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Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik Die ist eine Verallgemeinerung der komplexen Wechselstromrechnung

Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik

Die Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik ist eine Verallgemeinerung der komplexen Wechselstromrechnung auf exponentiell anschwellende und abklingende sinusförmige Signale. Dadurch erfolgt der Übergang von der imaginären Frequenz auf die komplexe Frequenz . Diese formale Erweiterung hat verschiedene Vorteile für die theoretische Behandlung von Wechselstromnetzwerken, insbesondere für die Schaltungssynthese. Gleichzeitig harmoniert diese Darstellung mit den Ergebnissen der Laplace-Transformation und der Operatorenrechnung nach Mikusiński.

Voraussetzungen Bearbeiten

Zum Verständnis der folgenden Ausführungen sind Kenntnisse über komplexe Zahlen, elektrische Netzwerke und die komplexe Wechselstromrechnung notwendig.

So wie für die in der Praxis etablierte komplexe Wechselstromrechnung gilt auch für ihre Erweiterung:

Signale Bearbeiten

Die erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik geht von exponentiell ansteigenden bzw. abklingenden sinusförmigen Eingangssignalen aus. Im eingeschwungenen Zustand eines linearen zeitinvarianten Systems treten dann innerhalb des Systems nur eben solche Signale mit gleicher Frequenz und gleicher Hüllkurvenkonstante auf. Praktisch haben allerdings derartige Signale kaum Bedeutung, aber ihre Betrachtung bringt verschiedene mathematische Vorteile. Setzt man gleich 0, erhält man sofort die üblichen sinusförmigen Signale. Im Folgenden wird beispielhaft immer die Spannung betrachtet, obwohl alle Aussagen natürlich auch für den Strom und andere physikalische Größen gelten.

Mathematische Basis Bearbeiten

Ausgangspunkt sind die aus der Eulerschen Formel ableitbaren Beziehungen

und

Diese gestatten die Darstellung der Winkelfunktionen als Überlagerung von zwei Exponentialfunktionen mit imaginärem Argument. Damit ergibt sich beispielsweise für eine verallgemeinerte durch charakterisierte exponentiell ansteigende oder abfallende sinusförmige Wechselspannung

bzw.

Ein reales Signal setzt sich also aus zwei komplexen Signalen zusammen. Dabei ist der rechte Term genau der konjugiert komplexe linke Term. Wegen des geltenden Überlagerungssatzes reicht es aus, alle Berechnungen nur mit dem linken Term auszuführen und am Ende vom Ergebnis den Real- bzw. Imaginärteil zu verwenden.

Komplexe Spannung und komplexer Strom Bearbeiten

Man führt deshalb die komplexe Spannung (bzw. den komplexen Strom) ein:

Wie aus der komplexen Wechselstromrechnung bekannt ist, lassen sich mit derartigen komplexen Signalen die Probleme der (linearen) Wechselstromschaltungen wesentlich einfacher lösen, als mit den (realen) trigonometrischen Funktionen.

Komplexe Amplituden Bearbeiten

Mit der schon in der komplexen Wechselstromrechnung verwendeten zeitunabhängigen komplexen Amplitude

kann man schreiben

Komplexe Frequenz Bearbeiten

Als Abkürzung führt man schließlich die komplexe Frequenz (in der Literatur werden auch die Symbole oder verwendet) ein und erhält dann für die komplexe Spannung

Mit dieser Signaldarstellung kann nun die Berechnung der gesuchten komplexen Signale erfolgen.

Rücktransformation Bearbeiten

Um die gesuchte reale Spannung (bzw. den realen Strom) zu erhalten, braucht man nach der Berechnung des gesuchten komplexen Signals nur dessen konjugiert komplexes Signal zu addieren (beim Kosinus) oder zu subtrahieren (beim Sinus) und durch 2 bzw. durch 2j zu teilen. Das Gleiche erreicht man einfacher durch Realteil- bzw. Imaginärteilbildung:

bzw.

Es hat sich gezeigt, dass diese Rücktransformation in der Praxis aber gar nicht nötig ist, denn aus der komplexen Amplitude des Ergebnisses sind Betrag und Nullphase sofort ablesbar.

Differentialoperator Bearbeiten

Während in der komplexen Wechselstromrechnung als Differentialoperator der rein imaginäre Ausdruck verwendet wird (weshalb die komplexe Wechselstromrechnung oft auch -Rechnung genannt wird), tritt jetzt die komplexe Frequenz s als Differentialoperator auf, denn es gilt z. B.:

Impedanz- und Admittanzfunktion Bearbeiten

Wie in der komplexen Wechselstromrechnung definiert man die Impedanzfunktion eines Zweipols als

Als Admittanzfunktion bezeichnet man den Kehrwert der Impedanzfunktion.

Damit erhält man folgende elementaren Impedanzfunktionen:

  • ohmscher Widerstand R:
  • Induktivität L:
  • Kapazität C:

Die Impedanz- bzw. Admittanzfunktionen komplexer Schaltungen werden „wie üblich“ berechnet (und oft einfach nur abgelesen):

  • Reihenschwingkreis:
  • Parallelschwingkreis:

Beliebig komplizierte Impedanz- bzw. Admittanzfunktionen nennt man Zweipolfunktionen. Sie können als gebrochen rationale Funktion in s dargestellt werden und sind die Basis für die Netzwerksynthese. Insbesondere lassen sich diese Funktionen im Pol-Nullstellen-Diagramm übersichtlich darstellen.

Siehe auch Bearbeiten

Literatur Bearbeiten

  • Hans Frühauf, Erich Trzeba: Synthese und Analyse linearer Hochfrequenzschaltungen. Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig K.-G., Leipzig 1964.
  • Eugen Philippow (Herausgeber): Taschenbuch Elektrotechnik, Band 3. Verlag Technik, Berlin 1969.
  • Gerhard Wunsch: Elemente der Netzwerksynthese. Verlag Technik, Berlin 1969.
  • Gerhard Wunsch: Geschichte der Systemtheorie. Akademie-Verlag, Leipzig 1985.
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Veröffentlichungsdatum:
Die Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik ist eine Verallgemeinerung der komplexen Wechselstromrechnung auf exponentiell anschwellende und abklingende sinusformige Signale Dadurch erfolgt der Ubergang von der imaginaren Frequenz j w displaystyle j omega auf die komplexe Frequenz s s j w displaystyle s sigma j omega Diese formale Erweiterung hat verschiedene Vorteile fur die theoretische Behandlung von Wechselstromnetzwerken insbesondere fur die Schaltungssynthese Gleichzeitig harmoniert diese Darstellung mit den Ergebnissen der Laplace Transformation und der Operatorenrechnung nach Mikusinski Inhaltsverzeichnis 1 Voraussetzungen 2 Signale 3 Mathematische Basis 4 Komplexe Spannung und komplexer Strom 5 Komplexe Amplituden 6 Komplexe Frequenz 7 Rucktransformation 8 Differentialoperator 9 Impedanz und Admittanzfunktion 10 Siehe auch 11 LiteraturVoraussetzungen BearbeitenZum Verstandnis der folgenden Ausfuhrungen sind Kenntnisse uber komplexe Zahlen elektrische Netzwerke und die komplexe Wechselstromrechnung notwendig So wie fur die in der Praxis etablierte komplexe Wechselstromrechnung gilt auch fur ihre Erweiterung Beide Methoden sind nur fur lineare zeitinvariante Systeme anwendbar Es kann nur der sogenannte eingeschwungene Zustand ermittelt werden Signale BearbeitenDie erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik geht von exponentiell ansteigenden bzw abklingenden sinusformigen Eingangssignalen aus Im eingeschwungenen Zustand eines linearen zeitinvarianten Systems treten dann innerhalb des Systems nur eben solche Signale mit gleicher Frequenz w displaystyle omega nbsp und gleicher Hullkurvenkonstante s displaystyle sigma nbsp auf Praktisch haben allerdings derartige Signale kaum Bedeutung aber ihre Betrachtung bringt verschiedene mathematische Vorteile Setzt man s displaystyle sigma nbsp gleich 0 erhalt man sofort die ublichen sinusformigen Signale Im Folgenden wird beispielhaft immer die Spannung betrachtet obwohl alle Aussagen naturlich auch fur den Strom und andere physikalische Grossen gelten Mathematische Basis BearbeitenAusgangspunkt sind die aus der Eulerschen Formel ableitbaren Beziehungen cos f e j f e j f 2 Re e j f displaystyle cos varphi frac e j varphi e j varphi 2 operatorname Re e j varphi nbsp und sin f e j f e j f 2 j Im e j f displaystyle sin varphi frac e j varphi e j varphi 2j operatorname Im e j varphi nbsp Diese gestatten die Darstellung der Winkelfunktionen als Uberlagerung von zwei Exponentialfunktionen mit imaginarem Argument Damit ergibt sich beispielsweise fur eine verallgemeinerte durch s displaystyle sigma nbsp charakterisierte exponentiell ansteigende oder abfallende sinusformige Wechselspannung u t U e s t cos w t f 0 U e s t j w t f 0 e s t j w t f 0 2 Re U e s t j w t f 0 displaystyle u t hat U e sigma t cos omega t varphi 0 hat U cdot frac e sigma t j omega t varphi 0 e sigma t j omega t varphi 0 2 operatorname Re hat U e sigma t j omega t varphi 0 nbsp bzw u t U e s t sin w t f 0 U e s t j w t f 0 e s t j w t f 0 2 j Im U e s t j w t f 0 displaystyle u t hat U e sigma t sin omega t varphi 0 hat U cdot frac e sigma t j omega t varphi 0 e sigma t j omega t varphi 0 2j operatorname Im hat U e sigma t j omega t varphi 0 nbsp nbsp w displaystyle omega nbsp Kreisfrequenz der Kosinusschwingung s displaystyle sigma nbsp Abklingkonstante f 0 displaystyle varphi 0 nbsp NullphasenwinkelEin reales Signal setzt sich also aus zwei komplexen Signalen zusammen Dabei ist der rechte Term genau der konjugiert komplexe linke Term Wegen des geltenden Uberlagerungssatzes reicht es aus alle Berechnungen nur mit dem linken Term auszufuhren und am Ende vom Ergebnis den Real bzw Imaginarteil zu verwenden Komplexe Spannung und komplexer Strom BearbeitenMan fuhrt deshalb die komplexe Spannung bzw den komplexen Strom ein u t U e s t j w t f 0 displaystyle underline u t hat U cdot e sigma t j omega t varphi 0 nbsp Wie aus der komplexen Wechselstromrechnung bekannt ist lassen sich mit derartigen komplexen Signalen die Probleme der linearen Wechselstromschaltungen wesentlich einfacher losen als mit den realen trigonometrischen Funktionen Komplexe Amplituden BearbeitenMit der schon in der komplexen Wechselstromrechnung verwendeten zeitunabhangigen komplexen Amplitude U U e j f 0 displaystyle underline U hat U cdot e j varphi 0 nbsp kann man schreiben u t U e s j w t displaystyle underline u t underline U cdot e sigma j omega t nbsp Komplexe Frequenz BearbeitenAls Abkurzung fuhrt man schliesslich die komplexe Frequenz s s j w displaystyle s sigma j omega nbsp in der Literatur werden auch die Symbole p displaystyle p nbsp oder l displaystyle lambda nbsp verwendet ein und erhalt dann fur die komplexe Spannung u t U e s t displaystyle underline u t underline U cdot e st nbsp Mit dieser Signaldarstellung kann nun die Berechnung der gesuchten komplexen Signale erfolgen Rucktransformation BearbeitenUm die gesuchte reale Spannung bzw den realen Strom zu erhalten braucht man nach der Berechnung des gesuchten komplexen Signals nur dessen konjugiert komplexes Signal zu addieren beim Kosinus oder zu subtrahieren beim Sinus und durch 2 bzw durch 2j zu teilen Das Gleiche erreicht man einfacher durch Realteil bzw Imaginarteilbildung u t u t u t 2 Re u t displaystyle u t frac underline u t underline u t 2 operatorname Re underline u t nbsp bzw u t u t u t 2 j Im u t displaystyle u t frac underline u t underline u t 2j operatorname Im underline u t nbsp Es hat sich gezeigt dass diese Rucktransformation in der Praxis aber gar nicht notig ist denn aus der komplexen Amplitude des Ergebnisses sind Betrag und Nullphase sofort ablesbar Differentialoperator BearbeitenWahrend in der komplexen Wechselstromrechnung als Differentialoperator der rein imaginare Ausdruck j w displaystyle j omega nbsp verwendet wird weshalb die komplexe Wechselstromrechnung oft auch j w displaystyle j omega nbsp Rechnung genannt wird tritt jetzt die komplexe Frequenz s als Differentialoperator auf denn es gilt z B d u t d t d d t U e s t U d d t e s t U s e s t s U e s t s u t displaystyle frac d underline u t dt frac d dt underline U cdot e st underline U cdot frac d dt e st underline U cdot s cdot e st s cdot underline U cdot e st s cdot underline u t nbsp Impedanz und Admittanzfunktion BearbeitenWie in der komplexen Wechselstromrechnung definiert man die Impedanzfunktion eines Zweipols als Z u t i t U I displaystyle underline Z frac underline u t underline i t frac underline U underline I nbsp Als Admittanzfunktion bezeichnet man den Kehrwert der Impedanzfunktion Damit erhalt man folgende elementaren Impedanzfunktionen ohmscher Widerstand R Z R u i R displaystyle underline Z R frac underline u underline i R nbsp Induktivitat L Z L u i L d i d t i s L i i s L displaystyle underline Z L frac underline u underline i frac L cdot frac d underline i dt underline i frac sL cdot underline i underline i sL nbsp Kapazitat C Z C u i u C d u d t u s C u 1 s C displaystyle underline Z C frac underline u underline i frac underline u C cdot frac d underline u dt frac underline u sC cdot underline u frac 1 sC nbsp Die Impedanz bzw Admittanzfunktionen komplexer Schaltungen werden wie ublich berechnet und oft einfach nur abgelesen Reihenschwingkreis Z R s L 1 s C displaystyle underline Z R sL frac 1 sC nbsp Parallelschwingkreis Y G s C 1 s L displaystyle underline Y G sC frac 1 sL nbsp Beliebig komplizierte Impedanz bzw Admittanzfunktionen nennt man Zweipolfunktionen Sie konnen als gebrochen rationale Funktion in s dargestellt werden und sind die Basis fur die Netzwerksynthese Insbesondere lassen sich diese Funktionen im Pol Nullstellen Diagramm ubersichtlich darstellen Siehe auch BearbeitenPhasorLiteratur BearbeitenHans Fruhauf Erich Trzeba Synthese und Analyse linearer Hochfrequenzschaltungen Akademische Verlagsgesellschaft Geest amp Portig K G Leipzig 1964 Eugen Philippow Herausgeber Taschenbuch Elektrotechnik Band 3 Verlag Technik Berlin 1969 Gerhard Wunsch Elemente der Netzwerksynthese Verlag Technik Berlin 1969 Gerhard Wunsch Geschichte der Systemtheorie Akademie Verlag Leipzig 1985 Abgerufen von https de wikipedia org w index php title Erweiterte symbolische Methode der Wechselstromtechnik amp oldid 232420490