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Stack Kategorientheorie In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack englisch für Stapel eine auf eine

Stack (Kategorientheorie)

In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack (englisch für „Stapel“) eine (auf eine bestimmte Art) kategorifizierte Garbe. Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten: der Kategorifizierung einer Prägarbe und der des Abstiegsaxioms, dessen Erfüllung eine Prägarbe zu einer Garbe macht.

Für einen topologischen Raum sei die Kategorie, deren Objekte surjektive stetige Abbildungen sind, und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen sind, so dass gilt.

Für jeden Morphismus und ein Pullback

bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm

(mit umgedrehten Pfeilen). Gemäß der universellen Eigenschaft eines Pullbacks

gibt es einen eindeutigen Morphismus in der Kategorie .
  • Das Abstiegsaxiom für die Prägarbe lautet: Für jedes ist der Morphismus ein Isomorphismus.

Man kann sich nun überlegen, dass diese Definitionen mit den eher gebräuchlichen aus dem Artikel über Garben übereinstimmt. Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in natürlicher Art und Weise: Kategorien werden 2-Kategorien, Funktoren werden 2-Funktoren, Objekte werden Kategorien, Morphismen werden Funktoren, und Gleichungen von Morphismen werden natürliche Äquivalenzen. Dabei wird die Kategorie zu einer 2-Kategorie, indem man nur Identitäten als 2-Morphismen zulässt.

Damit ergeben sich die folgenden Definitionen:

  • Eine gefaserte Kategorie über in einer 2-Kategorie ist ein kontravarianter 2-Funktor .
  • Das Abstiegsaxiom für eine gefaserte Kategorie lautet: Für jeden 1-Morphismus ist der Funktor eine Äquivalenz von Kategorien.
  • Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie, die das Abstiegsaxiom erfüllt.

Bemerkung: Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie „Prä-Stack“ heißen, aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere, nicht-äquivalente Definition belegt.

Literatur Bearbeiten

  • Ieke Moerdijk: Introduction to the language of stacks and gerbes. University of Utrecht, 2002 (englisch) arxiv:math.AT/0212266

Weblinks Bearbeiten

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In der algebraischen Topologie versteht man unter einem Stack englisch fur Stapel eine auf eine bestimmte Art kategorifizierte Garbe Die Kategorifizierung besteht aus zwei Schritten der Kategorifizierung einer Pragarbe und der des Abstiegsaxioms dessen Erfullung eine Pragarbe zu einer Garbe macht Fur einen topologischen Raum X displaystyle X sei C o v X displaystyle mathfrak Cov X die Kategorie deren Objekte surjektive stetige Abbildungen j U X displaystyle j colon U to X sind und deren Morphismen surjektive stetige Abbildungen i U 1 U 2 displaystyle i colon U 1 to U 2 sind so dass j 1 j 2 i displaystyle j 1 j 2 circ i gilt Eine Pragarbe uber X displaystyle X in einer Kategorie C displaystyle mathfrak C ist ein kontravarianter Funktor F C o v X C displaystyle mathcal F colon mathfrak Cov X to mathfrak C Fur jeden Morphismus i U V displaystyle i colon U to V und ein Pullback U 2 displaystyle U 2 displaystyle to U displaystyle U displaystyle downarrow displaystyle downarrow U displaystyle U displaystyle to V displaystyle V bekommt man ein induziertes kommutierendes Diagramm F V displaystyle mathcal F V displaystyle to F U displaystyle mathcal F U displaystyle downarrow displaystyle downarrow F U displaystyle mathcal F U displaystyle to F U 2 displaystyle mathcal F U 2 mit umgedrehten Pfeilen Gemass der universellen Eigenschaft eines Pullbacks D displaystyle D displaystyle to F U displaystyle mathcal F U displaystyle downarrow displaystyle downarrow F U displaystyle mathcal F U displaystyle to F U 2 displaystyle mathcal F U 2 gibt es einen eindeutigen Morphismus D e s i F F V D displaystyle mathrm Des i mathcal F mathcal F V to D in der Kategorie C displaystyle mathfrak C Das Abstiegsaxiom fur die Pragarbe F displaystyle mathcal F lautet Fur jedes i U V displaystyle i colon U to V ist der Morphismus D e s i F displaystyle mathrm Des i mathcal F ein Isomorphismus Man kann sich nun uberlegen dass diese Definitionen mit den eher gebrauchlichen aus dem Artikel uber Garben ubereinstimmt Sie erlauben jedenfalls eine Kategorifizierung in naturlicher Art und Weise Kategorien werden 2 Kategorien Funktoren werden 2 Funktoren Objekte werden Kategorien Morphismen werden Funktoren und Gleichungen von Morphismen werden naturliche Aquivalenzen Dabei wird die Kategorie C o v X displaystyle mathfrak Cov X zu einer 2 Kategorie indem man nur Identitaten als 2 Morphismen zulasst Damit ergeben sich die folgenden Definitionen Eine gefaserte Kategorie uber X displaystyle X in einer 2 Kategorie C displaystyle mathfrak C ist ein kontravarianter 2 Funktor F C o v X C displaystyle mathcal F mathfrak Cov X to mathfrak C Das Abstiegsaxiom fur eine gefaserte Kategorie F displaystyle mathcal F lautet Fur jeden 1 Morphismus i U V displaystyle i colon U to V ist der Funktor D e s i F displaystyle mathrm Des i mathcal F eine Aquivalenz von Kategorien Ein Stack ist eine gefaserte Kategorie die das Abstiegsaxiom erfullt Bemerkung Eigentlich sollte eine gefaserte Kategorie Pra Stack heissen aber dieser Begriff ist bereits durch eine etwas andere nicht aquivalente Definition belegt Literatur BearbeitenIeke Moerdijk Introduction to the language of stacks and gerbes University of Utrecht 2002 englisch arxiv math AT 0212266Weblinks BearbeitenStacks Project Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Stack Kategorientheorie amp oldid 218043695