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Korowkin Approximation Bei der handelt es sich um mathematische Konvergenzaussagen in denen die Approximation von Funkti

Korowkin-Approximation

Bei der Korowkin-Approximation handelt es sich um mathematische Konvergenzaussagen, in denen die Approximation von Funktionen durch gewisse Folgen von Funktionen untersucht wird. So werden in einer Anwendung (s. u.) stetige Funktionen durch Polynome approximiert. Die Besonderheit in der Korowkin-Approximation besteht darin, dass man zu Konvergenzaussagen für ganze Approximationsverfahren kommt, indem man die Konvergenz des Verfahrens nur an endlich vielen Funktionen prüft. Der Ausgangspunkt ist ein Satz von Pawel Petrowitsch Korowkin aus dem Jahre 1953.

Satz von Korowkin Bearbeiten

Im folgenden Satz sei der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall . Ferner stehe für die Einschränkung der Funktion auf . Für ist das die konstante Funktion mit dem Wert 1, für erhält man die identische Funktion , für hat man die Einschränkung der Quadratfunktion auf . Der Satz von Korowkin lautet wie folgt:

Ist eine Folge von positiven linearen Operatoren und ist gleichmäßig auf für , so ist gleichmäßig auf für alle .

Fasst man die Folge als ein Approximationsverfahren auf, so muss man die Konvergenz des Verfahrens im Sinne obigen Satzes nur für die drei Funktionen , nachweisen. Es folgt dann die Konvergenz des Verfahrens für alle Funktionen.

Anwendung Bearbeiten

Zur Verdeutlichung soll hier die wohl bekannteste Anwendung wiedergegeben werden, eine Herleitung des weierstraßschen Approximationssatzes: Für sei das -te Bernsteinpolynom von , d. h.

.

Dann ist eine Folge positiver linearer Operatoren. Die Konvergenz für kann durch sehr elementare Umformungen an den auftretenden Summen gezeigt werden. Der Satz von Korowkin liefert dann, dass für alle stetigen Funktionen gleichmäßig auf . Das bedeutet also, dass jede stetige Funktion auf [0,1] gleichmäßig durch Polynome approximiert werden kann, d. h., man erhält so eine komfortable Herleitung des weierstraßschen Approximationssatzes. Diese Argumentation lässt sich leicht auf das allgemeinere Intervall ausdehnen.

Korowkin-Approximation Bearbeiten

Die Erweiterungen des Satzes von Korowkin auf allgemeinere Situationen bilden die sogenannte Korowkin-Approximationstheorie, die sich auf funktionalanalytische Methoden stützt. Man geht darin der folgenden Frage nach: In welchen Situationen kann man auf Konvergenzaussagen der Form schließen, indem man die Konvergenz für nur endlich viele der Funktionen nachweisen muss?

Dabei kann man den Raum einmal als Prototyp einer Banachalgebra ansehen und in diesem Kontext zu allgemeineren Konvergenzaussagen kommen, oder man versucht durch allgemeinere geordnete Vektorräume zu ersetzen. So gilt z. B. folgender Satz in Lp-Räumen, :

Ist eine Folge positiver linearer Operatoren und gilt für alle , wobei , so folgt bereits für alle .

In den bisher betrachteten Beispielen hatte man Konvergenzaussagen der Art für alle aus einem geeigneten Raum , d. h. punktweise auf . Weitere Verallgemeinerungen erhält man, wenn man den id-Operator durch andere Operatoren ersetzt, also Konvergenzaussagen der Art punktweise untersucht. Schließlich kann man von den Operatoren auf Operatoren von in andere Räume verallgemeinern, z. B. auf Funktionale . Einen guten Überblick liefert das unten angegebene Buch von Altomare und Campiti.

Literatur Bearbeiten

  • P. P. Korovkin: Über die Konvergenz positiver linearer Operatoren im Raum stetiger Funktionen. Dokl. Akad. Nauk. SSSR, Band 90, 1953, Seiten 961–964 (russisch).
  • F. Altomare, M. Campiti: Korovkin-type Approximation Theory and its Applications. de Gruyter Studies in Mathematics, Band 17, 1994, ISBN 978-3-11-014178-8.
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Bei der Korowkin Approximation handelt es sich um mathematische Konvergenzaussagen in denen die Approximation von Funktionen durch gewisse Folgen von Funktionen untersucht wird So werden in einer Anwendung s u stetige Funktionen durch Polynome approximiert Die Besonderheit in der Korowkin Approximation besteht darin dass man zu Konvergenzaussagen fur ganze Approximationsverfahren kommt indem man die Konvergenz des Verfahrens nur an endlich vielen Funktionen pruft Der Ausgangspunkt ist ein Satz von Pawel Petrowitsch Korowkin aus dem Jahre 1953 Inhaltsverzeichnis 1 Satz von Korowkin 2 Anwendung 3 Korowkin Approximation 4 LiteraturSatz von Korowkin BearbeitenIm folgenden Satz sei C a b displaystyle C a b nbsp der Raum der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Intervall a b displaystyle a b nbsp Ferner stehe x k displaystyle x k nbsp fur die Einschrankung der Funktion x x k displaystyle x mapsto x k nbsp auf a b displaystyle a b nbsp Fur k 0 displaystyle k 0 nbsp ist das die konstante 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folgender Satz in Lp Raumen 1 p lt displaystyle 1 leq p lt infty nbsp Ist P n n displaystyle P n n nbsp eine Folge positiver linearer Operatoren L p 1 L p 1 displaystyle L p 1 infty rightarrow L p 1 infty nbsp und gilt P n f f p n 0 displaystyle P n f f p stackrel n rightarrow 0 nbsp fur alle f x l 1 x l 2 x l 3 displaystyle f in x lambda 1 x lambda 2 x lambda 3 nbsp wobei 1 p lt l 1 lt l 2 lt l 3 displaystyle textstyle frac 1 p lt lambda 1 lt lambda 2 lt lambda 3 nbsp so folgt bereits P n f f p n 0 displaystyle P n f f p stackrel n rightarrow 0 nbsp fur alle f L p 1 displaystyle f in L p 1 infty nbsp In den bisher betrachteten Beispielen hatte man Konvergenzaussagen der Art P n f f displaystyle P n f rightarrow f nbsp fur alle f displaystyle f nbsp aus einem geeigneten Raum X displaystyle X nbsp d h P n i d X displaystyle P n rightarrow mathrm id X nbsp punktweise auf X displaystyle X nbsp Weitere Verallgemeinerungen erhalt man wenn man den id Operator durch andere Operatoren ersetzt also Konvergenzaussagen der Art P n S displaystyle P n rightarrow S nbsp punktweise untersucht Schliesslich kann man von den Operatoren X X displaystyle X rightarrow X nbsp auf Operatoren von X displaystyle X nbsp in andere Raume verallgemeinern z B auf Funktionale X R displaystyle X rightarrow mathbb R nbsp Einen guten Uberblick liefert das unten angegebene Buch von Altomare und Campiti Literatur BearbeitenP P Korovkin Uber die Konvergenz positiver linearer Operatoren im Raum stetiger Funktionen Dokl Akad Nauk SSSR Band 90 1953 Seiten 961 964 russisch F Altomare M Campiti Korovkin type Approximation Theory and its Applications de Gruyter Studies in Mathematics Band 17 1994 ISBN 978 3 11 014178 8 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Korowkin Approximation amp oldid 225361198