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Filtrierung Mathematik Die Filtrierung auch Filtration oder Filterung genannt 1 ist ein Begriff aus der Mathematik der v

Filtrierung (Mathematik)

Die Filtrierung, auch Filtration oder Filterung genannt, ist ein Begriff aus der Mathematik, der vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der algebraischen Topologie verwendet wird. Es handelt sich um eine bestimmte Eigenschaft einer Familie von Mengen.

Definition Bearbeiten

Eine (aufsteigende) Filtrierung einer Menge (oft zusammen mit einer weiteren Struktur wie einer Topologie, einer algebraischen Struktur oder der Eigenschaft der Messbarkeit) ist eine Familie von Subobjekten und eine total geordnete Indexmenge , sodass gilt:

Analog verwendet man auch den Begriff der absteigenden Filtrierung, das heißt für .

Manchmal werden zusätzlich noch andere Eigenschaften gefordert, wie beispielsweise bei der Filtrierung einer Algebra, siehe Filtrierung und Algebra.

Filtrierungen in verschiedenen Strukturen Bearbeiten

Gruppen Bearbeiten

Eine absteigende Filtrierung einer Gruppe besteht aus Untergruppen für alle , sodass für alle .

Die Filtrierung heißt erschöpfend, falls , sie heißt Hausdorff oder separiert, wenn . Sie ist nach oben beschränkt, wenn es ein gibt mit bzw. nach unten beschränkt, falls für ein .

Algebra Bearbeiten

Eine aufsteigende Filtrierung einer Algebra über einem Körper ist eine Sequenz von Untermoduln von , sodass

und die zudem mit der Multiplikation kompatibel ist:

Beispiel Bearbeiten

  1. Für einen Körper ist der Polynomring in Variablen natürlich filtriert mit .
  2. Jede graduierte Algebra ist filtriert. Sei ein Körper, , wobei "" definiert ist durch die Kommutatorrelation , d. h. ist nicht kommutativ. Dann ist ein Beispiel für eine Algebra, die filtriert ist, aber nicht graduiert.

Wahrscheinlichkeitstheorie Bearbeiten

Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum, eine Indexmenge.

Dann heißt die Familie von σ-Algebren auf

eine Filtrierung (in oder auf ), falls:

Ist eine Filtrierung, so wird auch ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum genannt.

Literatur Bearbeiten

  • John Michael Boardman, M.D.: Homotopy Invariant Algebraic Structures, AMS SpecialsSession: A Conference in Honor of Mike Boardman (Contemporary Mathematics). American Mathematical Soc.
  • John McCleary: A User’s Guide to Spectral Sequences (= Cambridge studies in advanced mathematics. Nr. 58). 2. Auflage. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-56759-9.
  • Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.

Weblinks Bearbeiten

Einzelnachweise Bearbeiten

  1. ↑ Filtration. In: Guido Walz (Hrsg.): Lexikon der Mathematik. 1. Auflage. Spektrum Akademischer Verlag, Mannheim/Heidelberg 2000, ISBN 3-8274-0439-8.
  2. ↑ Albrecht Dold: Lectures on Algebraic Topology. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1972, ISBN 978-3-662-00756-3, S. 85.
  3. N. Bourbaki: Commutative Algebra. 1. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 1989, ISBN 978-3-540-64239-8, S. 162.
  4. Ernst Kunz: Einführung in die algebraische Geometrie. Vieweg+Teubner Verlag, 1997, ISBN 978-3-528-07287-2, S. 238.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Filtrierung auch Filtration oder Filterung genannt 1 ist ein Begriff aus der Mathematik der vor allem in der Wahrscheinlichkeitstheorie und in der algebraischen Topologie verwendet wird Es handelt sich um eine bestimmte Eigenschaft einer Familie von Mengen Inhaltsverzeichnis 1 Definition 2 Filtrierungen in verschiedenen Strukturen 2 1 Gruppen 2 2 Algebra 2 2 1 Beispiel 2 3 Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Literatur 4 Weblinks 5 EinzelnachweiseDefinition BearbeitenEine aufsteigende Filtrierung F displaystyle mathcal F nbsp einer Menge S displaystyle S nbsp oft zusammen mit einer weiteren Struktur wie einer Topologie einer algebraischen Struktur oder der Eigenschaft der Messbarkeit ist eine Familie S i i I displaystyle S i i in I nbsp von Subobjekten und eine total geordnete Indexmenge I displaystyle I nbsp sodass gilt falls i j displaystyle i leq j nbsp in I displaystyle I nbsp dann ist S i S j displaystyle S i subset S j nbsp Analog verwendet man auch den Begriff der absteigenden Filtrierung das heisst S i S j displaystyle S i supset S j nbsp fur i j displaystyle i leq j nbsp Manchmal werden zusatzlich noch andere Eigenschaften gefordert wie beispielsweise bei der Filtrierung einer Algebra siehe Filtrierung und Algebra 2 1 3 Filtrierungen in verschiedenen Strukturen BearbeitenGruppen Bearbeiten Eine absteigende Filtrierung einer Gruppe G displaystyle G nbsp besteht aus Untergruppen F i G textstyle F i G nbsp fur alle i Z displaystyle i in mathbb Z nbsp sodass F i 1 G F i G textstyle F i 1 G subset F i G nbsp fur alle i displaystyle i nbsp Die Filtrierung heisst erschopfend falls G i Z F i G textstyle G cup i in mathbb Z F i G nbsp sie heisst Hausdorff oder separiert wenn i Z F i G 0 textstyle cap i in mathbb Z F i G 0 nbsp Sie ist nach oben beschrankt wenn es ein i Z displaystyle i in mathbb Z nbsp gibt mit F i G G textstyle F i G G nbsp bzw nach unten beschrankt falls F i G 0 textstyle F i G 0 nbsp fur ein i Z displaystyle i in mathbb Z nbsp 2 Algebra Bearbeiten Eine aufsteigende Filtrierung einer Algebra A displaystyle A nbsp uber einem Korper K displaystyle K nbsp ist eine Sequenz 4 0 F 0 F 1 F i A displaystyle 0 subset F 0 subset F 1 subset cdots subset F i subset cdots subset A nbsp von Untermoduln von A displaystyle A nbsp sodass A i N F i displaystyle A bigcup i in mathbb N F i nbsp und die zudem mit der Multiplikation kompatibel ist m n N F m F n F n m displaystyle forall m n in mathbb N qquad F m cdot F n subset F n m nbsp Beispiel Bearbeiten Fur einen Korper K displaystyle K nbsp ist der Polynomring K X 1 X n displaystyle K X 1 X n nbsp in n displaystyle n nbsp Variablen naturlich filtriert mit F i K X 1 k 1 X n k n k 1 k n i displaystyle F i K X 1 k 1 cdots X n k n k 1 cdots k n i nbsp Jede graduierte Algebra ist filtriert Sei K displaystyle K nbsp ein Korper A K x y displaystyle mathcal A K x y sim nbsp wobei displaystyle sim nbsp definiert ist durch die Kommutatorrelation x y 1 displaystyle x y 1 nbsp d h A displaystyle mathcal A nbsp ist nicht kommutativ Dann ist A displaystyle mathcal A nbsp ein Beispiel fur eine Algebra die filtriert ist aber nicht graduiert Wahrscheinlichkeitstheorie Bearbeiten Hauptartikel Filtrierung Wahrscheinlichkeitstheorie Sei W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp ein Wahrscheinlichkeitsraum T R displaystyle T subset mathbb R nbsp eine Indexmenge Dann heisst die Familie von s Algebren auf W displaystyle Omega nbsp F F t t T displaystyle mathcal F mathcal F t t in T nbsp eine Filtrierung in A displaystyle mathcal A nbsp oder auf W A P displaystyle Omega mathcal A P nbsp falls fur alle s t T displaystyle s t in T nbsp mit s t displaystyle s leq t nbsp gilt F s F t A displaystyle mathcal F s subseteq mathcal F t subseteq mathcal A nbsp Ist F F t t T displaystyle mathcal F mathcal F t t in T nbsp eine Filtrierung so wird W A F t t T P displaystyle Omega mathcal A mathcal F t t in T P nbsp auch ein filtrierter Wahrscheinlichkeitsraum genannt Literatur BearbeitenJohn Michael Boardman M D Homotopy Invariant Algebraic Structures AMS SpecialsSession A Conference in Honor of Mike Boardman Contemporary Mathematics American Mathematical Soc John McCleary A User s Guide to Spectral Sequences Cambridge studies in advanced mathematics Nr 58 2 Auflage Cambridge University Press 2001 ISBN 0 521 56759 9 Achim Klenke Wahrscheinlichkeitstheorie 3 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 2013 ISBN 978 3 642 36017 6 doi 10 1007 978 3 642 36018 3 Weblinks BearbeitenEric W Weisstein Filtration In MathWorld englisch Einzelnachweise Bearbeiten a b Filtration In Guido Walz Hrsg Lexikon der Mathematik 1 Auflage Spektrum Akademischer Verlag Mannheim Heidelberg 2000 ISBN 3 8274 0439 8 a b Albrecht Dold Lectures on Algebraic Topology 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1972 ISBN 978 3 662 00756 3 S 85 N Bourbaki Commutative Algebra 1 Auflage Springer Verlag Berlin Heidelberg 1989 ISBN 978 3 540 64239 8 S 162 Ernst Kunz Einfuhrung in die algebraische Geometrie Vieweg Teubner Verlag 1997 ISBN 978 3 528 07287 2 S 238 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Filtrierung Mathematik amp oldid 241973007