Die Lorentzkurve nach Hendrik Antoon Lorentz oder Breit Wigner Funktion nach Gregory Breit und Eugene Wigner ist eine Kurve die in der Physik bei der Beschreibung von Resonanzen auftritt Dieser Artikel wurde in die Qualitatssicherung der Redaktion Physik eingetragen Wenn du dich mit dem Thema auskennst bist du herzlich eingeladen dich an der Prufung und moglichen Verbesserung des Artikels zu beteiligen Der Meinungsaustausch daruber findet derzeit nicht auf der Artikeldiskussionsseite sondern auf der Qualitatssicherungs Seite der Physik statt Dieser Artikel behandelt die Lorentzkurve in der Physik fur ihr Auftreten in der Stochastik siehe Cauchy Verteilung Fur die Lorenzkurve in der Okonomie siehe dort Eine Lorentzkurve mit w 0 1 displaystyle omega 0 1 und g 1 2 displaystyle gamma 1 2 Inhaltsverzeichnis 1 Mathematische Definition und Naherung 2 Physikalische Bedeutung 2 1 Klassische Physik 2 2 Teilchenphysik 3 Beispiel 3 1 Z0 Boson 4 LiteraturMathematische Definition und Naherung BearbeitenIn die Breit Wigner Funktion gehen zwei Parameter ein Der Parameter w 0 displaystyle omega 0 nbsp bestimmt die Position des Maximums der Parameter g displaystyle gamma nbsp wird Breite der Kurve genannt Aus physikalischer Sicht ist eine Interpretierbarkeit der Kurve nur fur w 0 displaystyle omega geq 0 nbsp gegeben da mit w displaystyle omega nbsp in der Regel eine Kreisfrequenz assoziiert ist und negative Frequenzen physikalisch unsinnig sind Die Funktionsvorschrift lautet f w 1 w 2 w 0 2 2 g 2 w 0 2 displaystyle f omega frac 1 omega 2 omega 0 2 2 gamma 2 omega 0 2 nbsp Eine andere Form der Kurve erhalt man durch Reparametrisierung indem man statt der Parameter w 0 displaystyle omega 0 nbsp und g displaystyle gamma nbsp folgenden Satz Parameter verwendet w 0 2 w 0 2 1 g 2 w 0 2 g 2 2 w 0 2 1 g 2 w 0 2 1 displaystyle omega 0 2 omega 0 2 sqrt 1 frac gamma 2 omega 0 2 qquad gamma 2 2 omega 0 2 left sqrt 1 frac gamma 2 omega 0 2 1 right nbsp Dann ist f w 1 w 2 w 0 2 2 g 2 w 2 displaystyle f omega frac 1 omega 2 omega 0 2 2 gamma 2 omega 2 nbsp insbesondere gilt fur g 2 w 0 2 1 displaystyle gamma 2 omega 0 2 ll 1 nbsp dass die gestrichenen und ungestrichenen Parameter nahezu identisch werden Die erste Form wird fur gewohnlich in der Teilchenphysik bevorzugt die zweite Form in der klassischen Physik da sie sich in ihren jeweiligen Gebieten aus der Physik in den entsprechenden Formen ergeben Zur Ruckkonversion dienen die Beziehungen w 0 2 w 0 2 g 2 2 g 2 g 2 2 4 w 0 2 g 2 2 w 0 2 g 2 displaystyle omega 0 2 omega 0 2 frac gamma 2 2 qquad gamma 2 frac gamma 2 2 frac 4 omega 0 2 gamma 2 2 omega 0 2 gamma 2 nbsp Entgegen teilweise vertretener Auffassung ist weder g displaystyle gamma nbsp noch g displaystyle gamma nbsp die Halbwertsbreite FWHM der Kurve Diese ist stattdessen FWHM w 0 2 g w 0 w 0 2 g w 0 displaystyle text FWHM sqrt omega 0 2 gamma omega 0 sqrt omega 0 2 gamma omega 0 nbsp und ergibt sich fur g 2 w 0 2 1 displaystyle gamma 2 omega 0 2 ll 1 nbsp nur ungefahr zu g displaystyle gamma nbsp Fur w w 0 displaystyle omega approx omega 0 nbsp und g w 0 displaystyle gamma ll omega 0 nbsp kann die Lorentzkurve durch f w 1 4 w 0 2 1 w w 0 2 g 2 4 displaystyle f omega frac 1 4 omega 0 2 frac 1 omega omega 0 2 gamma 2 4 nbsp approximiert werden wobei g displaystyle gamma nbsp die Halbwertsbreite ist Sie ist dann bis auf einen Normierungsfaktor identisch mit der in der mathematischen Wahrscheinlichkeitstheorie als Cauchy Verteilung bezeichneten Wahrscheinlichkeitsdichte Wenn von der Lorentzkurve die Rede ist ist teilweise auch die approximierte Fassung gemeint Physikalische Bedeutung BearbeitenKlassische Physik Bearbeiten Die Differentialgleichung fur den gedampften harmonischen Oszillator d 2 d t 2 g d d t w 0 2 x t F t displaystyle left frac mathrm d 2 mathrm d t 2 gamma frac mathrm d mathrm d t omega 0 2 right x t F t nbsp kann durch Fourier Transformation in die algebraische Gleichung w 2 i g w w 0 2 x w F w displaystyle left omega 2 mathrm i gamma omega omega 0 2 right tilde x omega tilde F omega nbsp uberfuhrt werden Die in diesen Gleichungen auftretende Grossen sind die Dampfungskonstante g displaystyle gamma nbsp die Resonanzfrequenz des ungedampften harmonischen Oszillators w 0 displaystyle omega 0 nbsp eine anregende Funktion F t displaystyle F t nbsp Die Gleichung kann nun elementar gelost werden ihre Losung ist x w F w w 2 i g w w 0 2 displaystyle tilde x omega frac tilde F omega omega 2 mathrm i gamma omega omega 0 2 nbsp und ihr Betragsquadrat f w x w x w F F w 2 w 0 2 2 g 2 w 2 displaystyle f omega tilde x omega tilde x omega frac tilde F tilde F omega 2 omega 0 2 2 gamma 2 omega 2 nbsp die Lorentzkurve in der zweiten Parametrisierung Teilchenphysik Bearbeiten In der Teilchenphysik sind die Propagatoren die Umkehrfunktionen der Bewegungsgleichungen fur die Teilchen Diese haben einen Pol bei der Masse m displaystyle m nbsp dieser Teilchen Um dies zu umgehen fuhrt man eine sogenannte komplexe Masse ein die die Zerfallsbreite G displaystyle Gamma nbsp des jeweiligen Teilchens berucksichtigt Dann ist der Propagator fur einen bestimmten Viererimpuls k displaystyle k nbsp in naturlichen Einheiten proportional zu P k 2 1 k 2 m 2 i G m displaystyle P k 2 sim frac 1 k 2 m 2 mathrm i Gamma m nbsp und sein Betragsquadrat ist die Lorentzkurve in der ersten Parametrisierung P k 2 P k 2 1 k 2 m 2 2 G 2 m 2 displaystyle P k 2 P k 2 sim frac 1 k 2 m 2 2 Gamma 2 m 2 nbsp wenn man k w displaystyle k omega nbsp und m w 0 displaystyle m omega 0 nbsp identifiziert Beispiel BearbeitenZ0 Boson Bearbeiten Speziell fur den Zerfall des Z0 Bosons ergibt sich die Breit Wigner Formel zu s i f s 12 p ℏ c 2 G i G f s M Z 2 c 4 2 M Z 2 c 4 G tot 2 displaystyle sigma i rightarrow f s 12 pi hbar c 2 cdot frac Gamma i cdot Gamma f s M Z 2 c 4 2 M Z 2 c 4 Gamma text tot 2 nbsp Hierbei ist G i displaystyle Gamma i nbsp die Partialbreite des Eingangskanals d h fur den Zerfall Z0 e e G f displaystyle Gamma f nbsp die Partialbreite des Ausgangskanals G tot displaystyle Gamma text tot nbsp die Summe der Partialbreiten fur alle moglichen Zerfalle in Fermion Antifermion Paare s displaystyle s nbsp das Quadrat der Energie im Schwerpunktssystem ℏ displaystyle hbar nbsp das reduzierte Plancksche Wirkungsquantum c displaystyle c nbsp die Lichtgeschwindigkeit Literatur BearbeitenG Breit E Wigner Capture of Slow Neutrons In Phys Rev Band 49 1 April 1936 S 512 531 doi 10 1103 physrev 49 519 englisch smu edu PDF 1 1 MB Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Lorentzkurve amp oldid 220417401
