www.wikidata.de-de.nina.az

Gauß Strahl Der auch gaußsches Bündel ist ein Konzept der paraxialen Optik zur Beschreibung der Lichtausbreitung in dem

Gauß-Strahl

Der Gauß-Strahl (auch gaußsches Bündel) ist ein Konzept der paraxialen Optik zur Beschreibung der Lichtausbreitung, in dem sich Methoden der Strahlen- und der Wellenoptik verbinden. Im Querschnitt zeigt der Gauß-Strahl ein Profil gemäß einer Gauß-Kurve mit einer längs der Ausbreitungsachse variierenden Breite. Der Strahl verjüngt sich näherungsweise linear bis zum Erreichen der schmalsten Stelle, die als Fokus oder Taille bezeichnet wird, und wächst danach ebenso wieder an. Längs der Ausbreitungsachse zeigt die räumliche Intensität des Strahls ein Lorentzprofil, das Maximum liegt an der Stelle der Taille. Das elektromagnetische Feld des Gauß-Strahls ergibt sich aus den Maxwell-Gleichungen für konstante Frequenz ω, also aus der Helmholtz-Gleichung, nach paraxialer Näherung. Bei gegebener Ausbreitungsrichtung und Wellenlänge ist der Gauß-Strahl vollständig durch die Angabe des Orts und des Strahldurchmessers der Taille bestimmt.

Gauß-Strahlen beschreiben besonders gut die Lichtemission vieler Laser (siehe Beugungsmaßzahl), aber sie lassen sich auch in vielen anderen Situationen elektromagnetischer Strahlung einsetzen. Besonders interessant sind sie, weil sie einerseits den einfachen Rechenmethoden der Strahlenoptik gehorchen, andererseits aber auch Phasenbetrachtungen wie in der Wellenoptik erlauben.

Mathematische Beschreibung Bearbeiten

Gauß-Strahl (schematisch) mit Abmessungen, Strahlbegrenzung, Wellenfronten und Intensitätsprofil

Zur mathematischen Beschreibung eines Gauß-Strahls werden vorzugsweise Zylinderkoordinaten verwendet. Das Koordinatensystem wird so gewählt, dass die Ausbreitungsrichtung die z-Achse ist und die Strahltaille im Koordinatenursprung bei liegt. Die komplexe Amplitude des elektrischen Feldes unter Berücksichtigung der Phase in Abhängigkeit vom Abstand zur z-Achse und der Entfernung zur Taille wird beschrieben durch die Funktion:

Die Phasenfläche nähert sich in großem Abstand von der Taille der einer sphärischen Welle. Mit den Näherungen der unten angegebenen Funktionen und für große wird der Phasenfaktor:

Dieses Ergebnis wird nämlich ebenfalls nach Entwicklung des Quellabstands im Phasenfaktor einer Kugelwelle erhalten: . – Jedoch zeigt die für den Gaußstrahl charakteristische Phasenreduktion von nach vollständigem Durchgang durch die Taille der rotationssymmetrischen Grundmode den bedeutenden Unterschied zwischen der punktsymmetrisch strahlendenen Kugelwelle und dem gerichteten, axialsymmetrischen Strahlenbündel, siehe unten Gouy-Phase.

Die zur Feldstärke gehörende Intensität ist:

Dabei sind die imaginäre Einheit, der Wellenvektor und bzw. die Werte an der Stelle . Die Parameterfunktionen , und beschreiben die Geometrie des Gauß-Strahls und werden im Folgenden erläutert.

Transversales Profil Bearbeiten

Wie bereits erwähnt hat der Gauß-Strahl ein transversales Profil gemäß einer Gauß-Kurve. Als Strahlradius definiert man bei einem bestimmten Wert den Abstand zur -Achse, an dem die Amplitude auf 1/e (ca. 37 %), die Intensität also auf 1/e² (ca. 13,5 %), gefallen ist. Der minimale Strahlradius, der an der Taille des Strahls (also bei ) vorliegt, wird mit bezeichnet. In Abhängigkeit vom Abstand entlang der Achse verhält sich der Strahlradius dann im Nahfeld gemäß

mit der Rayleigh-Länge

Axiales Profil Bearbeiten

Im Abstand der Rayleighlänge von der Strahltaille ist der Strahl auf

verbreitert. Die Rayleighlänge ist folglich der Abstand, bei dem sich die Strahlfläche in Bezug auf die kleinste Taille verdoppelt hat.

Der Abstand zwischen dem linken und rechten Punkt mit wird bi- oder konfokaler Parameter genannt:

Damit ist die Amplitude also an einer bestimmten z-Koordinate auf das -fache abgefallen. Dies entspricht einem Lorentz-Profil.

Krümmung Bearbeiten

Radius der Wellenfronten über der Ausbreitungsrichtung. Für wird der Krümmungsradius unendlich, für großes z ergibt sich eine proportionale Abhängigkeit. Der kleinste Krümmungsradius liegt bei .

Die Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten bestimmen die Phasenlage der Welle bei . Dabei bestimmt der Parameter anschaulich, wie stark die Phase an achsfernen Punkten verzögert ist, also, wie stark die Wellenfronten gekrümmt sind, und heißt deshalb Krümmungsradius. Er berechnet sich zu

Direkt in der Strahltaille für ist der Krümmungsradius unendlich und es liegen ebene Wellenfronten vor. Im Vergleich zur ebenen homogenen Welle ist jedoch das Intensitätsprofil senkrecht zur Ausbreitungsrichtung nicht konstant, weshalb der Strahl außerhalb der Taille divergiert und die Wellenfronten sich krümmen.

Divergenz Bearbeiten

Betrachtet man den Verlauf von für , nähert er sich einer Geraden – dies zeigt die Verbindung zur Strahlenoptik auf. Wie stark der Gauß-Strahl verläuft, sich also transversal ausdehnt, lässt sich dann durch den Winkel (genauer: 'Steigung', da wegen Strahlparameterprodukt auch für kleine Strahltaillen möglich ) zwischen dieser Geraden und der z-Achse angeben, dies nennt man die Divergenz:

Diese Beziehung führt zu dem Effekt, dass die Divergenz bei starker Fokussierung größer wird: Ist die Strahltaille schmal, verläuft der Strahl in großen Entfernungen stark auseinander. Man muss also einen Kompromiss aus Fokussierung und Reichweite finden.

Gouy-Phase Bearbeiten

Ein Term der Wellenphase des Gauß-Strahls wird Gouy-Phase genannt:

Der Phasenunterschied von der Grundmode beim Übergang von zu entspricht dem Umklappen im Fokus nach der klassischen Strahlenoptik.

Beim vollständigen Durchgang des Gauß-Bündels durch seine Taille erfährt der paraxiale Strahl im Vergleich zur ebenen Welle die entsprechend einer halben Wellenlänge geringere Phasenverschiebung im Fall der rotationssymmetrischen Grundmode.

Zuerst beobachtete Louis Georges Gouy experimentell im Jahre 1890 den zunächst überraschenden Effekt. Gauß-Bündel sind gemäß dem Fourier-Theorem eine Superposition von Neigungsmoden ebener Wellen. Die zur Bündelachse geneigten Spektralkomponenten propagieren – in z-Richtung gemessen – offenbar mit einer kleineren Phasenschiebung verglichen mit einer achsparallelen Welle. Das stetige Neigungsspektrum ergibt überlagert die beobachtete endliche Phasenreduktion.

Matrizenoptik Bearbeiten

Wenn ein Gaußstrahl auf parabolische Linsen oder Spiegel fällt, ist der resultierende Strahl wieder ein Gaußstrahl. Damit lassen sich die Regeln der Matrizenoptik aus der geometrischen Optik vollständig übertragen. Definiert man den Parameter , so wirkt die ABCD-Matrix eines optischen Elementes auf ihn gemäß

Komplizierte Kombinationen von optischen Elementen lassen sich zu einer Matrix zusammenfassen. Dies vereinfacht die Berechnung der Strahlprofile bei Strahlengängen, beispielsweise beim Berechnen von Resonanzen optischer Resonatoren.

Herleitung Bearbeiten

Als Ausgangspunkt dienen die Maxwell-Gleichungen, aus denen eine Wellengleichung für elektromagnetische Wellen hergeleitet werden kann:

Ein allgemeiner Ansatz zur Lösung dieser Gleichung lautet

mit der Polarisation . Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung liefert die Helmholtzgleichung für die skalare Amplitude der Welle

mit der Kreiswellenzahl . Eine Lösung dieser Gleichung wären bspw. die ebenen Wellen, diese haben aber das Problem, dass sie im gesamten Raum die gleiche Amplitude haben, während Laserstrahlen räumlich stark begrenzt sind. Es ist deswegen sinnvoll für die Feldstärke den Ansatz

zu wählen. Dieser gibt in Ausbreitungsrichtung eine harmonische, räumliche Oszillation vor sowie zwei (bisher noch) beliebige Formen in transversaler Ebene (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung). Dieser Ansatz gilt weiterhin für den gesamten Raum, es wird deswegen noch eine weitere Annahme getroffen, die sogenannte Paraxialnäherung (engl. slowly varying envelope approximation) der Helmholtzgleichung, bei der gilt

mit der Bedeutung, dass sich das Profil des Strahls entlang der Ausbreitungsrichtung nur langsam ändert. Einsetzen des Ansatzes in die Helmholtzgleichung, Ausführen der Ableitung so weit wie möglich, Anwenden der Näherung (Terme mit mehr als einer z-Ableitung gleich null setzen) führt zu der Differentialgleichung

die in zwei unabhängige Gleichungen separiert werden kann:

Lösungen dieser Gleichungen lauten

wobei und die Hermite-Polynome sind. Diese Lösungen stellen die verschiedenen transversalen Moden eines Laserstrahls dar. Der Gauß-Strahl ist die Lösung für , für die die Hermite-Polynome Eins sind. Verwenden von Zylinderkoordinaten und Einsetzen der Lösungen in den Ansatz liefert die eingangs angeführte Feldverteilung: die TEM00-Mode oder Gauß-Strahl.

Literatur Bearbeiten

  • Dieter Meschede: Optik, Licht und Laser. 2. Auflage. B. G. Teubner, München 2005, ISBN 3-519-13248-6.
  • Anthony E. Siegman: Lasers. 1. Auflage. University Science Books, 1986, ISBN 0-935702-11-3, Kapitel Wave Optics and Gaussian Beams (amerikanisches Englisch).
  • Eugene Hecht: Optik. 4. Auflage. Oldenbourg Wissenschaftsverlag, München 2005, ISBN 3-486-27359-0.
  • Herwig Kogelnik, Tingye Li: Laser beams and Resonators. In: Applied Optics. Vol. 5, Nr. 10, 1966, S. 1550–1567, doi:10.1364/AO.5.001550.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. Norman Hodgson, Horst Weber: Laser Resonators and Beam Propagation: Fundamentals, Advanced Concepts, Applications. Springer, 2005, ISBN 0-387-25110-3, S. 81 (eingeschränkte Vorschau in der Google-Buchsuche).
wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele
Veröffentlichungsdatum:
Der Gauss Strahl auch gausssches Bundel ist ein Konzept der paraxialen Optik zur Beschreibung der Lichtausbreitung in dem sich Methoden der Strahlen und der Wellenoptik verbinden Im Querschnitt zeigt der Gauss Strahl ein Profil gemass einer Gauss Kurve mit einer langs der Ausbreitungsachse variierenden Breite Der Strahl verjungt sich naherungsweise linear bis zum Erreichen der schmalsten Stelle die als Fokus oder Taille bezeichnet wird und wachst danach ebenso wieder an Langs der Ausbreitungsachse zeigt die raumliche Intensitat des Strahls ein Lorentzprofil das Maximum liegt an der Stelle der Taille Das elektromagnetische Feld des Gauss Strahls ergibt sich aus den Maxwell Gleichungen fur konstante Frequenz w also aus der Helmholtz Gleichung nach paraxialer Naherung Bei gegebener Ausbreitungsrichtung und Wellenlange ist der Gauss Strahl vollstandig durch die Angabe des Orts und des Strahldurchmessers der Taille bestimmt Gauss Strahlen beschreiben besonders gut die Lichtemission vieler Laser siehe Beugungsmasszahl aber sie lassen sich auch in vielen anderen Situationen elektromagnetischer Strahlung einsetzen Besonders interessant sind sie weil sie einerseits den einfachen Rechenmethoden der Strahlenoptik gehorchen andererseits aber auch Phasenbetrachtungen wie in der Wellenoptik erlauben Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Beschreibung 1 1 Transversales Profil 1 2 Axiales Profil 1 3 Krummung 1 4 Divergenz 1 5 Gouy Phase 2 Matrizenoptik 3 Herleitung 4 Literatur 5 Weblinks 6 EinzelnachweiseMathematische Beschreibung Bearbeiten nbsp Gauss Strahl schematisch mit Abmessungen Strahlbegrenzung Wellenfronten und IntensitatsprofilZur mathematischen Beschreibung eines Gauss Strahls werden vorzugsweise Zylinderkoordinaten verwendet Das Koordinatensystem wird so gewahlt dass die Ausbreitungsrichtung die z Achse ist und die Strahltaille im Koordinatenursprung bei z 0 displaystyle z 0 nbsp liegt Die komplexe Amplitude des elektrischen Feldes unter Berucksichtigung der Phase in Abhangigkeit vom Abstand r displaystyle r nbsp zur z Achse und der Entfernung z displaystyle z nbsp zur Taille wird beschrieben durch die Funktion E r z E 0 w 0 w z e r w z 2 e i k r 2 2 R z e i k z z z displaystyle E r z E 0 frac w 0 w z cdot mathrm e left frac r w z right 2 cdot mathrm e ik frac r 2 2R z cdot mathrm e i kz zeta z nbsp Die Phasenflache nahert sich in grossem Abstand von der Taille der einer spharischen Welle Mit den Naherungen der unten angegebenen Funktionen R z displaystyle R z nbsp und z z displaystyle zeta z nbsp fur grosse z z R displaystyle z gg z R nbsp wird der Phasenfaktor e i k z r 2 2 z p 2 displaystyle mathrm e i k z frac r 2 2z mp frac pi 2 nbsp Dieses Ergebnis wird namlich ebenfalls nach Entwicklung des Quellabstands r displaystyle textstyle rho nbsp im Phasenfaktor e i k r displaystyle mathrm e ik rho nbsp einer Kugelwelle erhalten r r 2 z 2 z r 2 2 z displaystyle textstyle rho sqrt r 2 z 2 approx z r 2 2z nbsp Jedoch zeigt die fur den Gaussstrahl charakteristische Phasenreduktion von p displaystyle pi nbsp nach vollstandigem Durchgang durch die Taille der rotationssymmetrischen Grundmode den bedeutenden Unterschied zwischen der punktsymmetrisch strahlendenen Kugelwelle und dem gerichteten axialsymmetrischen Strahlenbundel siehe unten Gouy Phase Die zur Feldstarke gehorende Intensitat ist I r z 1 2 c 0 e 0 E r z 2 I 0 w 0 w z 2 e 2 r 2 w z 2 displaystyle I r z frac 1 2 c 0 varepsilon 0 left E r z right 2 I 0 left frac w 0 w z right 2 mathrm e frac 2r 2 w z 2 nbsp Dabei sind i displaystyle i nbsp die imaginare Einheit k 2 p l displaystyle k tfrac 2 pi lambda nbsp der Wellenvektor und E 0 displaystyle E 0 nbsp bzw I 0 displaystyle I 0 nbsp die Werte an der Stelle r 0 z 0 displaystyle r 0 z 0 nbsp Die Parameterfunktionen w z displaystyle w z nbsp R z displaystyle R z nbsp und z z displaystyle zeta z nbsp beschreiben die Geometrie des Gauss Strahls und werden im Folgenden erlautert Transversales Profil Bearbeiten Wie bereits erwahnt hat der Gauss Strahl ein transversales Profil gemass einer Gauss Kurve Als Strahlradius w displaystyle w nbsp definiert man bei einem bestimmten Wert z displaystyle z nbsp den Abstand zur z displaystyle z nbsp Achse an dem die Amplitude auf 1 e ca 37 die Intensitat also auf 1 e ca 13 5 gefallen ist Der minimale Strahlradius der an der Taille des Strahls also bei z 0 displaystyle z 0 nbsp vorliegt wird mit w 0 displaystyle w 0 nbsp bezeichnet In Abhangigkeit vom Abstand z displaystyle z nbsp entlang der Achse verhalt sich der Strahlradius dann im Nahfeld gemass w z w 0 1 z z R 2 displaystyle w z w 0 sqrt 1 left frac z z R right 2 nbsp mit der Rayleigh Lange z R p w 0 2 l displaystyle z R frac pi cdot w 0 2 lambda nbsp Axiales Profil Bearbeiten Im Abstand der Rayleighlange von der Strahltaille ist der Strahl auf w z R w 0 2 displaystyle w pm z R w 0 sqrt 2 nbsp verbreitert Die Rayleighlange ist folglich der Abstand bei dem sich die Strahlflache in Bezug auf die kleinste Taille verdoppelt hat Der Abstand zwischen dem linken und rechten Punkt mit z z R displaystyle z z R nbsp wird bi oder konfokaler Parameter genannt b 2 z R 2 p w 0 2 l displaystyle b 2z R frac 2 pi w 0 2 lambda nbsp Damit ist die Amplitude E 0 z R E 0 w 0 w z R 1 2 E 0 displaystyle E 0 z R E 0 tfrac w 0 w z R tfrac 1 sqrt 2 E 0 nbsp also an einer bestimmten z Koordinate auf das 1 2 displaystyle tfrac 1 sqrt 2 nbsp fache abgefallen Dies entspricht einem Lorentz Profil Krummung Bearbeiten nbsp Radius der Wellenfronten uber der Ausbreitungsrichtung Fur z 0 displaystyle z rightarrow 0 nbsp wird der Krummungsradius unendlich fur grosses z ergibt sich eine proportionale Abhangigkeit Der kleinste Krummungsradius liegt bei z R displaystyle z R nbsp Die Exponentialfunktionen mit imaginaren Exponenten bestimmen die Phasenlage der Welle bei r z displaystyle r z nbsp Dabei bestimmt der Parameter R z displaystyle R z nbsp anschaulich wie stark die Phase an achsfernen Punkten verzogert ist also wie stark die Wellenfronten gekrummt sind und heisst deshalb Krummungsradius Er berechnet sich zu R z z 1 z R z 2 displaystyle R z z left 1 left frac z R z right 2 right nbsp Direkt in der Strahltaille fur z 0 displaystyle z 0 nbsp ist der Krummungsradius unendlich und es liegen ebene Wellenfronten vor Im Vergleich zur ebenen homogenen Welle ist jedoch das Intensitatsprofil senkrecht zur Ausbreitungsrichtung nicht konstant weshalb der Strahl ausserhalb der Taille divergiert und die Wellenfronten sich krummen Divergenz Bearbeiten Betrachtet man den Verlauf von w z displaystyle w z nbsp fur z z R displaystyle z gg z R nbsp nahert er sich einer Geraden dies zeigt die Verbindung zur Strahlenoptik auf Wie stark der Gauss Strahl verlauft sich also transversal ausdehnt lasst sich dann durch den Winkel genauer Steigung da wegen Strahlparameterprodukt w 0 8 d i v l p M 2 displaystyle w 0 theta mathrm div tfrac lambda pi M 2 nbsp auch W i n k e l gt p 2 displaystyle mathrm Winkel gt pi 2 nbsp fur kleine Strahltaillen w 0 displaystyle w 0 nbsp moglich tan W i n k e l displaystyle rightarrow tan mathrm Winkel nbsp zwischen dieser Geraden und der z Achse angeben dies nennt man die Divergenz 8 d i v lim z arctan w z z w 0 z R displaystyle theta mathrm div lim limits z rightarrow infty arctan left frac w z z right frac w 0 z R nbsp Diese Beziehung fuhrt zu dem Effekt dass die Divergenz bei starker Fokussierung grosser wird Ist die Strahltaille schmal verlauft der Strahl in grossen Entfernungen stark auseinander Man muss also einen Kompromiss aus Fokussierung und Reichweite finden Gouy Phase Bearbeiten Ein Term der Wellenphase des Gauss Strahls wird Gouy Phase genannt z z arctan z z R displaystyle zeta z arctan left frac z z R right nbsp Der Phasenunterschied von p displaystyle pi nbsp der Grundmode beim Ubergang von z 0 displaystyle z ll 0 nbsp zu z 0 displaystyle z gg 0 nbsp entspricht dem Umklappen im Fokus nach der klassischen Strahlenoptik Beim vollstandigen Durchgang des Gauss Bundels durch seine Taille erfahrt der paraxiale Strahl im Vergleich zur ebenen Welle e i k z displaystyle e ikz nbsp die entsprechend einer halben Wellenlange geringere Phasenverschiebung im Fall der rotationssymmetrischen Grundmode Zuerst beobachtete Louis Georges Gouy experimentell im Jahre 1890 den zunachst uberraschenden Effekt Gauss Bundel sind gemass dem Fourier Theorem eine Superposition von Neigungsmoden ebener Wellen Die zur Bundelachse geneigten Spektralkomponenten propagieren in z Richtung gemessen offenbar mit einer kleineren Phasenschiebung verglichen mit einer achsparallelen Welle Das stetige Neigungsspektrum ergibt uberlagert die beobachtete endliche Phasenreduktion Matrizenoptik BearbeitenWenn ein Gaussstrahl auf parabolische 1 Linsen oder Spiegel fallt ist der resultierende Strahl wieder ein Gaussstrahl Damit lassen sich die Regeln der Matrizenoptik aus der geometrischen Optik vollstandig ubertragen Definiert man den Parameter q z z i z R displaystyle q z z iz R nbsp so wirkt die ABCD Matrix eines optischen Elementes auf ihn gemass q 1 z A q 0 B C q 0 D displaystyle q 1 z frac Aq 0 B Cq 0 D nbsp Komplizierte Kombinationen von optischen Elementen lassen sich zu einer Matrix zusammenfassen Dies vereinfacht die Berechnung der Strahlprofile bei Strahlengangen beispielsweise beim Berechnen von Resonanzen optischer Resonatoren Herleitung BearbeitenAls Ausgangspunkt dienen die Maxwell Gleichungen aus denen eine Wellengleichung fur elektromagnetische Wellen hergeleitet werden kann c 2 D E x t E x t displaystyle c 2 Delta vec E vec x t ddot vec E vec x t nbsp Ein allgemeiner Ansatz zur Losung dieser Gleichung lautet E x t e E x e i w t displaystyle vec E vec x t vec e E vec x e i omega t nbsp mit der Polarisation e displaystyle vec e nbsp Einsetzen des Ansatzes in die Wellengleichung liefert die Helmholtzgleichung fur die skalare Amplitude der Welle D E x k 2 E x displaystyle Delta E vec x k 2 E vec x nbsp mit der Kreiswellenzahl k w c displaystyle k omega c nbsp Eine Losung dieser Gleichung waren bspw die ebenen Wellen diese haben aber das Problem dass sie im gesamten Raum die gleiche Amplitude haben wahrend Laserstrahlen raumlich stark begrenzt sind Es ist deswegen sinnvoll fur die Feldstarke den Ansatz E x E 0 X x z Y y z e i k z displaystyle E vec x E 0 X x z Y y z e ikz nbsp zu wahlen Dieser gibt in Ausbreitungsrichtung eine harmonische raumliche Oszillation vor sowie zwei bisher noch beliebige Formen in transversaler Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung Dieser Ansatz gilt weiterhin fur den gesamten Raum es wird deswegen noch eine weitere Annahme getroffen die sogenannte Paraxialnaherung engl slowly varying envelope approximation der Helmholtzgleichung bei der gilt k z 2 z 2 X z Y z displaystyle k frac partial partial z gg frac partial 2 partial z 2 frac partial X partial z frac partial Y partial z nbsp mit der Bedeutung dass sich das Profil des Strahls entlang der Ausbreitungsrichtung nur langsam andert Einsetzen des Ansatzes in die Helmholtzgleichung Ausfuhren der Ableitung so weit wie moglich Anwenden der Naherung Terme mit mehr als einer z Ableitung gleich null setzen fuhrt zu der Differentialgleichung Y 2 X x 2 X 2 Y y 2 2 i k Y X z 2 i k X Y z 0 displaystyle Y frac partial 2 X partial x 2 X frac partial 2 Y partial y 2 2ikY frac partial X partial z 2ikX frac partial Y partial z 0 nbsp die in zwei unabhangige Gleichungen separiert werden kann 2 x 2 2 i k z X x z 0 2 y 2 2 i k z Y y z 0 displaystyle begin aligned left frac partial 2 partial x 2 2ik frac partial partial z right X x z amp 0 left frac partial 2 partial y 2 2ik frac partial partial z right Y y z amp 0 end aligned nbsp Losungen dieser Gleichungen lauten X m x z w 0 w z H m 2 x w z exp x 2 w 2 z i k x 2 2 R z i 2 m 1 2 z z Y n y z w 0 w z H n 2 y w z exp y 2 w 2 z i k y 2 2 R z i 2 n 1 2 z z displaystyle begin aligned X m x z amp sqrt frac w 0 w z H m left frac sqrt 2 x w z right exp left frac x 2 w 2 z i frac kx 2 2R z i frac 2m 1 2 zeta z right Y n y z amp sqrt frac w 0 w z H n left frac sqrt 2 y w z right exp left frac y 2 w 2 z i frac ky 2 2R z i frac 2n 1 2 zeta z right end aligned nbsp wobei H m displaystyle H m nbsp und H n displaystyle H n nbsp die Hermite Polynome sind Diese Losungen stellen die verschiedenen transversalen Moden eines Laserstrahls dar Der Gauss Strahl ist die Losung fur m n 0 displaystyle m n 0 nbsp fur die die Hermite Polynome Eins sind Verwenden von Zylinderkoordinaten und Einsetzen der Losungen in den Ansatz liefert die eingangs angefuhrte Feldverteilung die TEM00 Mode oder Gauss Strahl Literatur BearbeitenDieter Meschede Optik Licht und Laser 2 Auflage B G Teubner Munchen 2005 ISBN 3 519 13248 6 Anthony E Siegman Lasers 1 Auflage University Science Books 1986 ISBN 0 935702 11 3 Kapitel Wave Optics and Gaussian Beams amerikanisches Englisch Eugene Hecht Optik 4 Auflage Oldenbourg Wissenschaftsverlag Munchen 2005 ISBN 3 486 27359 0 Herwig Kogelnik Tingye Li Laser beams and Resonators In Applied Optics Vol 5 Nr 10 1966 S 1550 1567 doi 10 1364 AO 5 001550 Weblinks BearbeitenGaussstrahlen Visualisierungen zur Amplitude Phase und elektromagnetischen FeldstarkeEinzelnachweise Bearbeiten Norman Hodgson Horst Weber Laser Resonators and Beam Propagation Fundamentals Advanced Concepts Applications Springer 2005 ISBN 0 387 25110 3 S 81 eingeschrankte Vorschau in der Google Buchsuche Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Gauss Strahl amp oldid 219872728