Gruppenelementen als Pfeilen Aus einer beliebigen kleinen Kategorie entsteht ein Gruppoid wenn nur die Pfeile betrachtet werden die Isomorphismen sind Jede Aquivalenzrelation ist ein Gruppoid mit den Elementen der Tragermenge als Objekten sodass zwischen zwei Objekten genau dann ein Morphismus existiert falls sie aquivalent sind In der algebraischen Geometrie werden haufig fur eine algebraische Gruppe G displaystyle G nbsp Gruppoide von G displaystyle G nbsp Prinzipalbundeln betrachtet Diese tauchen in der Definition des klassifizierenden Stacks einer algebraischen Gruppe auf Eigenschaften BearbeitenDie Kategorie aller Gruppoide mit Funktoren als Morphismen ist eine Subkategorie von Cat der Kategorie aller kleinen Kategorien Einzelnachweise Bearbeiten Alberto Ibort An Introduction to Groups Groupoids and Their Representations CRC Press LLC Milton 2019 ISBN 978 1 351 86957 7 S 54 Edwin Henry Spanier Algebraic topology 1st corr Springer ed Auflage Springer Verlag New York 1966 ISBN 0 387 90646 0 S 45 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gruppoid Kategorientheorie amp oldid 232362270