Fejér Polynome In der Mathematik ist für eine 2 π displaystyle 2 pi periodische stetige Funktion f displaystyle f das he

Fejér-Polynome

In der Mathematik ist für eine -periodische, stetige Funktion , das heißt , das -te Fejér-Polynom definiert durch

wobei

der -te Fourier-Koeffizient ist. Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejér einen konstruktiven Beweis für den Satz von Weierstraß, der aussagt, dass jede -periodische, stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmäßig approximiert werden kann. Diese Aussage wird auch als Satz von Fejér bezeichnet.

Konvergenzaussagen – Satz von Fejér Bearbeiten

Fejér führte den Beweis über das (erste) arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe

wobei

die -te Partialsumme ist, indem er zeigte:

Für jede -periodische, stetige Funktion konvergiert die Folge der Fejér-Polynome gleichmäßig gegen , d. h.

Fejér-Kern Bearbeiten

Der n-te Fejér-Kern ist definiert durch

Faltung Bearbeiten

Die Fejér-Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejér-Kern darstellen. Es gilt

Arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns Bearbeiten

Aus der Interpretation der Fejér-Polynome als (erstes) arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejér-Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet-Kerns

wobei der Dirichlet-Kern definiert ist über

Positiver reeller Kern Bearbeiten

Neben der Summenschreibweise über komplexe Funktionen lässt sich der Fejér-Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen. Hierzu wird verwendet, dass der Dirichlet-Kern die Darstellung

besitzt. Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejér-Kerns mit den Dirichlet-Kernen und der Regel

ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejér-Kerns.

Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivität des Fejér-Kern kann für den Nachweis der gleichmäßigen Konvergenz der Fejér-Polynome der Satz von Bohman-Korowkin angewendet werden, der besagt, dass aus der gleichmäßigen Konvergenz der Testfunktionen und die gleichmäßige Konvergenz für alle Funktionen folgt.

Konvergenz in anderen Funktionenräumen Bearbeiten

Auch für nichtstetige Funktionen anderer Funktionenräume, z. B. der Lebesgue-integrierbaren Funktionen, lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben.

Quantitative Aussagen Bearbeiten

Für Hölder-stetige Funktionen lassen sich direkte Abschätzungen zum Konvergenzverhalten der Fejér-Polynome angeben.

Gehört für ein zur Klasse der Hölder-stetigen Funktionen , d. h.

so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen:

Literatur Bearbeiten

N. I. Achieser: Vorlesungen über Approximationstheorie. Akademie-Verlag, Berlin 1953.
P. L. Butzer, R. J. Nessel: Fourier Analysis And Approximation, Vol. 1: One-Dimensional Theory. Birkhäuser, Basel 1971.
Leopold Fejér: Über trigonometrische Polynome. In: J. Reine Angew. Math. Band 146, 1916, Seiten 53–82.
Leopold Fejér: Gestaltliches über die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe. In: Z. Angew. Math. Mech. Band 13, 1933, Seiten 80–88.
Antoni Zygmund: Trigonometric Series. Cambridge University Press, Cambridge 1968, 2nd Edition.

wikipedia, wiki, deutsches, deutschland, buch, bücher, bibliothek artikel lesen, herunterladen kostenlos kostenloser herunterladen, MP3, Video, MP4, 3GP, JPG, JPEG, GIF, PNG, Bild, Musik, Lied, Film, Buch, Spiel, Spiele

Veröffentlichungsdatum: Dezember 01, 2023, 12:24 pm

In der Mathematik ist fur eine 2 p displaystyle 2 pi periodische stetige Funktion f displaystyle f das heisst f C 2 p displaystyle f in C 2 pi das n displaystyle n te Fejer Polynom s n f displaystyle sigma n f definiert durch s n f x k n n 1 k n 1 f k e i k x displaystyle sigma n f x sum k n n left 1 frac left k right n 1 right hat f k mathrm e ikx wobei f k 1 2 p p p f t e i k t d t displaystyle hat f k frac 1 2 pi int pi pi f t mathrm e ikt mathrm d t der k displaystyle k te Fourier Koeffizient ist Mit Hilfe dieser trigonometrischen Polynome lieferte Fejer einen konstruktiven Beweis fur den Satz von Weierstrass der aussagt dass jede 2 p displaystyle 2 pi periodische stetige Funktion durch trigonometrische Polynome gleichmassig approximiert werden kann Diese Aussage wird auch als Satz von Fejer bezeichnet Inhaltsverzeichnis 1 Konvergenzaussagen Satz von Fejer 2 Fejer Kern 2 1 Faltung 2 2 Arithmetisches Mittel des Dirichlet Kerns 2 3 Positiver reeller Kern 3 Konvergenz in anderen Funktionenraumen 4 Quantitative Aussagen 5 LiteraturKonvergenzaussagen Satz von Fejer Bearbeiten Hauptartikel Satz von Fejer Fejer fuhrte den Beweis uber das erste arithmetische Mittel der Partialsummen der Fourierreihe s n f x 1 n 1 k 0 n S k f x displaystyle sigma n f x frac 1 n 1 sum k 0 n S k f x nbsp wobei S k f x j k k f j e i j x displaystyle S k f x sum j k k hat f j mathrm e ijx nbsp die k displaystyle k nbsp te Partialsumme ist indem er zeigte Fur jede 2 p displaystyle 2 pi nbsp periodische stetige Funktion f displaystyle f nbsp konvergiert die Folge der Fejer Polynome s n f displaystyle sigma n f nbsp gleichmassig gegen f displaystyle f nbsp d h f C 2 p lim n s n f f C 2 p lim n max x p p s n f x f x 0 displaystyle f in C 2 pi Rightarrow lim limits n to infty sigma n f f C 2 pi lim limits n to infty left max limits x in pi pi sigma n f x f x right 0 nbsp Fejer Kern BearbeitenDer n te Fejer Kern s n x displaystyle sigma n x nbsp ist definiert durch s n x k n n 1 k n 1 e i k x displaystyle sigma n x sum k n n left 1 frac left k right n 1 right mathrm e ikx nbsp Faltung Bearbeiten Die Fejer Polynome lassen sich als Faltung mit dem Fejer Kern darstellen Es gilt s n f x s n f x 1 2 p p p f t s n x t d t displaystyle sigma n f x sigma n f x frac 1 2 pi int pi pi f t sigma n x t mathrm d t nbsp Arithmetisches Mittel des Dirichlet Kerns Bearbeiten Aus der Interpretation der Fejer Polynome als erstes arithmetisches Mittel der Partialsummen folgt die Darstellung des Fejer Kerns als arithmetisches Mittel des Dirichlet Kerns s n x 1 n 1 k 0 n D k x displaystyle sigma n x frac 1 n 1 sum k 0 n D k x nbsp wobei der Dirichlet Kern definiert ist uber D n x k n n e i k x displaystyle D n x sum k n n mathrm e ikx nbsp Positiver reeller Kern Bearbeiten Neben der Summenschreibweise uber komplexe Funktionen lasst sich der Fejer Kern auch in einer geschlossenen Form darstellen Hierzu wird verwendet dass der Dirichlet Kern die Darstellung D k x 1 2 j 1 k cos j x sin 2 k 1 2 x sin x 2 displaystyle D k x 1 2 sum j 1 k cos jx frac sin left frac 2k 1 2 x right sin x 2 nbsp besitzt Mit Hilfe des obigen Zusammenhangs des Fejer Kerns mit den Dirichlet Kernen und der Regel k 0 n sin 2 k 1 2 x sin 2 n 1 2 x sin x 2 displaystyle sum k 0 n sin left frac 2k 1 2 x right frac sin 2 left frac n 1 2 x right sin left x 2 right nbsp ergibt sich die folgende geschlossene Darstellung des Fejer Kerns s n x 1 n 1 sin n 1 2 x sin x 2 2 x 2 j p n 1 x 2 j p j Z displaystyle sigma n x begin cases frac 1 n 1 left frac sin left frac n 1 2 x right sin frac x 2 right 2 amp x neq 2j pi n 1 amp x 2j pi end cases j in mathbb Z nbsp Aufgrund der daraus ersichtlichen Positivitat des Fejer Kern kann fur den Nachweis der gleichmassigen Konvergenz der Fejer Polynome der Satz von Bohman Korowkin angewendet werden der besagt dass aus der gleichmassigen Konvergenz der Testfunktionen sin displaystyle sin nbsp und cos displaystyle cos nbsp die gleichmassige Konvergenz fur alle Funktionen f C 2 p displaystyle f in C 2 pi nbsp folgt Konvergenz in anderen Funktionenraumen BearbeitenAuch fur nichtstetige Funktionen anderer Funktionenraume z B der Lebesgue integrierbaren Funktionen lassen sich Aussagen zur Approximierbarkeit angeben Quantitative Aussagen BearbeitenFur Holder stetige Funktionen f displaystyle f nbsp lassen sich direkte Abschatzungen zum Konvergenzverhalten der Fejer Polynome angeben Gehort f displaystyle f nbsp fur ein 0 lt a 1 displaystyle 0 lt alpha leq 1 nbsp zur Klasse der Holder stetigen Funktionen C a displaystyle C alpha nbsp d h f h f C 2 p O h a h 0 displaystyle f cdot h f cdot C 2 pi mathcal O h alpha h to 0 nbsp so gelten die folgenden quantitativen Approximationsaussagen s n f f C 2 p O 1 n a 0 lt a lt 1 O log n n a 1 n displaystyle sigma n f f C 2 pi begin cases mathcal O frac 1 n alpha amp 0 lt alpha lt 1 mathcal O left frac log n n right amp alpha 1 end cases n to infty nbsp Literatur BearbeitenN I Achieser Vorlesungen uber Approximationstheorie Akademie Verlag Berlin 1953 P L Butzer R J Nessel Fourier Analysis And Approximation Vol 1 One Dimensional Theory Birkhauser Basel 1971 Leopold Fejer Uber trigonometrische Polynome In J Reine Angew Math Band 146 1916 Seiten 53 82 Leopold Fejer Gestaltliches uber die Partialsummen und ihre Mittelwerte bei der Fourierreihe und der Potenzreihe In Z Angew Math Mech Band 13 1933 Seiten 80 88 Antoni Zygmund Trigonometric Series Cambridge University Press Cambridge 1968 2nd Edition Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Fejer Polynome amp oldid 221095582 Fejer Kern